湖南省长沙市第一中学2021届高三下学期月考(八)数学试题含答案Word版

长沙市一中2021届高三月考试卷（八）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集U R =，若{}|06A x N x =∈<≤，{}
2
|340B x x x =-++≤，则()U A
C B =（ ）
A ．(]0,4
B ．(]
0,1 C ．{}1 D ．{}1,2,3 2．设复数2021
12i z i
+=-，则z 的虚部是（ ）
A ．35
B ．35i
C ．15
D ．1
5
i
3．函数()3
sin f x x x x =++，则1a >-是()()120f a f a ++>的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．2020年12月1日，长沙市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有（如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们前后左右位置关系不作考虑）（ ）
A ．18种
B ．24种
C ．36种
D ．72种
5．已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为12,e e ，且满足21e =，12,F F 是它们的公共焦
点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若0
12120F PF ∠=，则双曲线2C 的离心率为（ ）
A B C ．2 D 6．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高.已知1丈等于10尺，则能推算出该葛藤长为（ ） A ．21尺 B ．25尺 C ．29尺 D ．33尺 7．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,
,n a a a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,,n n a a ++的最小项为n B ，
令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2
276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）
A ．-169
B ．-134
C ．-103
D ．-78
8．若ln x a e x a -≥+对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．(],1-∞
C ．(],2-∞
D ．(],e -∞
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A ．0AB BA +=
B ．若a b =且//a b ，则a b =
C ．若,a b 非零向量且a b a b +=-，则a b ⊥
D ．若//a b ，则有且只有一个实数λ，使得b a λ=
10. 已知,x y R ∈，且0x y >>，则下列说法错误的是（ ）
A ．110x y ->
B ．sin sin 0x y ->
C ．11022x y
⎛⎫⎛⎫
-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．ln ln x x y y >
11. 在棱长为2的正四面体ABCD 中，点则,,E F G 分别为棱,,BC CD DA 的中点，则（ ） A ．//AC 平面EFG
B ．过点,,E F G 的截面的面积为
1
2
C ．异面直线EG 与AC 所成角的大小为4
π D ．CD 与平面GBC 所成角的大小为
6
π
12. 将函数()()cos 02f x x πωω⎛⎫
=-
> ⎪⎝
⎭
的图象向右平移
2
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =-，则下列说法正确的是（ ）
A ．()g x 为奇函数
B ．02g π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
C ．当5ω=时，()g x 在()0,π上有4个极值点
D ．若()g x 在0,
5π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的最大值为5 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在6
⎛
⎝
的展开式中，常数项等于_________ .
14．写出一个图象关于直线1x =对称的奇函数()f x =_______.
15．曲线ln y a x =-在点()1,a 处的切线与曲线x
y e =-相切，则a =____________.
16．已知(),01
2sin ,13
x f x x x π⎧≤≤⎪
=⎨
<≤⎪⎩，若存在实数123,,x x x ，满足12303x x x ≤<<≤，且
()()()123f x f x f x ==，则2x 的取值范围为 __________；2314x x x π
-
的最大值为_________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）
已知,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C sin cos C c A c =+. （1）求A ；
（2）在①ABC ∆；
②ABC ∆的周长为6+
③
1cos 2
c B -=B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：已知2b =，______________.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若满足()1321n n S S n +=++，且12a =. （1）证明：数列{}1n a +是等比数列；
（2）判断数列123n n n a a +⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T 与1
2的大小关系，并说明理由.
19.（本小题满分12分）
如图1，在ABV ∆中，1AC BC CV ===，AC VB ⊥于C .现将ABV ∆沿AC 折叠，使V AC B --为直二面角（如图2），D 是棱AB 的中点，连接,,CD VB VD . （1）证明：平面VAB ⊥平面VCD ； （2）若棱AB 上有一点E 满足1
4
BE BA =
，求二面角C VE A --的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>
的离心率是2
，点F 是椭圆E 的左焦点，点A 为椭圆E 的右顶点，
点B 为椭圆E
的上顶点，且1
2
ABF S ∆=. （1）求椭圆E 的方程；
（2）设点(),0P m 为椭圆E 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为
b
a
的直线l 交椭圆E 于,S T 两点，证明：22
PS PT +为定值.
21.（本小题满分12分）
公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere ）向另一位著名的数学家帕斯卡（.B Pascal ）提请了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat ）讨论了这个问题，后来惠更斯（.C Huygens ）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.
该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢
()*1,k k k N >∈局，谁更赢得全部赌注a 元.每局甲赢的概率为()01p p <<，乙 赢的概率为1p -，且每
局赌博相互独立.在甲赢了()m m k <局，乙赢了()n n k <局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k 局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比:P P 甲乙分配赌注.
（1）甲、乙赌博意外终止，若2
243,4,2,1,3
a k m n p =====
，则甲应分得多少赌注？ （2）记事件A 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当4,2,1k m n ===时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率()f p ，并判断当4
5
p ≥
时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件. 22.（本小题满分12分）
已知函数()()()22x x f x e ae a x a R -=--+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：当21
52
a ≤≤时，
函数()f x 有且只有三个零点.（参考数据： 2.72e ≈，27.39e ≈，320.01e ≈）
参考答案
一、选择题 1.D
{}{}1,2,3,4,5,6,|14A B x x x ==≤-≥或，{}|14U C B x x =-<<，
所以(){}{}{}1,2,3,4,5,6|141,2,3U A C B x x =-<<=，故选D.
2. A
()()()()202145051211113222225
i i i i i i i
z i i i i i ⨯++++⨯++=====
----+， 所以z 的虚部是3
5
，故选：A 3. B
由题意可得：()2cos 310f x x x '=++>恒成立， 所以函数()3sin f x x x x =++在R 上递增，
又()()()()()
()3
3sin sin f x x x x x x x f x -=-+-+-=-++=-， 所以函数()f x 是奇函数，
当()()120f a f a ++>，即()()()122f a f a f a +>-=-， 所以12a a +>-，解得13
a >-， 当1a >-时，则13
a >-，显然不成立； 反之，当13
a >-，则1a >-，成立，
所以1a >-是()()120f a f a ++>的必要不充分条件，故选：B 4. C
根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，
先选出两个垃圾桶，有2
46C =种选法.
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有3
3A 种放法；
所以不同的摆放方法共有23
436636C A =⨯=种，故选：C
5. C
设11
PF r =，22PF r =， 在椭圆2212211
:1x y C a b +=中，()()()2222201212121211222cos1202c r r rr r r rr a rr =+-=+-=-，
∴222
1211444r r a c b =-=
在双曲线2222222
:1x y C a b -=中，()()()222220
1212121221222cos120323c r r rr r r rr a rr =+-=-+=+
∴22
222
122
2
12434443
b r r
c a b r r =-=⇒=，
∴
2221443
b b =即22213b b =，则()2222213a
c c a -=- 所以22222
212
1
222221
313
3444a a a a c c c e e +=⇒+=⇒+=
又因为21e =，所以2
222
115
4e e +=， 解得22e =，故选：C 6.C
如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF ， 由题意得：2AB =丈20=尺，圆周长3BE =尺， 则葛藤绕圆柱7周后长为
29BD ===尺，
故选：C 7. A
数列{}n a 的通项公式为2
276n a n n =-+，
故从2a 起单调递增，且1231,0,3a
a a ===，
所以
11112101
b A B a a =-=-=-=，
22213
b A B a a =-=-，
33334
b A B a a =-=-，
44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，
所以数列{}n b 的前10项和为：
()()()()121013344510111b b b a a a a a a a a ++
+=+-+-+-++-
1111a a =+-
11171=+- 169=-，
故选A. 8. B
设()()ln 0x a f x e x a x -=-->，则()ln 0x a f x e x a -=--≥，恒成立，
由()1x a
f x e
x -'=-
，令()1x a h x e x -=-，则()210x a
h x e x -'=+>恒成立， 所以()()10x a h x e x x -=->为增函数，令10x a
e x
--=得()00x x x =>，
当00x x <<时，()0h x <，当0x x <时，()0h x >；
所以()f x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增，故()f x 在0x x =处取得最小值. 故最小值()000ln 0x a f x e x a -=--≥，因为00
1
x a
e
x -=
，则00ln x a x -=-，即00ln a x x =+， ()0000
1
2ln 0f x x x x =
--≥ 令()()1
2ln 0g x x x x x
=
--> 则()g x 在()0,+∞单调递减，
又∵()10g =，∴()00001f x x ≥⇔<≤ ∴00ln 1a x x =+≤ 故选：B 二、选择题 9.AC
由,AB BA 互为相反向量，则0AB BA +=，故A 正确；由a b =且//a b ，可得a b =或a b =-，故B
错；由a b a b +=-，则两边平方化简可是0a b =，所以a b ⊥，故C 正确；根据向量共线基本定理可知D 错，因为要排除a 为零向量，故选：AC 10. ABD ∵0x y >>， 选项A ，取1
1,2
x y ==
，则111210x y -=-=-<，A 错；
选项B ，取,2
x y π
π==
，则sin sin sin sin
102
x y π
π-=-=-<，B 错；
选项C ，()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，∴1122x
y
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11022x
y
⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
成立，C 正确.
选项D ，由单调性知，D 错. 故选：ABD. 11.
ACD
对A ，∵点,F G 为棱,CD DA 的中点，∴//FG AC ，∵FG ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ， ∴//AC 平面EFG ，故A 正确；
对B ，取AB 中点H ，则可得四边形EFGH 为截面，由A 选项可得1
//,2
FG AC FG AC =
，同理可得1
//,2
HE AC HE AC =
，则//HE FG ，且HE FG =且HE FG =，故四边形EFGH 为平行四边形，取BD 中点M ，则可得,BD AM BD CM ⊥⊥，∵AM CM M =，则BD ⊥平面AMC ，∴BD AC ⊥，
则EF FG ⊥，故平行四边形EFGH 为正方形，且边长为1，故截面面积为1，故B 错误；
对C ，异面直线EG 与AC 所成的角与EGF ∠相等，故C 正确；
对D ，如图，,DA GB DA GC ⊥⊥，∴DA ⊥平面GBC ，则DCG ∠即为CD 与平面GBC 所成角，易得
030DCG ∠=，故D 正确.
故选：ACD 12. BCD
∵()()cos sin 02f x x x πωωω⎛⎫
=-
=> ⎪⎝
⎭
， ∴()sin 2g x x πω⎡⎤
⎛⎫=-
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，且()01g =-， ∴()1222
k k Z π
ωπ⎛
⎫
-
=-∈ ⎪⎝
⎭
，
即14k ω=-为奇数， ∴()sin cos 2g x x x πωω⎡⎤
⎛⎫=-
=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦为偶函数，故A 错. 由上得：ω为奇数，∴cos 022g ππω⎛⎫⎛⎫
-
=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故B 对，
由上得：当5ω=时，()52sin 5cos5,2
5g x x x T ππ⎛
⎫
=-
=-= ⎪
⎝
⎭
，由图象可知()g x 在()0,π上有4个极
值点，故C 对.
∵()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以052T ππω-≤=，解得：05ω<≤， 又∵14k ω=-，
∴ω的最大值为5，故D 对，
故选：BCD
三、填空题
13. 160
6⎛ ⎝
的展开项的形式是(
63662r r r r r r C C x --=，
若为常数项，可得3r =，
故常数项为3362160C = 14. sin 2x π
当()()sin 2f x x x R π
=∈时，
()()sin sin 2
2f x x x f x ππ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，又x R ∈，所以()f x 是奇函数； ()sin 2f x x π
=的对称轴方程为,,12,22x k k Z x k k Z π
π
π=+∈=+∈，
当0k =时，1x =，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，符合题意，（答案不唯一）
15. -2
由ln y a x =-求导得1y x
'=-， ∴曲线ln y a x =-在点()1,a 处的切线方程为()1y a x -=--，即1y x a =-++，
设1y x a =-++与x y e =-相切于点()
00,x x e -，
由x y e =-求导得x y e '=-，
∴01x e -=-，
∴00x =，即切点为()0,1-，
它在切线1y x a =-++上，
∴11a +=-，
∴2a =-. 16. 72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；991
162π-
由题意，函数()f x 的大致图象如图所示，
由图象知，272,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且23122sin x x x π+==，
所以()22312222225sin 523x x x x x x x x x πππ=-=--，
令()275,2,23g x x x x x ππ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦
，则()522g x x x π'=--，
因为()2sin 2g x x π''=-+
在72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，
所以()78034g x g -⎛⎫''''≤=< ⎪⎝⎭
，所以()g x '在72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，
又因为904g ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，所以()g x 在92,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在97,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()max 99914162g x g π⎛⎫==-
⎪⎝⎭. 四、解答题
17. （1）在ABC ∆
sin cos C a A c =+
sin sin cos sin A C C A C =+
∵sin 0C ≠
cos 1A A =+
即2cos 2cos 222
A A A =，由0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
cos 22A A =
，所以tan 23A =， 所以26A π=，解得3
A π=. （2）选①，ABC ∆
，2,3b A π
==，
则1sin 22
ABC S bc A c ∆===2c =， 所以ABC ∆为等边三角形，所以3B π=
.
选②，ABC ∆
的周长为6+，
由2b =
，则4a c +=+ 又22222cos 42a b c bc A c c =+-=+-②
由①②可得4a c ==，
2sin sin sin a b A B B
=⇒=，解得1sin 2B =， 由因为a b >，所以6B π
=.
选③，1,2cos 3
c A b B π-===，
由余弦定理可得22222413224a c b a c c ac ac
+-+--==，③ 又22222cos 42a b c bc A c c =+-=+-，④
由③④联立，无解，三角形不存在.
18.（1）由题意()1321n n S S n +=++可得()132,2n n S S n n -=+≥，
两式相减，得132,2n n a a n +=+≥，
由2134S S =+得12134a a a +=+，得22324a +=⨯+，得28a =，满足2132a a =+，
所以132n n a a +=+对于任意n 为正整数都符合，
所以1133n n a a ++=+，即()1131n n a a ++=+，又1130a +=≠，
故数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可知13n n a +=，即31n n a =-，
故()()1112323113131
3131n n n n n n n n a a +++⨯⨯==-----， 所以223111111111113131313131312312
n n n n T ++=-++++-=-<------- 19.（1）在图2中，∵AC BC =，D 是AB 的中点，
∴CD AB ⊥，
又V AC B --为直二面角，VC AC ⊥，
∴VC ⊥底面ABC ，
而AB ⊂平面ABC ，
∴VC AB ⊥，且VC CD C =，
所以AB ⊥平面VCD ，
又AB ⊂平面VAB ，
∴平面VAB ⊥平面VCD .
（2）
以CA CB CV 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1C A B V ，
所以()0,0,1CV =，因为14BE BA =，所以13,,044E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 则13,,044CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭
设平面VCE 的一个法向量(),,t m n p =，
则00CV t CE t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即013044
p m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令1n =，则()3,1,0t =-.
同理可以求得平面VAB 的一个法向量()1,1,1s =. 所以
()2cos ,
331s t
s t s t -==
=-
+， 又二面角C VE A --为锐角，所以二面角C VE A --的余弦值为15
. 20.（1
）()()(),0,,0,0,F c A
a B
b -
，则()1122
ABF S a c b ∆=
=+， (
)1a c b +=
，即(
1a c +=， 又2
c e a a ===，代入上式中得到，
1
c
+=，1
c=
，于是1
a b
==，
故椭圆E的方程为
2
21
2
x
y
+=.
（2
）设直线()
:
2
l y x m
=-交椭圆于()()
1122
,,,
S x y T x y，
由
()
22
2
22
y x m
x y
⎧
=-
⎪
⎨
⎪+=
⎩
消去y得，22
2220
x mx m
-+-=，
因此
2
1212
2
,
2
m
x x m x x
-
+==，
于是()()
2222
22
1122
PS PT x m y x m y
+=-++-+
()()()()
2222 12121212
333
222
222
x m x m x x x x m x x m
⎡⎤
=-+-=+--++
⎣⎦()
2222
3
2223
2
m m m m
=-+-+=
故22
PS PT
+为定值，且为3.
21.（1）设赌博再继续进行X局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，
由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，
当2
X=时，甲以4：1赢，所以()
2
24
2
39
P X
⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
；
当3
X=时，甲以4：2赢，所以()122228
31
33327
P X C
⎛⎫
==⨯-⨯=
⎪
⎝⎭
；
当4
X=时，甲以4：3赢，所以()
2
1
3
2224
41
33327
P X C
⎛⎫
==⨯-⨯=
⎪
⎝⎭
所以，甲赢的概率为
484248
92727279
++==.
所以，甲应分得的赌注为
8
243216
9
⨯=元.
（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，
当3
Y=时，乙以4：2赢，()()3
31
P Y p
==-；
当4
Y=时，乙以4：3赢，()()()
33
1
3
4131
P Y C p p p p
==-=-；
所以，乙赢得全部赌注的概率为()()()()()
333
131131
P A p p p p p
=-+-=+-，
于是甲赢得全部赌注的概率()()()31131f p p p =-+-，
求导，()()()()
()()3223113311121f p p p p p p '=---+--=-， 因为415p ≤<，所以()0f p '>，所以()f p 在415⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，上单调递增， 于是()min 46085625
f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故乙赢的概率为6081710.02720.05625625-
==<，故事件A 是小概率事件. 22.（1）()()()()()222222x x x x x x x x
e e a e a e a
f x e ae a e e ----++'=+-+==， 若0a ≤，由20x e -=，得ln 2x =；由()0f x '<得ln 2x <；由()0f x '>得ln 2x >，
所以()f x 在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增；
若0a >，由()0f x '=，得ln 2x =或ln x a =，
当02a <<时，由()0f x '<，得ln ln 2a x <<；由()0f x '>，得ln 2x >或ln x a <，
所以()f x 在()ln ,ln 2a 上单调递减，在()(),ln ,ln 2,a -∞+∞上单调递增；
当2a =时，()0f x '≥在R 上恒成立，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增；
当2a >时，由()0f x '<，得ln 2ln x a <<；由()0f x '>，得ln x a >或ln 2x <，
所以()f x 在()ln 2,ln a 上单调递减，在()(),ln 2,ln ,a -∞+∞上单调递增.
（2）由（1）知，当2152
a ≤≤时，()f x 在()ln ,ln 2a 上单调递减，在(),ln a -∞，()ln 2,+∞上单调递增，所以()()()ln 22ln f x f a a a a ==--+极大值，
()()()()ln 222ln 21ln 222ln 2f x f a a a ==--+=-++-极小值，
令()()2122ln 52g a a a a a ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭
，则()2ln a a g a a +'=-. 令()212ln 5
2m a a a a ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，则()221ln 1ln ln ln1055e m a a '=+≥+=>=， 所以()m a 在21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增.
所以()22225282ln 2ln 2ln 05555255m a m e ⎛⎫≥=+=->-=> ⎪⎝⎭
， 所以()0g a '<，从而()g a 在21,52
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()313515ln 23ln 32ln ln 0222222e g a g --⎛⎫≥=--==> ⎪⎝⎭
，即()ln 0f a >， 又当2152a ≤≤时，2211ln ln ln ln 0252
a e -=<≤≤<，即()ln 1,0a ∈-， 又()()()
22222222214f e ae a e a e ---=-++=-++，
该式关于a 单调递减， 所以()()22
222
22244125421421405555e e e a e e e -----++≤-⨯++=+=<， 所以()20f -<，
因为()f x 在(),ln a -∞上单调递增，且()()2ln 0f f a -<，
所以函数()f x 在区间(),ln a -∞上有且只有一个零点，
令()()211ln 222ln 25
2h a a a ⎛⎫=-++-≤≤ ⎪⎝⎭，显然()h a 单调递减，
所以()((22838822ln 21ln 2110555255h a ⎛⎫⎛⎫≤--+=-=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()ln 20f <，
因为()f x 在()ln ,ln 2a 上单调递减，且()()ln ln 20f a f <，
所以函数()f x 在区间()ln ,ln 2a 有且只有一个零点，
()()()22222222214f e ae a e a e --=--+⨯=-++-，该式关于a 单调递减， 所以()()2222222211214214515602e a e e e e e e e
---++-≥-+⨯+-=-->--=->， 因为()f x 在()ln 2,+∞上单调递增，且()()ln 220f f <，
所以函数()f x 在()ln 2,+∞上有且只有一个零点， 综上所述：当
2152
a ≤≤时，函数()f x 有且只有三个零点.。