李庆扬数值分析第五版第5章与第7章习题答案

因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。
12、设
，
计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。
本题考查的是矩阵范数的定义及求法
行范数+=
列范数+=
2-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。
的最大特征值为
所以2-范数为
具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？
对角占优的三对角方程组
6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53，符合3个运算法则。
正定性
均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。
7、用列主元消去法解线性方程组
并求出系数矩阵A的行列式的值
使用列主元消去法，有
A的行列式为-66
方程组的解为
X1=1,x2=2,x3=3
8、用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解
本题考查LU分解。
解：
9、用追赶法解三对角方程组 ，其中
， 。
解：追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有
答：正确。
（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
答：正确。
（4）如果A非奇异，则Ax = b的解的个数是由右端向量b的决定的。
答：正确。解释：若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。若不同，则A无解。
（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。
（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。
答：正确。
（1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法
（2）计算解三角方程组 的乘除法次数
（3）设 为非奇异矩阵，试推导求 的计算公式
本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,…1时对应的求解公式。
解法，略。
6、证明：
（1）如果 是对称正定矩阵，则 也是对称正定矩阵
（2）如果 是对称正定矩阵，则 可以唯一地写成 ，其中 是具有正对角元的下三角矩阵
3、设 为指标为 的初等下三角矩阵（除第 列对角元以下元素外， 和单位阵 相同），即
求证当 时， 也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中 为初等置换矩阵。
4、试推导矩阵 的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。
本题不推导。参见书上例题。P147页。
5、设 ，其中 为三角矩阵。
4从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。
3.什么是函数 的不动点？如何确定 使它的不动点等价于 的零点
P215.
将方程 改写成等价的形式 ，若要求 满足 ，则 ；反之亦然，称 为函数 的一个不动点。
4.什么是不动点迭代法？ 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 的不动点
抛物线法的收敛阶大于弦截法，小于牛顿法2
可用于所想是的实根和复根的求解。
9.什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方法。
10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当）
11.判断下列命题是否正确：
（1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）
18、设 ，计算A的条件数
由 可知， ，从而
，
由 ，
，
由 ，
可得 ，从而
。
， ，从而 。
19、证明：如果 是正交矩阵，则
若A是正交阵，则 ，从而 ， ，故 ， 。
20、设 ，且 为 上矩阵的算子范数，证明：
21、设 ，其中 为非奇异矩阵，证明：
（1） 为对称正定矩阵；
（2）
，所以 为对称正定矩阵。
由于 为对称正定矩阵，所以
齐次条件
三角不等式
相容条件
矩阵的算子范数有
从定义可知， 更容易计算。
8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？
答：设 为非奇异阵，称数 （ ）为矩阵A的条件数
当 时，方程是病态的。
9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？
（1）矩阵行列式的值很小。
（2）矩阵的范数小。
（3）矩阵的范数大。
（4）矩阵的条件数小。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？A要满足什么条件？
答：高斯消去法实质上产生了一个将 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。
3. 比较求 的根到三位小数所需的计算量：
1）在区间 内用二分法； 2）用迭代法 ，取初值 。
（1）计算 的递推公式
（2）解Ly=f
（3）解UX=y
10、用改进的平方根法解方程组
。
本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P157
。
11、下列矩阵能否分解为 （其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。
， ， 。
LU分解存在的条件
一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。
根据向量范数的定义来证明：
要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。
显然 ，
16、设A为非奇异矩阵，求证 。
因为 ，
所以得证
17、矩阵第一行乘以一数，成为 ，证明当 时， 有最小值。
本题考查条件数的计算
首先计算A的逆阵
，当 ，取得最小值为2
，当 取值越大，则最小值为2
从而 ，
又当 时，
。
当 时，
。
综上所述， 时最小，这时 ，即 。
在牛顿法的基础上使用2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。
收敛阶弦截法小于牛顿法2
计算量弦截法<牛顿法（减少了倒数的计算量）
8.什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？
P229
设已知方程 的三个近似根， ，以这三点为节点构造二次插值多项式p（x），并适当选取p2（x）的一个零点 作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。
（5）矩阵的元素绝对值小。
接近奇异阵的有
（1）、（2）
注：矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。
10、判断下列命题是否正确：
（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax = b的解。
答：错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。
（2）对称正定的线性方程组总是良态的。
假定 在区间（x，y）上连续，
先找到a、b属于区间（x，y），使 ，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求 ,现在假设
1果 ，该点就是零点，如果 ,则在区间 内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。
2如果 ，则在区间 内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。
3这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
P215
求 的零点就等价于求 的不动点，选择一个初始近似值 ，将它代入 的右端，可求得
，如此反复迭代有
，
称为迭代函数，如果对任何 ，由 得到的序列
有极限
，则称迭代方程收敛，且 为 的不动点，故称 为不动点迭代法。
5.什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 的收敛阶
P219
设迭代过程 收敛于 的根 ，如果当 时，迭代误差 满足渐近关系式
第5章
复习与思考题
1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？
答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现 的情况，这时消去法无法进行；即时主元素 ，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。
则
第7章
复习与思题
1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？
P213，若 且 ，根据连续函数性质可知 在 内至少有一个实根，这时称 为 的有根区间。
2.什么是二分法？用二分法求 的根， 要满足什么条件？
P213
一般地，对于函数 如果存在实数c,当x=c时，若 ,那么把x=c叫做函数 的零点。解方程即要求 的所有零点。
即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。
解：
因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。
因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所以B不能分解为三角阵的乘积。
F-范数
13、求证：
（a） ；
（b） 。
根据定义求证。
。
14、设 且非奇异，又设 为 上一向量范数，定义 。试证明 是 上向量的一种范数。
根据向量范数的定义来证明：
要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。
显然 ， 、
，从而 是 上向量的一种范数。
15、设 为对称正定，定义
，
试证明 是 上向量的一种范数。
齐次性
三角不等式
设 为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）
7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A =(ai j)的三种范数||A||1，||A||2，||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？