高中数学学业水平考试考点分布

高中数学考试考点清单
注意：为了每个同学的方便，务必同学们将所有的知识点都必须记好！理解好！
必修1知识清单 姓名：______
知识点1：集合
1.元素与集合的关系：用∈或∉表示；
2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.
3.集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法：{|______}⨯⨯⨯
③常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R;
4．集合与集合的关系：用⊆，≠⊂，=表示; A 是B 的子集记为A ⊆B ； A 是B 的真子集记为A ≠⊂B 。

常见结论： ②
任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆
；
②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；空集是任何非空集合的真子集；
解题时分A φ=和A φ≠两种情况讨论
③n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5．交集：A∩B={x |x ∈A 且x ∈B}; 并集：A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};
补集：C U A=｛x |x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集.
6.集合运算中常用结论: ①;A B A B A ⊆⇔= A B A
B B ⊆⇔= 知识点2、函数的概念
1．函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C={y|x ∈A}为值域
2．函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.
常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。

函数定义域是研究函数性质的基础和前提。

知识点3、函数的性质
1、 单调性： 对于区间中任意的1x 、2x 且12x x <，若有1()f x <或2()f x >那么函数为单调增函数或单调减函数
2、 判断函数单调性的方法： （1）、定义法（作差比较）；
步骤： （1）.取值设2121,x x A x x <∈且； （2）.作差)()(21x f x f -
（3）变形（配方；因式分解；通分等） （4）判号 （2）、图象法； ※（3）、导数法 （未作说明可用） 3、函数单调性的作用：
1、比较大小，
2、解抽象函数不等式，
3、求函数值域与最值等。

4、函数的最值的定义：函数y=f (y )，定义域为A ，若存在y 0∈A ，使得对任意的y ∈A ，恒有
)()(0x f x f ≥))()((0x f x f ≤成立，则称)(0x f 为函数的最小（大）值。

5、函数的奇偶性： ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．
； ⑵)(x f 是奇函数⇔f(－x)=－f(x)； )(x f 是偶函数⇔f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； 知识点5、指数函数：x a y =（0,1a a >≠），
知识点6、对数函数
1、.对数的概念： N a b =⇔
l o g a N b =（0,1a a >≠） 2、对数运算： log ()log log a a a M N M N ⋅=+①； log log log a
a a M
M N N
=-② log log n a a M n M =③ 1
log log a a M n
=⋅④
log a N a N =⑤ log log log b a b N
N a
=⑥换底公式：
3
知识点7、幂函数
（1）、幂函数的定义：m y x = （2）、幂函数的性质：
①所有幂函数在(0,)+∞上都有意义，并且图像都过点(1,1)。

②如果0a >，则幂函数图像过原点，并且在区间(0,)+∞上为增函数。

③如果0a <，则幂函数图像在()0,+∞上是减函数在第一象限内 知识点8、函数的零点 1、函数零点的概念：
方程f(x)=0有实根
函数y=f(x) 的图象与x 轴有交点 函数y=f(x)有零点 （代数求法） （图形求法） 2、函数零点的求法或者个数判断：
（1）方程法：另f(x)=0求根 （2）、图象法
3、函数零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间 [a , b ] 上的图象是光滑的一条曲线，并且有
()()0f a f b ⋅<，那么，函数)(x f y =在区间(a ,b )内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c
也就是方程0)(=x f 的根。

必修二知识清单
知识点一、柱体、锥体、台体的图形及其对应的三视图(请记好！) 知识点二、柱体、锥体和台体的表面积公式
1、柱体和锥体的表面积=柱体和锥体的侧面积+柱体和锥体的底面积 （1）、柱体的侧面积公式lh S = （l 为底面周长，h 为柱体高） （2）、圆锥的侧面积公式rl S π= （r 为底面半径，l 为母线长）
（3）、圆台的侧面积公式l r r S )('
+=π （r 和'
r 分别为上、下底面半径，l 为母线长） 2、柱体和锥体的体积 （1）、柱体的体积公式Sh V = (S 为底面积，h 为高)
（2）、锥体的体积公式Sh V 31
=
(S 为底面积，h 为高) （3）、台体的体积公式h S SS S V )(3
1''++=(S 和'
S 分别为台体上下底面面积，h 为高)
3、.球的表面积与体积 （1）、表面积公式2
R S π= （2）、体积公式3
3
4R S π=
知识点二、空间中的线、面的判定与性质： 总的指导思想：线线 ⇔线面⇔面面 1、线面平行的判定（即证平面外一条直线与此平面内的一条直线平行）.
如图，已知α⊂a ，l ∥a ，则l ∥α
2、面面平行的判定：（即证其中一个平面内两条相交直线与另外一个平面内的两条相交直线分别平行） 如图，已知两平面α，β，αα⊂⊂b a ,，且O b a =⋂，
αα⊂⊂'',b a ，'''O b a =⋂，如果a ∥'a ，
3、线面垂直的判定：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线也垂直于这个平面
如图，αα⊂⊂b a ,，且O b a =⋂，a l ⊥，b l ⊥，则α⊥l .
4、线面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于这个平面内的所有直线
5、面面垂直的判定：如果一个平面内某条直线垂直于另一个平面，则这两个面互相垂直 如图，已知α⊥l ，且β⊂l ，则βα⊥。

（4）面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线也垂直于另一个平面 如图，已知βα⊥，且b =⋂βα，b l ⊥，则α⊥l 。

知识点三、直线与圆的方程 1、直线的五种方程
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+ (b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
11
2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠) (111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).
(4)截距式 1x y
a b
+= (a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)
（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
2、两条直线的平行和垂直的判定
(1)、若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+
①、121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②、12121l l k k ⊥⇔=-.
(2)、若1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,
①、11112222
||A B C l l A B C ⇔
=≠； ②、
1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 3、点到直线的距离
：d = (点00(,)P x y , 直线l ：0Ax By C ++=).
知识点四、圆的有关方程 圆的方程：
1、圆的标准方程： 222()()x a y b r -+-=.
2、圆的一般方程： 220x y Dx Ey F ++++= (2
2
4D E F +-＞0)
3、直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ;
0=∆⇔⇔=相切r d ;
0>∆⇔⇔<相交r d .其中2
2B A C Bb Aa d +++=
.特别注意垂径定理：
2
22()2
l d r += 4、两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21
条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;
条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .
必修三知识清单
知识点一、算法初步（请对照教材认真掌握） 1、程序框图 （顺序结构、条件结构、循环结构） 2、算法语句 （赋值语句、条件语句、循环语句）
3、算法案例 （利用辗转相除法或更相减损术求最大公约数/利用秦九韶公式求多项式函数的函数值/进位制的转化） 知识点二、统计 1、抽样方法
(1)、简单随机抽样： 概率N n
P = 其中n 为样本容量， N 为个体总数 （2）、系统抽样： 间隔n
k n
=
(3)、分层抽样：
N
n
N n =11 其中n 为样本容量， N 为个体总数 n 1为分层样本容量， N 1为分层个体总数
2、频率分布直方图和样本数字特征 （1）、频率分布直方图重要的公式：
频率=小矩形的面积=
频率
组距
⨯组距 频数= 频率⨯样本容量 （2）、样本中的数字特征 （1）、众数： 样本数据中出现次数最多的那个数 （2）、中位数：当个数为奇数个时，中位数为中间那个数
当个数为偶数个时，中位数为中间两个数的平均数 （3）、平均数：设数据n x x x x ，⋯,,,321，平均数)(1
21n x x x n
x +⋯++= 意义：反映这组数据的平均水平 （4）、方差：()()
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡
-+⋯⋯+-=
2212
1x x x x n S n
意义：衡量数据波动大小或稳定性大小
知识点：回归直线方程 回归直线恒过定点（x ，y ）
回归直线方程： y a bx =+， 其中()()()112221
1
n
n
i i i i
i i n n
i i i i x x y y x y nx y
b x x x nx a y bx
====⎧
---⎪
⎪==⎨
--⎪⎪
=-⎩∑∑∑∑
知识点：概率的性质
1、概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围为0<P(A)<1
（2）必然事件的概率为1， 不可能事件的概率为0.
（3）概率的加法公式为： 如果事件A 与B 为互斥事件，则P(A ∪B)=P （A ）+P(B) 特例： 若A 与B 为对立事件，则P(A)=1-P(B) 知识点：古典概型
1、古典概型的两大特点： 1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
2、每个基本事件出现的可能性相等 2、古典概型的计算公式：P （A ）=
A 包含的基本事件的个数
基本事件的总数
3、古典概型的解题步骤：
（1）、求出总的基本事件数和满足事件A 的事件数 （可用列举法、排列和组合求） （2）、利用公式P （A ）= A 包含的基本事件的个数
基本事件的总数
知识点：几何概型
1、几何概型的特点： （1）、试验中所有可能出现的基本事件只有无限个 (2)、每个基本事件出现的可能性相等
2、几何概型的概率公式 ()A P A =
构成事件的长度（面积或体积）
试验的全部结果构成的长度（面积或体积）
必修四知识清单
知识点一、三角函数的基本概念 1. 终边相同的角
①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）: {}
Z k k ∈+⨯=,360|αββ ; ① 终边在x 轴上的角的集合:{}
Z k k ∈⨯=,180| ββ; ③终边在y 轴上的角的集合：{}
Z k k ∈+⨯=,90180| ββ;
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
3.弧度制下的公式 扇形弧长公式r =
α，扇形面积公式211||22
S R R α== ，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

4.三角函数定义:
利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边
上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记||r OP ==
则sin y r α=，cos x r α=，tan y x
α=
知识点二、常用三角函数公式（记忆）
1.特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角比的值
2、同角三角函数的基本关系式 1c o s s i n 2
2=+x x x
x
x c o s s i n t a n
= 3.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k ·π/2+a 所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性
注：
4.两角和与差的三角函数： （1） 两角和与差公式：
sin()sin cos cos sin ,sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin ,cos()cos cos sin sin tan tan tan tan tan(),tan()1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ
αβαβαβαβ
+=+-=-+=--=++-+=-=
-+
（2） 二倍角公式：
()22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααα
αααααααα
==-=-=-=
-升幂公式22
2
21cos 2sin 1cos 22sin 2(1cos 21cos 22cos cos 2αααααααα-⎫
=
⎪⎧-=⎪⎪⇒⎬⎨++=⎪⎩⎪=
⎪⎭
降幂公式） （3）辅助角公式
知识点三、三角函数的性质
1.三角函数的图像和性质：（其中z k ∈）
2、sin y x =经过变换变为sin y x ϖϕ=+A （）
的步骤： 方法1：先平移后伸缩
1
sin sin sin sin y x y x y x y x ϖ
ϕ
ϖ
ϖϖϕϖϕ=−−−−−−−→=−−−−−→=+−−−−−−−→=+横坐标变为原来的倍
纵坐标不变
向左或向右平移
个单位
纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变
（）A （）
方法2：先伸缩后平移
1
sin sin sin()sin y x y x y x y x ϕϖ
ϕϖϕϖϕ=−−−−−→=+−−−−−−−→=+−−−−−−−→=+向左或向右
平移个单位
横坐标变为原来的
倍
纵坐标不变
纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变
（）A （）
知识点五：平面向量有关概念
1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量 向量的大小叫向量的模
2、向量的表示方法:
⑴、字母表示法:如,,,a b c 等. ⑵、几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB ,CD
等.
⑶、坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA
的起点O 为在坐标原点,终点A 坐标为(),x y ,则(),x y 称为OA 的坐标,记为OA
=(),x y .
3、相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a 与b
相等,记为a b = .
4、零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.
5、单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.
6、共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0 与任一
向量共线.注:共线向量又称为平行向量.
7、相反向量: 长度相等且方向相反的向量.
符号语言：)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ⇔(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)⇔1212
x x y y λλ=⎧⎨=⎩ ⇔ x 1y 2-x 2y 1=0, （3）、两个向量垂直的充要条件
符号语言：⇔⊥→→b a 0=⋅→
→b a
坐标语言：设非零向量()()1122,,,a b x y x y == ，则⇔⊥→→b a 02121=+y y x x ⑷两个向量数量积的重要性质：
①22||→→=a a 即 2||→→=
a a (求线段的长度);
②⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a (垂直的判断);
③cos a b a b
θ⋅=⋅ (求角度)。

③如果111(,)P x y ,222(,)P x y ,则12PP =2121(,)x x y y --,
∴12PP = 这就是平面内两点间的距离公式. 必修五知识点清单
知识点一、解三角形常用的主要结论有：
(1)、A+B+C=1800 (2)、等边对等角:a b A B =⇔=;大边对大角:a b A B >⇔>.
（3）正弦定理：在ABC ∆中有:
2sin sin sin a b c R A B C
===（R 为ABC ∆外接圆半径）
2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
（4）面积公式：111sin sin sin 222
ABC S abs C ac B bc A ∆=== （5）余弦定理：在三角形ABC ∆中有:
2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222
222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=
⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩
知识点二、数列的有关公式
1、数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥ 2、等差数列
（1）、等差数列定义：用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

（2）、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；
（3）、等差中项的概念：
定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2
a b A += a ，A ，b 成等差数列⇔2
a b A +=。

（4）、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+。

（5）、在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；
3、等比数列
（1）、等比数列定义：1n a +：(0)n a q q =≠
（2）、等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 。

（3）、等比中项：如果a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b
的等比中项。

其中A =（4）、等比数列前n 项和公式
一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++ ，当1≠q 时，
q
q a S n n --=1)1(1 或11n n a a q S q -=-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）。

（5） 、对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅ 知识点三、不等式
1．不等式的性质：
⑴.(对称性或反身性)a b b a >⇔<; ⑵.(传递性)a b b c a c >>⇒>，;
⑶.(可加性)a b a c b c >+>+⇒,此法则又称为移项法则;
(同向可相加)a b c d a c b d ⇒>>+>+， ⑷. (可乘性)0a b c ac bc ⇒>>>，； 0a b c ac bc ⇒><<，. (正数同向可相乘)00a b c d ac bd ⇒>>>>>，
⑸.(乘方法则)00n n a b n N a b >>∈⇔>>（
）
⑹.(开方法则)0,20a b n N n >>∈（≥）
⑺.(倒数法则)110a b ab a b
⇒>><， 2．一元二次不等式ax bx c a 200++>≠()/20(0)ax bx c a ++<≠的解法
判别式 ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆
二次函数
c bx ax y ++=2的图象
一元二次方程 相异实根 相等实根 没有实根 02=++c bx ax 的根 21x x < a
b x x 221-== 02>++
c bx ax 解集 {}12x x x x x <>或 ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2 R 02<++c bx ax 解集 {}21x x x x << φ φ
3．线性规划
（1）、平面区域的画法：————— 直线定界；原点定侧
（2）、线性规划问题的解决：———————— 画 、移、求
4．均值不等式：
如果a ,b ∈(0,)+∞，那么2
b a +≥ab （当且仅当a =b 时取“=”号）. 注意：在使用均值不等式满足的三个条件：“一正”“二定”“三相等”。