辽宁省沈阳市—高二数学上学期期末考试 文

沈阳二中2012—2013学年度上学期期末考高二（14届）数学（文）
试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的. 1.复数z=i （1+i ）（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 （ ）．
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第
四象限
2.下列命题中错误．．
的个数是 （ ）．
①命题“若2
320x x -+=则x =1”的否命题是“若2
320x x -+=则x ≠1”； ②命题p :0x R ∃∈,使0sin 1x >，则0:p x R ⌝∀∈,使0sin 1x ≤； ③若p 且为q 假命题，则p 、q 均为假命题； ④"2()"2
k k Z π
φπ=+∈是函数sin(2)y x φ=+为偶函数的充要条件；
A.1
B.2
C.3
D.4
3.“因为指数函数y ＝a x
是增函数，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 是增函数”，上
面
推理的错误在于（ ）．
A ．大前提错误导致结论错
B ．小前提错误导致结论错
C ．推理形式错误导致结论错
D ．大前提和小前提错误导致结论错
4．某校在校学生2000人，为迎接2010年广州亚运会，学校举行了“迎亚运”跑步和爬山比赛活动，每人都参加而且只参与其中一项比赛，各年级与比赛人数情况如下表：
其中a ：b ：c =2：5：3，全校参与爬山的人数占总人数的
1
4
.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参与跑步的学生中应抽取 （ ）．
A.15人
B.30人
C.40人
D.45
人
5．已知双曲线22
221x y a b
-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于
（ ）．
A ．2
24515x y -= B ．22154x y -= C ．
22154y x -= D ．2
25514
x y -=
6.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则 （ ）．
A.x x <甲乙，m 甲>m 乙
B.x x <甲乙，m 甲<m 乙
C.x x >甲乙，m 甲>m 乙
D.x x >甲乙，m 甲<m 乙
7.设抛物线y 2
=8x 的焦点为F ，准线为l ,P 为抛物线上一点,PA ⊥l ,A 为垂足．如果直线AF 的
斜率为,那么|PF|= （ ）．
A. B.8
C.
D.16
8.椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为21
=e ，右焦点为)0,(c F ，方程02=-+c bx ax 的两
个实根分别为21,x x 则点),(21x x P 的位置 （ ）．
A.必在圆22
1x y +=内
B.必在圆2
2
1x y +=上
C.必在圆22
1x y +=外
D.以
上三种情况都有可能 9．已知双曲线
12
22
2=-b
y a
x )0,0(>>b a 的右焦点为F ,过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为
A ，OAF ∆的面积为
2
2
3a （O 为原点），则此双曲线的离心率是
（ ）．
A ．2
B ．2
C
．
3
4
D ．
3
3
2 10.直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，且交抛物线于B A ,两点，交其准线于C 点,已知BF CB AF 3,4||==,则=p
（ ）．
A.2
B.
34
C.
3
8 D ．4
11.已知实数x 、y 满足205040x y x y y -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，若不等式222()()a x y x y +≥+恒成立，则实数a 的最
小值是（ ）． A.
25
17
B.
85
C.
95
D.2
12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是 （ ）．
A.(0,)+∞
B.1
(,)3+∞
C.
1
(,)5
+∞
D.1(,)9
+∞
第Ⅱ卷（非选择题，90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1F 、2F 是双曲线
22
143
x y -=的两个焦点，过点2F 作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，则1
FAB ∆的周长为 _________． 14．将数列{}
1
3n -按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，
则第10组中的第一个数是_____________.
15.设x ，y 为正实数，若42
x ＋2
y ＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是__________.
16.已知M 是椭圆22
195
x y +=上一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，I 是12MFF ∆的内心，延长
MI 交12FF 于N ，则
MI NI
等于__________________.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

17．（本题满分12分）某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．
（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；
（2）若每组数据用该组区间中点值（例如区间[70，80）的中点值是75）作为代表，试估计该校高一学生历史成绩的平均分；
（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．
18.（本题满分10分）已知关于x 的不等式|x -3|+|x -4|＜a ． （1）当a =2时，解上述不等式；
（2）如果关于x 的不等式|x -3|+|x -4|＜a 的解集为空集，求实数a 的取值范围． 19．（本题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2)6l cos sin ρθθ-=.
（1）将曲线1C 2倍后得到曲线2C ，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；
（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.
20．（本题满分12分）已知命题p ：函数2
()2f x x ax =+-在[1,1]-内有且仅有一个零点．
命题q ：23(1)20x a x +++≤在区间13
[,]22
内恒成立．若命题“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围．
21．（本题满分13分）在直角坐标系xOy 中，点)2
1
,2(-M ，点F 为抛物线)0(:2>=m mx y C 的
焦点，
线段MF 恰被抛物线C 平分． （1）求m 的值； （2）过点M 作直线l 交抛物线C 于B A ,两点，设直线FA 、FM 、FB 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，问321,,k k k 能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明
理由．
22．（本题满分13分）如图所示，已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ,1C 的中心和2
C 的顶点都在坐标原点，过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点,点A 在第四象限.
（1）写出抛物线2C 的标准方程；
（2）若1AM MB 2
=uuu r uuu r
，求直线l 的方程；
（3）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值.
沈阳二中2012—2013学年度上学期期末考试 高二（14届）数学（文）参考答案
一、选择题：
1.B.
2. C
3.A ． 4．D.5．D ．6.B. 7. B 8.C. 9．B ． 10.C ．11.C 12. B. 二、填空题：
13． 14 14． 45
3
15.
5
16.32
三、解答题：
19（本题满分12分） 解：（1）
（2）该校高一学生历史成绩的平均分
(450.012550.016650.03750.024850.012950.006)10x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯
67.6= ……8分
（3）该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数：
500(0.0240.0120.006)10210⨯++⨯=
……12分
0.030 0.020
0.010
18.（本题满分10分）
解：(1)原不等式转化为342x x -+-< 当55
3722,>
,3;22
x x x x <-<∴<<时，原不等式化为解得 3412,34;x x ≤≤<∴≤≤当时，原不等式化为
994272,,4;22
x x x x >-<<∴<<当时，原不等式化为解得
592
2x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭综上，原不等式解集为…………………………………………5分
（
2
）
作
出
3434y x x y a x x a =-+-=-+-<与的图像，若使的解集为空集，只须 3411y x x y a y a y a =-+-===∴≤的图像在的图像的上方或与重合，
所以，(]1a -∞的范围为，.…………………………………………………………10分 19．（本题满分10分）
解：(1)由题意知，直线l 的直角坐标方程为：2x-y-6=0，………………2分
∵曲线
2C 的直角坐标方程为：22
()12y +=，即22134x y +=.
∴曲线2C 的参数方程为：()2sin x y θ
θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数.………………5分
(2)设点P 的坐标,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为：
d ==
，………………7分
∴当sin(600
－θ)=-1时，点P 3(,1)
2-
，此时max d ==…………10分 20．（本题满分12分）
解：先考查命题p ：
若a ＝0，则容易验证不合题意；
故 0(1)(1)0a f f ≠⎧⎨
-⋅≤⎩，解得：a ≤－1或a ≥1. ……………………………………4分 再考查命题q ：
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，∴3(a +1)≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，32上恒成立．
易知⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1x )max ＝92，故只需3(a +1) ≤－92即可．解得a ≤－52.………………8分 ∵命题“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题∴命题p 和命题q 中一真一假. 当p 真q 假时，－5
2<a ≤－1或a ≥1；
当p 假q 真时，a ∈∅．
综上，a 的取值范围为{a |－5
2<a ≤－1或a ≥1}……………………12分
21．（本题13分）
（1）解：焦点F 的坐标为)41,0(m
，线段MF 的中点)41
81,1(-m N 在抛物线C 上，
∴m m =-4181，01282=-+m m ，∴41=m (2
1
-=m 舍) ． ………………………3分
（2）由（Ⅰ）知：抛物线C ：y x 42=，)1,0(F ． 设l 方程为：)2(2
1
-=+
x k y ，),(11y x A 、),(22y x B ，则 由⎪⎩⎪⎨⎧
=-=+y
x x k y 4)2(2
12得：02842=++-k kx x ， 0)28(4162>+-=k k ∆，∴262-<
k 或26
2+>k ． ⎩
⎨⎧+==+2842121k x x k x x ， ………7分
假设1k ，2k ，3k 能成公差不为零的等差数列，则2312k k k =+．
而2
11
2221212211221122211314411x x x x x x x x x x x x y x y x x y x y k k --+=--+=-+-=+ 1
44284)142
8())(14(
2212121+-=
+⋅-+=+-=k k k k k
k x x x x x x ， ………………………9分 4
3
2-=k ，∴
231442-=+-k k k ，031082=++k k ，解得：26221-<-=k （符合题意）， 4
3
-=k （此时直线l 经过焦点F ，321k k k ==，不合题意，舍去）
， …………… 11分
直线l 的方程为)2(2
1
21--=+
x y ，即012=-+y x ． 故1k ，2k ，3k 能成公差不为零的等差数列，直线l 的方程为：012=-+y x ． (13)
分
22、（本题13分）
解：（1）由已知得P=2，因此抛物线2C 的标准方程为：24.y x =…………………………2分；
（2）设A 211y (
,y )4，B 222y (,y )4,1AM MB 2=uuu r uuu r Q ,22
2112y 1y (4,y )(4,y )424
∴--=-+ 22122
2122112
y y 1y y 4(4)84424241y -2y
y y 2
⎧⎧-=-+⎪-=-+⎪⎪∴⇒⎨⎨
⎪⎪=-=⎩⎪⎩
12y y A(2,∴=-=∴-
AB k ∴=
280l x ∴-=直线的方程为：…………………………………………………………
………6分；
（3）由已知可知直线的斜率存在且不为0，因此设直线l 的方程为4x =my +，设
P 2
00y (,y )4
则有题意可得020
2
00y 1
1y m 4y y
m 4
8
2⎧=-⎪⎪⎨⎪⎪=+⎩g g 解得m=1±,由图可知取m=1,
4l x=y ∴+直线的方程为：……9分；
]
设椭圆方程为1(a>1)1
22
22
x y +a a -=， 由
11422
22x y +a a -x =y ⎧=⎪⎨⎪+⎩
消元整理得22242
21)8(1)17160a y a y a a -+--+-=（………………11分
222424
2
2
2
64(1)4(21)(-1716)017219170,
1
2
2
a a a a a a a a a ∴∆=---+-≥-+≥>∴≥
∴≥
Q 即
所
以
椭
圆
的
长轴
长
的
最
小
值
为
……………………………………………………………13分.。