北京市中考数学复习专题：新定义阅读理解问题

新定义阅读理解问题
新定义学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自学能力，便于学生养成良好的学习习惯。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”； 归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

一、基础练习部分
★例1:【——海淀期末】对于正整数n ，定义210()=()10
，，≥n n F n f n n ⎧<⎨⎩，其中f(n )表示n 的首位数字、
末位数字的平方和．例如：F(6)=62=36，F(123)=f(123)=12+32=10．
规定F 1(n )=F(n )，F k +1(n )=F(F K (n ))（K 为正整数）．例如：F 1(123)=F(123)=10，F 2(123)=F(F 1(123))=F(10)=1．
（1）求：F 2(4)= ，F(4)= ；
（2）若F 3m (4)=89，则正整数m 的最小值是 ． 答案：（1）37，26；（2）6. 练习①： 【通州一模】定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为31n +；②当n 为
偶数时，结果为k n 2（其中k 是使得k n 2
为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取6n =，则：12363105F F F −−−→−−−→−−−→① ②②第次第次第次
……，若1n =，则第2次“F 运算”的结果是 ；若13n =，则第次“F 运算”的结果是 . 答案：1，4
练习②：【门头沟二模】我们知道，一元二次方程x 2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数“i ”，使其满足i 2=-1 (即方程x 2=-1有一个根为i )，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=-1，i 3= i 2·i =(-1)（-1）·i =-i , i 4=( i 2)2=(-1) 2=1，从而对任意正整数n ，则i 6=______________;
由于i 4n+1=i 4n ﹒i=(i 4)n ﹒i=i,同理可得i 4n+2=﹣1, i 4n+3=﹣i , i 4n =1那么i + i 2+ i 3+ i 4+…+ i+ i 的值为_____ 答案:-1，i
★例2：【宣武一模】任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n =p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ）， 如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：()p F n q =．例如18可以分解成1×18、2×9或3×6，这时就有31(18)62
F ==．给出下列关于F(n )的说法：（1）1(2)2F =
；（2）3(24)8F =；（3）(27)3F =；（4）若n 是一个完全平方数，则F(n )=1．其中正确说法的个数是 （ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3
Ｄ．4 答案：Ｂ 练习①：【北京中考】在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的
每个数a i ，j ，规定如下：当i ≥j 时，a i ，j =1；当i ＜j 时，a i ，
j =0．例如：当i =2，j=1时，a i ，j =a 2，1=1．按此规定，a 1，
3= ；表中的25个数中，共有 个1；计算a 1，1•a i ，1+a 1，
2•a i ，2+a 1，3•a i ，3+a 1，4•a i ，4+a 1，5•a i ，5的值为 ．
答案：0；15；1. 练习②：【海淀二模】某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数学
0和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输．现采用一种简单的加密方法：
将原有的每个1都变成10，原有的每个0变成01．我们用A 0表示没有经过加密的数字串．这样对A 0进行一次加密就得到一个新的数字串A 1，对A 1再进行一次加密又得到一个新的数学串A 2，依此类推，…，例如：A 0：10，则A 1：1001．若已知A 2：100101101001，则A 0： ，若数字串A 0共有4个数字，则数字串A 2中相邻两个数字相等的数对至少．．有 对． 答案：101 ，4
练习③：【燕山一模】若将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．如在代数式a ＋b ＋c 中，把a 和b 互相替换，得b ＋a ＋c ；把a 和c 互相替换，得c ＋b ＋a ；把b 和c ……；a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：① (a －b )2；② ab ＋bc ＋ca ；③ a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中为完全对称式的是
A ．① ②
B ．② ③
C ．① ③
D ．①②③ 答案：A
练习④：【西城一模】在平面直角坐标系中，对于平面内任一点P (a ,b )若规定以下两种变换： ①f (a ,b )= (-a ,-b )．如f (1,2)= (-1,-2);②g (a ,b )= (b ,a )．如g (1,3)= (3,1)
按照以上变换，那么f （g (a ,b )）等于
A ．(-b ,-a )
B ．(a ,b )
C ．(b ,a )
D ．(-a ,-b ) 答案：A
★例3：【昌平二模】请阅读下列材料：
我们规定一种运算：，例如：． 按照这种运算的规定,请解答下列问题：（1）直接写出 的计算结果；
（2）若，直接写出和的值．
（3）当取何值时, ； 答案：(1)3.5; (2)x=8,y=2. (3) ;
a b ad bc c d
=-2325341012245=⨯-⨯=-=-1
220.5--0.51
7830.51x y x
y --==--x y x 0.5012x x
x -=15x -±=
a 1
，1 a 1，2 a 1，3 a 1，4 a 1，5 a 2，1 a 2，2 a 2，3 a 2，4 a 2，5 a 3，1 a 3，2
a 3，3 a 3，4 a 3，5 a 4，1 a 4，2
a 4，3 a 4，4 a 4，5 a 5，
1 a 5，
2 a 5，
3 a 5，
4 a 5，5
变式练习：【宣武一模】对于实数d c b a ,,,规定一种运算：c a bc ad d b -=，如21=-20()21-⨯ 220-=⨯-，那么)3(2x -2554=-时，=x （ ）.
（A ）413- （B ）427 （C ）423- （D ）43- 答案：(D)
练习：①【北京中考（课标卷）】用“☆”定义新运算： 对于任意实数a 、b ， 都有a ☆b =b 2＋1。

例如7☆4=42＋1=17，那么5☆3= ；当m 为实数时，m ☆(m ☆2)= 。

答案：10，26
②【东城二模】对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：v uv v u +=*．若关于x 的方程
1()4
x a x **=-有两个相等的实数根，则满足条件的实数a 的值是 ． 答案：0 ③【怀柔一模】现在我们定义一个数学运算符号“※”,使下列算式成立:4※8=16，10※6=26，6※10=22，18※14=50.求（100※800）※8= ； 答案：
④【海淀二模】关于实数a ,b ，有1,2-=⊕+=ab b a b a b a 则71897)]4(5[))2((⊕+-- 的值是________。

答案：0.25
⑤【西城二模】用“＆”定义新运算: 对于任意实数a ，b 都有a ＆b =2a -b ，如果x ＆（1＆3）=2，那么x 等于（ ）.
A .1
B . 32
C . 12
D.2 答案：C ⑥【丰台二模】在数学中，为了简便计算记1!＝1 ，2!＝2×1 ，3!＝3×2×1 ，……，
n ！＝n ×(n ﹣1) ×(n ﹣2) ×……×3×2×1．则！
！！！20062007-20072008 = ． 答案：1 ⑦【丰台一模】对于实数x ，规定1)(-='n n nx x ，若2)(2-='x ，则x=
⑧【大兴一模】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是
A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
答案: ⑦-1; ⑧C
★例4：【延庆二模】定义新运算：1()(0)a a b a b a a b b b
⎧-⎪⊕=⎨->≠⎪⎩且≤，则函数y =3⊕x 的图象大致是
答案：B 变式练习：【-房山期末】阅读下面的材料： 小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题： ()()()0210.a b b a a b b
b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩=-＞；定义运算“： ※”求为※※＜的值.
小明是这样解决问题的：由新定义可知a =1，b =-2，又b ＜0，所以1※（-2）= 12
. 请你参考小明的解题思路，回答下列问
题：
(1) 计算：2※3= ；
(2) 若5※m =56
，则m = . (3) 函数y =2※x （x ≠0）的图象大致是（ ）
（答案：（1）23
; (2) ±6; （3）D ） ★例5：【丰台一模】我们把函数图象与x 轴交点的横坐标称为这个函数的零点.如函数y =2x +1的图象与x 轴交点的坐标为（，0），所以该函数的零点是. （1）函数y =x 2+4x -5的零点是 ；
（2）如图，将边长为1的正方形ABCD 放置在平面直角坐标系xOy 中，且顶点A
在x 轴上.若正方形ABCD 沿x 轴正方向滚动，即先 以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点
B 落在轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续.顶点D 的轨迹是一函数的图
象，则该函数在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为.
答案：-5或1；π+1．
练习：①【海淀一模】若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC 是等径三角形，则等径角的度数为____。

答案：30°或150°
②【石景山二模】定义：平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ,若p,q 分别是
21-2
1-x
M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p,q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是___________. 答案：4
③【宣武二模】在平面直角坐标系中, 设点P 到原点O 的距离为ρ, OP 与x 轴正方向的夹角为α（0°＜α＜90°）, 用[ρ, α]表示点P 的极坐标, 显然, 点P 的极坐标与它的直角坐标存在某种对应关系. 例如: 当点P 的直角坐标为( 1, 1)时, 它的极坐标为[2,45°]. 如果点Q 的极坐标为[4,60°], 那么点Q 的直角坐标可以为
A .（2，23）
B . （-2，23）
C .( 23,2) D.( 2, 2) 答案：A ★例6：【宣武一模】对于三个数a ,b ,c ，M {a ,b ,c }表示a ,b ,c 这三个数的平均数，min {a ,b ,c }表示a ,b ,c 这三个数中最小的数，如：{}12341,2,333
M -++-==，{}min 1,2,31-=-；{}1211,2,33a a M a -+++-==，{}()()1min 1,2,11a a a a ≤-⎧⎪-=⎨->-⎪⎩
． 解决下列问题：
（1）填空：min {s in 30°，c os45°,t an 30°}= ；若min {2,2x +2,4-2x }=2，则x 的取值范围是 ；
（2）①若M {2,x +1,2x }=min {2, x +1,2x }，那么x ＝ ；
②根据①，你发现结论“若M {a ,b ,c }= min {a ,b ,c }，那么 ”（填a ,b ,c 大小关系）；
③运用②，填空：若M ={2x +y +2,x +2y ,2x -y }=min {2x +y +2,x +2y ,2x -y },则x +y = ；
（3）在同一直角坐标系中作出函数y =x +1，y =(x -1)2，y =2-x 的图象（不需列表，描点），通过图象，得出min { x +1，(x -1)2，2-x }最大值为 ．
答案：⑴0.5，01x ≤≤；⑵①1，②a b c ==，③4-；⑶1
变式练习1：【东城一模】定义符号min {a ,b }的含义为：当a ≧b 时, min {a ,b }=b ；当a ＜b 时, min {a ,b }=a ．如：min {1,-2}=-2，min {-1, 2}=-1．
(1)求min {x 2-1,-2};
(2)已知min {x 2-2x +k ,-3}=-3, 求实数k 的取值范围;
(3) 已知当-2≤x ≤3时，min {x 2-2x -15,m (x +1)}=x 2-2x -15.直接写出实数m 的取值范围.
答案：（1）-2；(2)k ≥-2；（3）-3≤m ≤7
变式练习2:【东城二模】用min {a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数y =min {x 2+1,1-x 2}，则y 的图象为
答案：C
变式练习3：①【西城一模】对于实数c 、d ，我们可用min { c ，d }表示c 、d 两数中较小的数，如min {3，-1}=-1.若关于x 的函数y = min {2x 2，a (x -t )2}的图象关于直线x=3对称，则a 、t 的值可能是
A ．3，6
B ．2，-6
C ．2，6
D ．-2，6 答案：C
变式练习4：【东城二模】用min {a ,b ,c }表示a ,b ,c 三个数中的最小值，若y = min {x 2，x +2,10-x }(x ≥0)则y 的最大值为
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 答案：C
练习：【石景山二模】规定：用{m }表示大于m 的最小整数，例如{
25}=3，{5}=6，{-1.3}=－1等；用[m ]表示不大于m 的最大整数，例如[2
7]=3，[4]=4，[－1.5]= －2，如果整数x 满足关系式:2{x }+3[x ]=12，则x =__________. 答案：2
变式练习.【通州二模】对于实数x ，我们规定[x ]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-
2.5]=-
3.若5104=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+x ，则x 的取值可以是（ ） A ．40
B ．45
C ．51
D ．56 答案：C 二、提高练习部分
★例1：【—海淀期中】阅读下面材料：
小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x 1,x 2,x 3，称为数列x 1,x 2,x 3．计算| x 1|，122x x +，1233
x x x ++，将这三个数的最小值称为数列x 1,x 2,x 3的价值．例如，对于数列2,-1,3因为22=，2(1)122=+-，2(1)3433+-+=，所以数列2，1-，3的价值为12
． 小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列1-，2，3的价值为12
；数列3，1-，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，1-，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为12
． 根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列-4，-3,2的价值为______；
（2）将“-4，-3,2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为___ ，取得价值最小值的数列为_____（写出一个即可）； （3）将2，-9，a (a ＞1)这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a 的值为____． 答案：（1）5
3（2）12
， 3,2,4--或2,3,4--．（3）11或4． ★例2：【西城一模】给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的距离．
在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．
（1）点A 的坐标为A (1,0)，则点B (2,3)和射线O A 之间的距离为________，点C (-2,3)和射线OA 之间的距离为________；
（2）如果直线y =x 和双曲线k y x
=之间的距离为2，那么k = ； （3）点E 的坐标为(1,3)，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转60︒，得到射
线OF ，在坐标平面内所有和射线OE ，OF 之间的距离相等的点所组成的图形
记为图形M ．
①请在图2中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某
个区域时可以用阴影表示）
②将射线OE ，OF 组成的图形记为图形W ，抛物线y =x 2-2与图形M 的公共部分记为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．
（答案：（1）3，13；（2）-1；（3）②4：3）
变式练习1：【燕山一模】定义：对于平面直角坐标系中的任意线段AB 及点P ，任取线段．．AB 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段．．AB 的距离，记作d
（P →AB ）．
已知O 为坐标原点，A (4，0)，B (3，3)，C (m ，n )，D (m ＋4，n )是
平面直角坐标系中四点．根据上述定义，解答下列问题：
(1)A 到线段OB 的距离d (A →OB ) ＝ ；
⑵已知点G 到线段OB 的距离d （G →OB ）＝5，且点G 的横坐标为1，则点G 的纵坐标为 ． ⑶当m 的值变化时，点A 到动线段CD 的距离d (A →CD )始终为2，线段CD 的中点为M ．
①在图⑵中画出点M 随线段CD 运动所围成的图形并求出该图形的面积．
②点E 的坐标为(0，2)，m ＞0，n ＞0，作MH ⊥x 轴，垂足为H ．是否存在m 的值，使得以A 、M 、H 为顶点的三角形与△AOE 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）22；（2）－2或101+;(3) ①16+4π；②m ＝1或m ＝3或m ＝5
26
变式练习2：【密云二模】【——通州期末】概念：P 、Q 分别是两条线段a 和b 上任意一点，线段PQ 长度的最小值叫做线段a 与线段b 的距离． 已知O （0，0），A （4，0），B （m ，n ），C （m +4，n ）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述概念，当m =2，n =2时，如图1，线段BC 与线段O A 的距离是 ；当m =5，n =2时，如图2，线段BC 与线段O A 的距离（即线
段AB 长）为 ；
（2）如图3，若点B 落在圆心为A ，半径
为2的圆上，线段BC 与线段O A 的距离记
为d ，求d 关于m 的函数解析式．
（3）当m 的值变化时，动线段BC 与线段
O A 的距离始终为2，线段BC 的中点为M ， ①求出点M 随线段BC 运动所围成的封闭图形的周长； ②点D 的坐标为（0，2），m ≥0，n ≥0，作MN ⊥x 轴，垂足为H ，是否存在m 的值使以A 、M 、H 为顶点的三角形与△A OD 相似？若存在，求出m 的值；若不存在 请说明理由．
(答案：（1）2、5；（2）2812m m -+-；（3）①16+4π；②存在，1、3或265
) 变式练习3：【门头沟一模】概念：点P 、Q 分别是两条线段a 和b 上任意一点，线段PQ 长度的最小值叫做线段a 与线段b 的“理想距离”．已知O （0，0），A （3，1），B （m ，n ），C （m ，n +2）是平面直角坐标系中四点．
(1)根据上述概念，根据上述概念，完成下面的问题（直接写答案）
①当m =23，n =1时，如图13-1，线段BC 与线段OA 的理想距离是 ；
②当m =23，n =2时，如图13-2，线段BC 与线段OA 的理想距离为 ；
③当m =23，若线段BC 与线段OA 的理想距离为3,则n 的取值范围是 .
（2）如图13-3，若点B 落在圆心为A ，半径为1的圆上，当n ≥1时，线段BC 与线段OA 的理想距离记为d ，则d 的最小值为 (说明理由)
（3）当m 的值变化时，动线段BC 与线段OA 的距离始终为1，线段BC 的中点为G ，求点G 随线段BC 运动所走过的路径长是多少？
变式练习4：【延庆一模】已知：在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：线段AB 及点P ，任取AB 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段AB 的距离，记作d （P →AB ）．
（1）如图1，已知C 点的坐标为（1，0），D 点的坐标为（3，0），求点P （2，1）到线段CD 的距离d （P →CD ）为 ；
答案：(1) ①3；
②2；③﹣1≤n ≤1；
（2）d =0.5 (4) 8+2π
（2）已知：线段EF：y=x（0≤x≤3），点G到线段EF的距离d（P→EF）为2，且点G的横坐标为1，在图2中画出图，试求点G的纵坐标．
（答案：（1）1；（2）3或-1。

）
变式练习5：【丰台一模】设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.例如:正方形ABCD满足A(1，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(1，1)，那么点O(0，0)到正方形ABCD的距离为1. （1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O(0，0)到⊙P的距离为；
（2）①求点M(3,0)到直线y=2x+1的距离；
②如果点N(0,a)到直线y=2x+1的距离为3，那么a的值是；
（3）如果点G(0,b)到抛物线y=x2的距离为3，请直接写出b的值.
(答案：（1）4；（2）①75
5
②135
a=±（3）3
b=-或
37
4
b=．)
变式练习6：【通州一模】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)、B(6，3)，连结AB. 若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“邻近
点”．
（1）判断点D，是否线段AB的“邻近点”（填“是”或“否”）；
（2）若点H(m，n)在一次函数y=x-1的图象上，且是线段AB的“邻近点”，求
m的取值范围．
（3）若一次函数y=x+b的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b的取值范围.
（答案：(1)是;(2) 3≤m≤5;(3).）
★例3：【北京中考】在平面直角坐标系x o y中，对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)
的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|；
若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|.
例如：点P1(1,2)，点P2(3,5)，因为|1-3|＜|2-5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。

（1）已知点
1
(0)
2
A-，，B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知C是直线
3
3
4
y x
=+上的一个动点，
719
(,)
55
3212
b
--≤≤+
①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标； ②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标。

（答案：（1）①（0，2）或（0，-2）；②12 ；（2）C 89()55 -，，E 34()55
-，时， 1.） 变式练习：【密云一模】对于平面直角坐标系中的任意两点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2) 我们把| x 1- x 2|+| y 1- y 2| 叫做P 1, P 2 两点间的直角距离，记作d(P 1, P 2) .
（1）已知O 为坐标原点，动点p(x ,y ) 满足d(O,P) =1，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形；
（2）设P 0(x 0,y 0) 是一定点，Q(x ,y )是直线y =ax +b 上的动点，我们把d(P 0,Q)的最小值叫做P 0到直线y =ax +b 的直角距离．试求点M (2,1) 到直线y =x +2的直角距离． 答案：(2)3.
★例4：【北京中考】对于平面直角坐标系x O y 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得∠A P B =60°，则称P 为⊙C 的关联点。

已知点D （21，2
1），E （0，-2），F （32，0） （1）当⊙O 的半径为1时，
①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是__________；
②过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO=30°，若直线上的点P （m ,n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；
（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围。

答案：⑴①D,E;②0≤x ≤3;(2)r≥1
变式练习1：【西城二模】在平面直角坐标系x o y 中，对于⊙A 上一点B 及⊙A 外一点P ，给出如下定义：若直线PB 与 x 轴有公共点（记作M ），则称直线PB 为⊙A 的“x 关联直线”，记作l P BM .
（1）已知⊙O 是以原点为圆心，1为半径的圆，点P （0,2），
①直线l 1:y =2，直线l 2：y =x +2，直线l 3：32y x =+，直线l 4：y =-2x +2都经过点P ，在直线l 1，l 2，l 3，l 4中，是⊙O 的“x 关联直线”的是 ；
②若直线l P BM 是⊙O 的“x 关联直线”，则点M 的横坐标x M 的最大值是 ；
（2）点A （2,0）,⊙A 的半径为1，
①若P （-1,2）,⊙A 的“x 关联直线” l P BM ：y =kx +k +2，点M 的横坐标为x M ，当x M 最大时，求k 的值； ②若P 是y 轴上一个动点，且点P 的纵坐标y p ＞2，⊙A 的两条“x 关联直线” l P CM , l PD N 是⊙A 的两条切线，切点分别为C ,D ，作直线CD 与x 轴点于点E ，当点P 的位置发生变化时， AE 的长度是否发生改变？并说明理由.
答案：（1）①34,l l ；②23M x （2）①33k -=；②AE 的长度不发生改变。

★例5：【北京中考】在平面直角坐标系xoy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P′，满足C P+C P′=2r ，则称P′为点P 关于⊙C 的反称点，下图为点P 及其关于⊙C 的反称点P′的示意图。

(1)当⊙O 的半径为1时。

①分别判断点(2,1)M ，3(,0)2
N ，(1,3)T 关于⊙O 的反称点是否存在，若存在？求其坐标； ②点P 在直线y =-x +2上，若点P 关于⊙O 的反称点P′存在，且点P′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围； (2)当⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线323y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P '在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围。

(答案：⑴①(2,1)M 不存在；3(,0)2N 存在反对称点N ′为（
0,21）；(1,3)T 存在反对称点T′为(0,0);②0＜x ＜2;(2)2≤x ≤8)
变式练习：【—燕山期末】在平面直角坐标系x O y 中，⊙C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线．．CP 上一点，满足C P·
C P′=r 2，则称点P′为点P 关于⊙C 的反演点．右图为点P 及其关于⊙C 的反演点C P′的示意图．
(1) 如图1，当⊙O 的半径为1时，分别求出点M (1，0)，N （0，2），T （
21，2
1）关于⊙O 的反演点M ′，N ′，T′的坐标；
(2) 如图2，已知点A (1，4)，B (3，0)，以AB 为直径的⊙G 与y 轴交于点C ，D (点C 位于点D 下方)，E 为CD 的中点．
① 若点O ，E 关于⊙G 的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G 的大小；
② 若点P 在⊙G 上，且∠BAP ＝∠OBC ，设直线AP 与x 轴的交点为Q ，点Q 关于⊙G 的反演点为Q′，请直接写出线段G Q′的长度． 答案：(1)'M (1，0)，'N (0，2
1)，'T (1，1)；(2) ∠G O''E ＝90°; (3)13135或412057 变式练习2：【—石景山期末】在平面直角坐标系x O y 中，⊙O 的半径为1，P 是坐标系内任意一点，点P 到⊙O 的距离S p 的定义如下：若点P 与圆心O 重合，则S p 为⊙O 的半
径长；若点P 与圆心O 不重合，作射线OP 交⊙O 于点A ，则S p 为线段AP 的长
度．
图1为点P 在⊙O 外的情形示意图．
（1）若点()0,1B ，()1,1C ，⎪⎭
⎫
⎝⎛31,0D ，则=B S ___；=C S ___；
=D S ___；
（2）若直线y =x +b 上存在点M ，使得S M =2，求b 的取值范围；
（3）已知点P ，Q 在x 轴上，R 为线段PQ 上任意．．一点．若线段PQ 上存在一点T ，满足T 在⊙O 内．且S T ≥S R ，直接写出满足条件的线段PQ 长度的最大值．
答案：(1) 0B S =；21C S =-；23D S = ;(2) 3232b -≤≤ ;(3) 4. ★例6：【西城二模】对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点M ，N ，使△PMN 为正三角形，则称图形G 为点P 的τ型线，点P 为图形G 的τ型点，△PMN 为图形G 关于点P 的τ型三角形．
（1）如图1，已知点(0,3)A -，(3,0)B ，以原点O 为圆心的⊙O 的半径为1．在A ，B 两点中，
⊙O 的τ型点是____，画出并回答⊙O 关于该τ型点的τ型三角形；（画出一个即可）
（2）如图2，已知点E(0,2)，点F(m ,0)（其中m ＞0）．若线段EF 为原点O 的τ型线，且线段EF 关于原点O 的τ型三角形的面积为43，求m 的值； （3）若H(0,-2)是抛物线y =x 2+n 的τ型点，直接写出n 的取值范围．
(答案：（1）点A ；（2）2m =；（3）n ≤54
-
)
练习1：【—丰台期末】在平面直角坐标系xOy 中，定义点P
（x ,y ）的变换点为P ′(x +y , x -y )．
(1) 如图1，如果⊙O 的半径为22，
① 请你判断M (2,0)，N (-2,-1)两个点的变换点与⊙O 的位置关
系；
② 若点P 在直线y =x +2上，点P 的变换点P ′在⊙O 的内，求点P 横坐标的取值范围.
(2) 如图2，如果⊙O 的半径为1,且P 的变换点P ’在直线y =-2x +6上，求点P 与⊙O 上任意一点距离的最小值．
答案：（1）①M′(2,2),N′(-3,-1), M′在圆上；N′在圆外；②-2＜x 小于0；（2）1-1053 练习2：【延庆一模】对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，给出如下定
义：在线段AB 外有一点P ，如果在线段AB 上存在两点C 、D ，使得∠CPD =90°，那么
E x
就把点P 叫做线段AB 的悬垂点．
（1）已知点A （2，0），O （0，0） ①若1(1,)2C ，D （1，1），E （1，2），在点C ，D ，E 中，线段AO 的悬垂点是___；
②如果点P （m ，n ）在直线1y x =-上，且是线段AO 的悬垂点，求m 的取值范围；
（2）如下图是帽形M （半圆与一条直径组成，点M 是半圆的圆心），且圆M 的半径是1，若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围．
(答案：（1）①C ，D ；;②2211122
m m -≤≤+≠且;(2) 2a ≥) 练习3：【海淀二模】如图1，在平面直角坐标系x o y 内，已知点A (-1,0)，B (-1,1)，C (1,0)，D(1,1)，记线段AB 为T 1，线段C D 为T 2，点P 是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点P 的直线l 与T 1，T 2都有公共点，则称点P 是T 1-T 2联络点．例如，点P 1(0,)2是T 1-T 2联络点．
（1）以下各点中，________是T 1-T 2联络点（填出所有正确的序号）；
①（0,2）；②（-4,2）； ③（3,2）.
（2）直接在图1中画出所有T 1-T 2联络点所组成的区域，用阴影部分表示；
（3）已知点M 在y 轴上，以M 为圆心，r 为半径画圆，⊙M 上只有一个点为T 1-T 2联络点， ①若r=1，求点M 的纵坐标；
②求r 的取值范围．
（答案：（1） ②，③；（3）①点M 的纵坐标为1-或2．②052r <<+）
练习4：【朝阳一模】定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距
离”．
（1）若P (1，2)，Q (4，2) ．
①在点A (1，0)，B (2
5，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ； ②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时
t 的值.
（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．
（答案：（1）①（1）A 、B ；②2
5=t 时，最小值为5；（2）Q （554，552）或Q （554-，
y x l E D C B O A
5
52）） 练习5：【石景山一模】在平面直角坐标系x o y 中，点A 在直线l 上，以A 为圆心，O A 为半径的圆与y 轴的另一个交点为E ．给出如下定义：若线段OE ，⊙A 和直线l 上分别存在点B ，点C 和点D ，使得四边形ABC D 是矩形（点A ,B ,C ,D 顺时针排列），则称矩形ABC D 为直线l 的“理想矩形”．例如,下图中的矩形ABC D 为直线l 的“理想矩形”． （1）若点A (-1,2)，四边形ABC D 为直线x =-1的“理想矩形”，则点D 的坐标为 ；
（2）若点A (3,4)，求直线y =kx +1(k ≠0)的“理想矩形”的面积；
（3）若点A (1,-3)，直线l 的“理想矩形”面积的最大值为 ，此时点D 的坐标为 ． (答案：（1）()1,0D -；（2）314AB BC ⨯=（3）最大值是5．()()1,23,2D ---或．)
例7：【—西城期末】在平面直角坐标系x O y 中，过⊙C 上一点P 作⊙C 的切线l ,当入射光线照射在点P 处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l 的夹角和入射光线与切线l 的夹角相等，点P 称为反射点。

规定：光线不能“穿过”⊙C ，即当入射光线在⊙C 外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C 内时，只在圆内进行反射。

特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线。

光线在⊙C 外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2.
（1）自⊙C 内一点出发的入射光线经⊙C 第一次反射后的示意图如图2所示，P 1是第1个反射点，请在图2中作出光线经⊙C 第二次反射后的反射光线；
（2）当⊙O 的半径为1时，如图3，
①第一象限内的一条入射光线平行于x 轴，且自⊙O 的外部照射在其上点P 处，此光线经⊙O 反射后，反射光线与y 轴平行，则反射光线与切线l 的夹角为 °；
②自点A (－1,0)出发的入射光线，在⊙O 内不断地反射，若第1个反射点P 1在第二象限，且第12个反射点P 12与点A 重合，则第一个反射点P 1的坐标为 ；
（3）如图4，点M 的坐标为（0，2），⊙M 的半径为1，第一象限
内自点O 出发的入射光线经⊙M 反射后，反射光线与坐标轴无公共点，x P 1
求反射点P 的纵坐标的取值范围。

★例8：【海淀二模】对于半径为r 的⊙P 及一个正方形给出如下定义：若⊙P 上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P 是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为（2，4），顶点C 、D 在x 轴上，且点C 在点D 的左侧.
（1）当r =42时，
①在P 1（0，-3），P 2（4，6），P 3（42，2）中可以成为正方形ABCD 的“等距圆”的圆心的是； ②若点P 在直线y = －x +2上，且⊙P 是正方形ABCD 的“等距圆”，则点P 的坐标为；
（2）如图2，在正方形ABCD 所在平面直角坐标系xOy 中，正方形EFGH 的顶点F 的坐标为（6，
2），顶点E 、H 在y 轴上，且点H 在点E 的上方.
①若⊙P 同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC 所在直线相切，求⊙P 在y 轴上截得的弦长； ②将正方形ABCD 绕着点D 旋转一周，在旋转的过程中，线段HF 上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r 的取值范围是 ．
（答案：（1）①P 2，P 3； P （-4，6）或
P （4，-2）. （2）①454±,②0221722r r <<>+或）
练习1：【人大附中初三月考】对于两个已知图形G 1、G 2，在G 1上任取一点P ，在G 2上任取一点Q ，当线段PQ 的长度最小时，我们称这个最小的长度为G 1、G 2的“密距”；当
线段PQ 的长度取最大值时，我们称这个最大的长度为图形G 1、G 2的“疏距”。

请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题：
在平面直角坐标系x O y 中，点A 的坐标为（−3, 4 ），点B 的坐标为（3，
4），矩形ABC D 的对称中心为点O 。

（1）线段A D 和BC 的“密距”是 ；“疏距”是 ；
（2）设直线 ）＞0(4
3b b x y +=与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若线段EF 与矩形ABC D 的“密距”是1，求它们的“疏距”；
（3）在平面直角坐标系x O y 中有一个四边形K L MN ，将矩形ABC D 绕点O
旋转一周，在旋转过程中，它与四边形K L MN 的“疏距”的最大值为7，
①旋转过程中，它与四边形K L MN 的“密距”的取值范围是 ；
②求四边形K L MN 的面积的最大值。

（答案：（1）6，10；（2）185或41；（3）①1≤“密距”≤2
77-；②8） 练习2：【-海淀第一学期期末】在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)是图形W 上的任意两点．
定义图形W 的测度面积：若| x 1-x 2|的最大值为m ，| y 1-y 2|的最大值为n ，则S=mn 为图形W 的测度面积．例如，若图形W 是半径为1的⊙O ．当P ，Q 分别是⊙O 与x 轴的交点时，如图1，| x 1-x 2| 取得最大值，且最大值m =2；当P ，Q 分别是⊙O 与y 轴的交点时，如图2，| y 1-y 2|取得最大值，且最大值n =2．则图形W 的测度面积S=mn =4．
（1）若图形W 是等腰直角三角形ABO ，OA =OB =1.
①如图3，当点A ，B 在坐标轴上时，它的测度面积S = ； ②如图4，当AB ⊥x 轴时，它的测度面积S = ；
（2）若图形W 是一个边长为1的正方形ABCD ，则此图形测度面积S 的最大值为 ；
（3）若图形W 是一个边长分别为3和4的矩形ABCD ，求它的测度面积S 的取值范围．
答案: （1）① 1；② 1．
（2） 2．49122
≤≤S ） 练习3：【石景山一模】在平面直角坐标系x o y 中，对于任意三点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：
“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=a h.
例如：三点坐标分别为A (1,2)，B (-3,1)，C (2,-2)，则“水平底”a =5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=a h =20．
（1）已知点A (1,2)，B (-3,1)，P(0,t)．
①若A ，B ，P 三点的“矩面积”为12，求点P 的坐标；
②直接写出A ，B ，P 三点的“矩面积”的最小值．
（2）已知点E(4,0)，F(0,2)，M (m ,4m )，)16,(n
n N ，其中m ＞0，n ＞0. ①若E,F,M 三点的“矩面积”为8，求m 的取值范围；
②直接写出E,F,N 三点的“矩面积”的最小值及对应n 的取值范围．
（答案：（1）①(0,4)；②4；（2）①0＜m ≤0.5；②16，84≤≤n ）
★例9：【怀柔一模】在平面直角坐标系x O y 中，已知 A (-2，0)，B (2，0)，AC ⊥AB 于点A ，AC =2，B D ⊥AB 于点B ，B D=6，以AB 为直径的半圆O 上
有一动点P （不与A 、B 两点重合），连接PD 、
P C ，我们把由五条线段AB 、B D 、DP 、P C 、CA 所
组成的封闭图形AB DP C 叫做点P 的关联图形，如
图1所示.
（1）如图2，当P 运动到半圆O 与y 轴的交点位
置时，求点P 的关联图形的面积.
（2）如图3，连接C D 、O C 、OD,判断△O C D 的形状，并加以证明.。