上海市浦东新区2024届高三一模数学试卷

上海市浦东新区2024届高三一模数学试卷
2023.12
一、填空题（本大题共12题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分） 1. 已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,3A =，则A = ； 2. 若复数5
12i
z =
+（其中i 表示虚数单位），则Im z = ； 3. 已知事件A 与事件B 互斥，且()0.3P A =，()0.4P B =，则()P A B = ； 4. 已知直线l 的倾斜角为
3
π
，请写出直线l 的一个法向量 ； 5. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若23n a n =−，则满足24m S =的正整数m 的值为 ；
6. 已知向量()3,4a =，向量()1,0b =，则向量a 在向量b 上的投影向量为 ；
7. 已知圆锥的母线玉底面所成的角为
3
π
，体积为3π，则圆锥的底面半径为 ； 8. 在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二
等品的概率为 ；
9. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min ），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是 ； 10. 如图，已知函数()sin y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02
πϕ<<
）
的图像与y 轴的交点为()0,1，并已知其在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+−。

记()y f x =，则3f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；
11. 已知曲线21:4C y x =（1x ≤），曲线222:2280C x x y −+−=（6x ≥），若ABC △的顶点的
A 坐标为()1,0，顶点
B 、
C 分别在曲线1C 和2C 上运动，则ABC △周长的最小值为 ；
12. 已知数列{}n a 满足1a a =，且对任意正整数n ，关于x 的实系数方程
()
2220n n x a a ++−=都有两个相等的实根。

若20240a =，则满足条件的不同实数a 的
个数为 个；
二、选择题（本大题共4题，13、14每题4分，15、16每题5分，共18分） 13. 如果0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A.
> B. 22a b > C. 2a ab > D. 33a b >
14. 某组样本数据由10个互不相同的数组成，去掉其中的最小数和最大数后，得到一组新的样本数据，则下列选项一定成立的是（ ）
A. 两组样本数据的平均数相同
B. 两组样本数据的方差相同
C. 两组样本数据的中位数相同
D. 两组样本数据的极差相同
15. 已知棱长为1的正n 棱柱有2n 个顶点，从中任取两个顶点作为向量a 的起点与终点，设底面的一条棱为AB 。

若集合{}
n A x x a AB ==⋅，则当n A 中的元素个数最少时，n 的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
16. 对于函数()y f x =和()y g x =及区间D ，若存在实数k 、b ，使得()()f x kx b g x ≥+≥对任意x D ∈恒成立，则称()y f x =在区间D 上“优于”()y g x =。

有以下两个结论： ① ()2log f x x =在区间[]1,2D =上优于()221g x x x =−+；
② 当2m ≤−时，()3f x x =在区间[]1,1D =−上优于()x g x e m =+。

那么（ ） A. ①②均正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②均错误
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17. 已知函数()y f x =，其中()42x x
k f x +=（R k ∈）。

（1）是否存在实数k ，使函数()y f x =是奇函数？若存在，请写出证明； （2）当1k =时，若关于x 的不等式()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围。

18. 如图，在四棱锥P ABCD −中，DP ⊥底面ABCD ，AB CD ∥，90ADC ∠=，3DP =，
2CD =，1AB AD ==，点F 为PD 的中点。

（1）求证：直线AF ∥平面PBC ； （2）求点D 到平面PBC 的距离。

19. 某街道规划建一座口袋公园。

如图所示，公园由扇形区域AOC 和三角形COD 区域组成。

其中A 、O 、D 三点共线，扇形半径OA 为30米。

规划口袋公园建成后，扇形AOC 区域将作为花草展示区，三角形COD 区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道。

（1）若3
AOC π
∠=，2OD OA =，求休闲步道总长（精确到米）；
（2）若6
ODC π
∠=
，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣。

请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形COD 的形状。

20. 已知双曲线2
2
:13
y C x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线右支上一点。

（1）求双曲线C 的离心率；
（2）设过点P 和2F 的直线与双曲线C 的右支有另一个交点为Q ，求OP OQ ⋅的取值范围； （3）过点P 分别作双曲线C 两条渐近线的垂线，垂足分别为M 、N 两点，是否存在点P ，
使得PM PN +=P 的坐标，若不存在，请说明理由。

21. 设()y f x =是定义在R 上的函数，若存在区间[],a b 和()0,x a b ∈，使得()y f x =在[]0,a x 上严格减，在[]0,x b 上严格增，则称()y f x =为“含谷函数”，0x 为“谷点”，[],a b 称为()y f x =的一个“含谷区间”。

（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： ① 2y x =；② cos y x x =+；
（2）已知实数0m >，()22ln 1y x x m x =−−−是含谷函数，且[]2,4是它的一个含谷空间，求m 的取值范围；
（3）设p 、q R ∈，()()432432h x x px qx p q x =−+++−−。

设函数()y h x =是含谷函数，[],a b 是它的一个含谷空间，并记b a −的最大值为(),L p q 。

若()()12h h ≤，且()10h ≤，求(),L p q 的最小值。

参考答案一、填空题
二、选择题
三、解答题。