四川省成都外国语学校2011届高三9月月考(数学文)1

四川省成都外国语学校2011届高三9月月考（数学文）
一．选择题：(本题共12小题，每题5分共60分，每个小题有4个选项，其中只有一个正确答案，请把正确答案前的字母序号转涂在机读卡上) 1．设集合{|
0},{|03}4
x
A x b x x x =<=<<-，那么“m A ∈”是“m
B ∈”的( )B A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
2．若函数()y f x =是函数2x y =的反函数，则[(2)]f f 的值是( )B A ．16
B ．0
C ．1
D ．2
3．已知tan 2θ=，则sin cos sin cos θθ
θθ
+-的值为( )A
A ．3
B ．3-
C ．2
D ．2-
4．已知(2,3),(1,2),a b c a b ==-=+
，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为(
)C
A ．030
B ．060
C ．0120
D ．0150
5．数列{}n a 的前n 项和为24n S n n =+，则158S a -=( )C
A ．244
B ．256
C ．266
D ．196
6．曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为( )B
A ．34y x =-
B ．32y x =-+
C ．43y x =-+
D ．45y x =-
7．在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是( )B A ．14-
B ．14
C ．28-
D ．28
8．将函数cos()3
y x π
=-的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移
6
π
个单位，所得函数的图象的一条对称轴为( )C A ．9
x π
=
B ．8
x π
=
C ．2
x π
=
D ．x π=
9．等比数列{}n a 中21a =，则其前3项和3S 的取值范围是( )D
A ．(,1]-∞-
B ．(,0)(1,)-∞+∞
C ．[3,)+∞
D ．(,1][3,)-∞-+∞ 10．,,,,5A B C D
E 人站成一排，,A B 不相邻且A 不在两端的概率为( )A
A ．3
10
B ．
3
5
C ．
110
D ．
12
11．如图，矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，沿对角线BD 将ABD ∆折起到'A BD 的位置，且'A 在平面BCD 内的射影O 落在BC 边上，则二面角'C A B D --的平面角的正弦值为(
)A
A ．3
B
C
D ．4
5
12．已知抛物线过点(1,0),(1,0)A B -，且以圆224x y +=的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为( )B
A ．221(0)34x y y +=≠
B ．221(0)43
x y y +=≠
C ．221(0)34x y y -=≠
D ．22
1(0)43
x y y -=≠
二．填空题：
13．已知圆22(1)(2)16x y -++=和圆22(2)9x y -+=交于,A B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程为____________________240x y --=
14．,,A B C 是表面积为48π的球面
O (O 为球心)上的三点，若02,4,60AB BC ABC ==∠=，则三棱锥
O ABC -的体积为
15．已知函数2
()ln(2)f x x x a =--的定义域为A ，函数22323
()1
x x g x x ++=+的值域为B ，若A B ≠∅ ，
则实数a 的取值集合为__________(,8)-∞
16．有以下命题：①若集合{1,2},{|}A B x x A ==⊆，则A B ∈；②二项式5(23)x y -的展开式的各项的系数和为52；③已知函数322()23(1)6(8)1f x x a x a x =--+-+在1x =处取得极值，则实数a 的值是2-或
3；④已知点(,)P x y 是抛物线212y x =-的准线与双曲线221x y
-=的两条渐近线所围成的三角形区域
(含边界)内的任意一点，则2z x y =-的最大值为9。

其中正确命题的序号有__________①④ 三、解答题
17．已知(sin ),(cos ,cos ),()
a x x
b x x f x a b ===⋅。

(1)若 a b ⊥，求x 的取值集合；(2)求函数()
f x 的周期及增区间。

解：(1),
a b a b ⊥∴⋅=
，
而21sin cos sin 22sin(2)23
a b x x x x x x π⋅=+==++
sin(2)03x π∴++=，即sin(2)3x π+=
B
C
O
D
A
A ′
22233x k π
ππ∴+
=-或1
22()33
x k k Z πππ+=-∈ x ∴的取值集合为{|2
x x k π
π=-
或}3
x k π
π=-(k Z ∈)
(2)()sin(2)3 f x a b x π=⋅=++()f x ∴的周期22
T π
π==
sin y x =的增区间为[2,2]()22
k k k Z ππ
ππ-
+∈ 由222232
k x k πππ
ππ-≤+≤+，得5122k x k ππππ-≤≤+
()f x ∴的增区间为5[,]()1212
k k k Z ππ
ππ-+∈
① 在一次抗洪抢险中准备用射击的方法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐。

已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆。

每次射击是相互独立的，且命中的概率都是2
3。

(1)求油罐被引爆的概率；
(2)如果引爆或子弹打光停止射击，请通过计算证明：停止射击的概率必然为1。

(1)解：根据题意命中次数为0或1时油罐不能被引爆。

记“命中0次”为事件1A ，“命中1次”为事件2A ，则：
5121()(1)3243P A =-=；14252210()(1)33243
P A C =⋅⋅-=
所以油罐被引爆的概率12232
1()()243
P P A P A =--=
(2)证明：记“停止射击”为事件A ，分别记“射击2、3、4、5次而停止射击”分别为事件1234,,,B B B B ，且1234,,,B B B B 彼此互斥，1234A B B B B =+++，则：
1224()339P B =⋅=；1222228()(1)33327P B C =⋅⋅-⋅=；12332224()(1)33327
P B C =⋅⋅-⋅=； 131454452222221()(1)(1)(1)3333339
P B C C =⋅⋅-⋅+⋅⋅-+-= 所以1234()()()()()1P A P B P B P B P B =+++=
19．如图，等边ABC ∆与直角梯形ABDE 所在平面垂直，//BD AE ，
AE ⊥AB ，22BC BD AE ===，O 为AB 的中点．
（1）证明：CO DE ⊥；
（2）求二面角C DE A --的余弦值．
解法一：（1）证明：因ABC ∆为等边三角形，且O 为AB 中点
A
B
C
E D
O K
CO AB ∴⊥，又 平面ABDE ⊥平面ABC
∴CO ⊥平面ABDE ， DE ⊂平面ABDE 。

∴CO ⊥DE
（2）解：过O 作OK DE ⊥于K ，连接CK ，则由三垂线定理得CK ED ⊥∴所求二面角的平面角为
OKC ∠ 在正三角形ABC 中可求
得CO =，在直角梯形ABDE 中可求
得
tan cos KO OKC OKC =
∠=∴∠=
解法二：以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系（如图）， 则()0,1,0A -，()0,1,0B
，)
C
，
()0,1,2D ，()0,1,1E -，
（1
）证明：((0,2,1)
CO DE ==--，
0,
CO DE CO DE ⋅=∴⊥
（2）解：显然，面ABDE 的一个法向量
()1,0,0m =
，
设面DCE 的一个法向量为(,,)
n x y z =，则由
n EC ⊥0y z +-=， 由 n DE ⊥得20y z +=，取1,2) n =-，cos , m n <>=，
20．已知函数247
(),([0,1])2x f x x x
-=∈-。

(1)求函数()f x 的单调区间和值域；
(2)设1a ≥，函数22()32,([0,1])g x x a x a x =--∈，若对于任意1[0,1]x ∈总存在0[0,1]x ∈，使得
01()()g x f x =成立，求实数a 的取值范围。

解：(1)247(),([0,1])2 x f x x x
-=∈-，224167'()(2)x x f x x -+-∴=
- 由224167'()0(2)x x f x x -+-=>-，得17
22
x <<
且2x ≠ 由224167'()0(2)x x f x x -+-=<-，得12x <或7
2
x >
，又已知[0,1]x ∈
()f x ∴的增区间为1(,1)2，减区间为1(0,)2
而71(0),()4,(1)322
f f f =-=-=-，且()f x 在区间[0,1]上连续 ()f x ∴的值域为[4,3]--
(2)由22()32,([0,1])g x x a x a x =--∈，得2'()23g x x a =-
1,[0,1] a x ≥∈，则'()0g x <，()g x ∴在区间[0,1]上是减函数
()g x ∴的值域为2[123,2]a a a ---，根据题意，有[4,3]--⊆2[123,2]a a a ---
则21234
231
a a a a ⎧--≤-⎪
-≥-⎨⎪≥⎩
，解之得312a ≤≤
∴实数a 的取值范围为3
[1,]2
21．如图，设抛物线方程为22(0),x py p M =>直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B 。

（1）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；
（2）已知当M 点的坐标为(2,2)p -
时，||AB =，求此时抛物线的方
程；
（1）证明：由题意设22
12
12120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p
-＜
由2
2x py =得2
2x y p
=，则,x y p '=
所以12,.MA MB x x
k k p p
=
=
因此直线MA 的方程为1
02(),x y p x x p
+=
-直线MB 的方程为 2
02().x y p x x p
+=
-
所以211102(),2x x p x x p p +=- ①；2
22202().2x x p x x p p
+=- ②
由①-②得2
202121()
2x x x x x p p
--=，而12x x <，因此0122.x x x =+
所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.
（2）解：由（1）知，当x 0=2时，
将其代入①、②并整理得：2211440,x x p --= 2
222440,x x p --=
所以 x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，
因此212124,4,x x x x p +==- 又2
2
210
122122,2AB
x x x x x p p k x x p p
-
+===- 所以2.AB k p =
由弦长公式得：AB ==
又AB = 所以p =1或p =2，
因此所求抛物线方程为22x y =或24.x y =
22．已知数列{}n a 的首项13
5
a =，1321n n n a a a +=+，(*)n N ∈．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若对任意的0x >，都有21121(1)3n n
a x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
≥
，(*)n N ∈， 证明：2
121
n n a a a n +++>+ ．
（1）解：1321n n n a a a +=
+ ，112133n n a a +∴=+，1111
113n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭
，
又
1213n a -=，11n a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭
是以2
3为首项，13为公比的等比数列． ∴11212
1333
n n n a --=⋅=，332n n n
a ∴=+． （2）证明：由已知，对任意的0x >，有21121(1)3n n a x x x ⎛⎫
-- ⎪++⎝⎭
≥
，(*)n N ∈，则有 12222
1121121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
+++--+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
≥
21121(1)3n x x x ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭ 2212221(1)333n
n nx x x ⎛⎫
=
-+++- ⎪++⎝⎭
．
∴取22111222113311333313n n n x n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++=
=- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭
- ⎪⎝⎭
， 则22
12111111133n n
n n n n a a a n n n +++=>
+⎛⎫
+-+- ⎪⎝⎭
≥． ∴原不等式成立．。