平行四边形判定专项练习30题

平行四边形的判定专项练习30 题（有答案）
1．如图，四边形ABCD 中， AD ∥BC， ED∥ BF ， AF=CE ，求证： ABCD 是平行四边形．
2．如图，四边形ABCD 中，∠ BAC=90 °， AB=11 ﹣ x， BC=5 ， CD=x ﹣ 5， AD=x ﹣ 3， AC=4 ．
求证：四边形ABCD 为平行四边形．
3．已知四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点 O，现给出四个条件：① OA=OC ；② AB=CD ；③∠ BAD= ∠DCB ；
④ AD ∥ BC．请你从中选择两个，推出四边形ABCD 为平行四边形，并写出你的推理过程．
（ 1）从以上 4 个条件中任意选取 2 个条件，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有（用序号表示）_________．（ 2）从（ 1）中选出一种情况，写出你的推理过程．
4．如图，已知：点 B 、 E、 F、D 在一条直线上，DF=BE ， AE=CF ．请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添
加到已知条件中，使四边形ABCD 是平行四边形，并说明理由，供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
①AB=DC ；② BC=AD ；③ ∠ AED= ∠ CFB ．
5．如图，在 ?ABCD 中， AC 交 BD 于点 O，点 E，点 F 分别是 OA ，OC 的中点，请判断线段 BE ， DF 的位置关系和数量
关系，并说明你的结论．
6．如图所示，以△ABC 的三边为边在 BC 的同侧分别作三个等边三角形△ ABD 、△ BCE、△ ACF ，猜想：四边形ADEF 是什么四边形，试证明你的结论．
7．如图，已知BE ⊥ AD ， CF⊥ AD ，且 BE=CF ．
求证：（ 1）AD 是△ ABC 的中线；
（ 2）请连接BF、 CE，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由．
8．如图，矩形 ABCD 的两条对角线 AC 和 BD 相交于点 O， E、 F 是 BD 上的两点，且∠ AEB= ∠CFD ．求证：四边形AECF 是平行四边形．
9．如图：在四边形ABCD 中， AD ∥BC ， AB=CD ，E 是 BC 上一点， DE=AB ．
求证：四边形ABED 是平行四边形．
10．如图，已知AB ∥DC， E 是 BC 的中点， AE ， DC 的延长线交于点F；
（1）求证：△ ABE ≌△ FCE ；
（2）连接 AC ， BF．则四边形 ABFC 是什么特殊的四边形？请说明理由．
11．等边△ ABC 中，点 D 在 BC 上，点 E 在 AB 上，且 CD=BE ，以 AD 为边作等边△ADF ，如图．求证：四边形
CDFE 是平行四边形．
12．如图，分别以 Rt△ ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ ACD 、等边△ ABE ．若∠ BAC=30 °， EF⊥ AB ，垂足为 F，连结 DF．
求证：（ 1）△ ABC ≌△ EAF ；
（ 2）四边形ADFE 是平行四边形．
13．已知：如图，在△ ABC 中，中线 BE ，CD 交于点 O， F， G 分别是 OB ，OC 的中点．求证：四边形 DFGE 是平行四边形．
14．如图所示：在四边形A、C 同时出发，点 P以（1）几秒钟后，四边形（2）几秒钟后，四边形
ABCD 中， AD ∥BC、 BC=18cm ， CD=15cm ，AD=10cm ， AB=12cm ，动点 P、Q 分别从2cm/秒的速度由 A 向 D 运动，点 Q 以 3cm/秒的速度由 C 向 B 运动．
ABQP 为平行四边形？并求出此时四边形ABQP 的周长
PDCQ 为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ 的周长．
15．求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．
16．△ ABC 中，中线 BE 、 CF 相交于 O， M 是 BO 的中点， N 是 CO 的中点，求
证：四边形 MNEF 是平行四边形．
17．如图， AD=DB ， AE=EC ，FG∥ AB ， AG ∥BC ．
（1）证明：△ AGE ≌△ CFE；
（2）说明四边形 ABFG 是平行四边形；
（3）研究图中的线段 DE， BF ， FC 之间有怎样的位置关系和数量关系．
18．如图，△ ABC 和△ ADE 都是等边三角形，点 D 在 BC 边上， AB 边上有一点F，且 BF=DC ，连接 EF、 EB ．（1）求证：△ ABE ≌△ ACD ；
（2）求证：四边形 EFCD 是平行四边形．
19．已知在△ ABC 中， D、 E 分别是 AB 、AC 的中点，点 F 在 DE 的延长线上，且 EF=DE ，图中有几个平行四边形？请说明你的理由．
20．如图，在△ ABC 中，AD 是中线，点 E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交CE 的延长线于点F，连接 BF．求证：四边形AFBD 是平行四边形．
21．如图：在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC， E 是 BC 的中点， BC=2AD ．找出图中所有的平行四边形，并选择一个说
明它是平行四边形的理由．
22．求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
23．已知：如图，A、 B、 C、D 在同一条直线上，且AB=CD ， AE ∥ DF，AE=DF ．
求证：四边形EBFC 是平行四边形．
24．如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边的中点， E、 F 分别在 AD 及其延长线上， CE∥ BF ，连接 BE、 CF．图中的四边形BFCE 是平行四边形吗？为什么？
25．已知点 E、 F、 G、H 分别为四边形ABCD 四边的中点，试问四边形EFGH 的形状并说明理由．
26．如图，已知四边形 ABCD 中 AD=BC ，点 A 、 B、 E 在同一条直线上，且∠ B=∠ EAD ，试说明四边形 ABCD 是平行四边形．
27．如图， AD ∥ BC， ED∥ BF ，且 AE=CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．
28．已知：△ ABC 的中线 BD、 CE 交于点 O， F、 G 分别是 OB 、 OC 的中点．求证：四边形DEFG 是平行四边形．
29．如图，△ACD 、△ ABE 、△ BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形．当 AB ≠AC 时，求证：四边形 ADFE 为平行四边形．
30．已知：在四边形ABCD 中， AD ∥ BC，且 AB=DC=5 ， AC=4 ， BC=3 ．
求证：四边形ABCD 为平行四边形．
平行四边形的判定30 题参考答案：
1．∵ AD ∥BC ，
∴∠ DAE= ∠ BCF ，
∵ED∥ BF，
∴∠ DEF= ∠ BFE，
∴∠ AED= ∠ CFB ，
又∵ AF=CE ，
∴AE=CF ，
在△ADE 和△ CBF 中：
∵∠ DAE= ∠ BCF ，
∠AED= ∠CFB ，
AE=CF ，
∴△ ADE ≌△ CBF （AAS ），
∴AD=CB ，
即： AD ∥ CB，AD=CB ，∴四边
形 ABCD 是平行四边形，
2．∵∠ BAC=90 °， AB=11 ﹣ x， BC=5 ， AC=4 ．
222
∴（ 11﹣ x） +4 =5 ，
解得： x1=8， x2=14 ＞11（舍去），
当x=8 时， BC=AD=5 ，AB=CD=3 ，
∴四边形 ABCD 为平行四边形．
3．（ 1）解：能推出四边形 ABCD 是平行四边形的有①④ 、③④ ；
故答案是：①④、③④；
（ 2）以①④为例进行证明．
如图，在四边形ABCD 中， OA=OC ， AD ∥ BC ．证明：∵ AD ∥ BC，
∴∠ DAO= ∠ BCO．
∴在△ AOD 与△COB 中，
，∴四边形ABCD 是平行四边形．
5. BE=DF ， BE∥ DF
因为 ABCD 是平行四边形，所以 OA=OC ， OB=OD ，因为 E， F 分别是 OA ，OC 的中点，所以 OE=OF ，所以BFDE 是平行四边形，所以 BE=DF ， BE ∥ DF
6．四边形ADEF 是平行四边形．
连接 ED 、EF，
∵△ ABD 、△BCE 、△ACF 分别是等边三角形，
∴AB=BD ， BC=BE ，∠ DBA= ∠
EBC=60 °．∴∠ DBE= ∠ ABC ．
∴△ ABC ≌△ DBE ．
同理可证△ ABC ≌△ FEC，
∴AB=EF ， AC=DE ．
∵AB=AD ， AC=AF ，
∴AD=EF ， DE=AF ．
∴四边形 ADEF 是平行四边形
7．（ 1）∵ BE ⊥ AD ，CF⊥ AD ，
∴∠ BED= ∠ CFD．
∵∠ BDE= ∠ CDF， BE=CF ，
∴△ BED ≌△ CFD．
∴BD=CD ．
∴AD 是△ ABC 的中线．
（2）四边形 BECF 是平行四边形，
由（ 1）得： BD=CD ， ED=FD ．
∴四边形 BECF 是平行四边形
8．∵四边形ABCD 是矩形
∴ AB ∥CD ， AB=CD ，
∴△ AOD ≌△ COB （ ASA ），
∴AD=BC ，
∴在四边形ABCD 中， AD BC ，∴四边形 ABCD 为平行四边形．∴∠ ABE= ∠ CDF，
又∵∠ AEB= ∠ CFD，
∴△ ABE ≌△ CDF，
∴BE=DF ，
又∵四边形ABCD 是矩
形，
∴OA=OC ， OB=OD ，
∴OB ﹣BE=OD ﹣ DF，
∴OE=OF ，
∴四边形AECF 是平行四边形
4．选择①，9．∵ AD ∥ BC， AB=CD ，
∵ DF=BE ，AE=CF ， AB=CD ，∴四边形ABCD 是等腰梯形，∴△ ABE ≌△ CDF （sss），∴∠ B=∠ C，
∴∠ DEC= ∠B ，
∴AB ∥DE，
∴四边形 ABED 是平行四边形．
10．（ 1）证明：∵ AB ∥ DC ，
∴∠ 1=∠ 2，∠ FCE= ∠EBA ，
∵E 为 BC 中点，
∴CE=BE ，
∵在△ ABE 和△ FCE 中，∠ 1=∠ 2，∠ FCE= ∠EBA ，CE=BE ，
∴△ ABE ≌△ FCE；
（2）四边形ABFC 是平行四边形；理由：
由（ 1）知：△ ABE ≌△ FCE，
∴ EF=AE ，
∵CE=BE ，
∴四边形 ABFC 是平行四边形
11．连接 BF ，
∵△ ADF 和△ ABC 是等边三角形，
∴AF=AD=DF ， AB=AC=BC ，
∠ABC= ∠ACD= ∠CAB= ∠ FAD=60 °，
∴∠ FAD ﹣∠ EAD= ∠ CAB ﹣∠ EAD ，
∴∠ FAB= ∠CAD ，
在△FAB 和△DAC 中
，
∴△ FAB ≌△ DAC （ SAS），
∴BF=DC ，∠ ABF= ∠ ACD=60 °，
∵ BE=CD ，
∴BF=BE ，
∴△ BFE 是等边三角形，
∴EF=BE=CD ，
在△ACD 和△CBE 中
∵，
∴△ ACD ≌△ CBE （ SAS），
∴AD=CE=DF ，
∵EF=CD ，
∴四边形 CDFE 是平行四边形．∴∠ FEA= ∠ BAC ，
在△ ABC 和△EAF 中，
，
∴△ ABC ≌△ EAF （ AAS ）；
（2）∵∠BAC=30 °，∠DAC=60 °，
∴∠ DAB=90 °，即 DA ⊥ AB ，
∵EF⊥AB ，
∴ AD ∥EF，
∵△ABC ≌△EAF ，
∴ EF=AC=AD ，
∴四边形 ADFE 是平行四边形
13．在△ ABC 中，
∵AD=BD ， AE=CE ，
∴DE∥BC 且 DE=BC ．
在△ OBC 中，∵ OF=FB ， OG=GC ，
∴FG∥ BC 且 FG= BC ．
∴DE ∥ FG， DE=FG ．
∴四边形 DFGE 为平行四边形
14．（1）x 秒后，四边形 ABQP 为平行四边形．则 2x=18﹣3x，解得 x=3.6 ．
3.6 秒钟后，四边形 ABQP 为平行四边形，此时四边形ABQP 的周长是 3.6×2×2+12 ×2=38.4cm ．
（2）y 秒后，四边形 PDCQ 为平行四边形． 10﹣ 2y=3y ，解得 y=2.2 秒钟后，四边形 PDCQ 为平行四边形，此时四边形 PDCQ 的周长是 3.6×2×2+15×2=43.2cm ．
15．：连接 BD ，
∵E、F 为 AD ，AB 中点，∴ FE BD ．
又∵ G、H 为 BC，CD 中点，
∴GH BD ，
故GH FE．
同理可证， EH FG．
∴四边形FGHE 是平行四边形
16．∵ BE ，CF 是△ ABC 的中线，
∴EF∥ BC 且 EF= BC，
∴MN ∥BC 且 MN= BC，
∴EF∥MN 且 EF=MN ，
∴四边形 MNEF 是平行四边形．
17．（ 1）证明：∵ AG∥ BC （已知）
∴∠ G=∠ EFC（两直线平行，内错角相等）
∵∠AEG= ∠FEC（对顶角相等），又AE=EC （已知）∴△ AGE ≌△ CFE（ AAS ）；
（ 2）说明：∵ FG∥ AB ，AG ∥ BC （已知）
∴四边形 ABFG 是平行四边形（平行四边形的定义）；∵EF=BF ，BF=DC ，
∴ EF=DC ，
∴四边形 EFCD 是平行四边形
19．平行四边形ADCF 和平行四边形DBCF ．理由：（ 1）∵ D 、E 分别是 AB 、 AC 边的中点，
∴DE∥BC，．
又∵ EF=DE ，
∴DF=BC ，
∴四边形DBCF 是平行四边形；
（ 2）在四边形 ADCF 中，
（ 3）解：线段 DE ，BF，FC 之间的位置关系是DE ∥ BF，∵ EF=DE ，
DE ∥FC ，数量关系是 DE=BF=FC ，又∵ E 是 AC 边的中点，
理由：由（ 1）可知△ AGE ≌△ CFE∴ EA=EC ，
∴ AG=FC ， FE=EG （全等三角形的对应边相等），∴四边形 ADCF 是平行四边形
∴ E 是 FG 的中点，又∵ AD=DB （已知）20．∵ E 为 AD 中点，
∴ DE 为三角形 ABC 的中位线，∴ AE=DE ，
∴ DE= BC，DE ∥ BC，
∵AF ∥BC，
∴∠ AFE= ∠ DCE ，
即 DE∥ BF， DE ∥ FC，在△AEF 和△CED 中
由（ 2）可知四边形 ABFG 是平行四边形
∴ AG=BF ，∵，
∴ BF=FC= BC ，
∴△ AEF ≌△ CED（ AAS ），
∴ DE=BF=FC ，∴ AF=DC ，
即线段 DE ， BF， FC 之间的位置关系是 DE∥BF ，∵ AD 是△ ABC 的中线，
DE ∥FC ，数量关系是 DE=BF=FC ．∴ BD=DC ，
∴ AF=BD ，
即 AF∥ BD ，AF=BD ，
故四边形 AFBD 是平行四边形
21．图中有两个平行四边形： ?ABED 、 ?AECD ．18．（ 1）∵△ ABC 和△ ADE 都是等边三角形，∵，
∴ AE=AD ， AB=AC ，∠ EAD= ∠ BAC=60 °，
∴∠ EAD ﹣∠ BAD= ∠ BAC ﹣∠ BAD ，∴ AD=BE ，∵ AD ∥ BC ，
即：∠ EAB= ∠ DAC ，∴四边形 ABED 是平行四边形．
∴△ ABE ≌△ ACD （ SAS）；22．已知：四边形ABCD ，∠ A= ∠C，∠ B= ∠D ，（ 2）证明：∵△ ABE ≌△ ACD ，
∴ BE=DC ，∠ EBA= ∠ DCA ，
又∵ BF=DC ，
∴ BE=BF ．
∵△ ABC 是等边三角形，求证：四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ DCA=60 °，证明：∵∠ A= ∠ C，∠ B=∠ D，
∴△ BEF 为等边三角形．∠ A+ ∠ B+∠ C+∠ D=360 °，
∴∠ EFB=60 °， EF=BF∴ 2∠A+2 ∠B=360 °，
∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ A+ ∠ B=180 °，
23．∵ AE ∥ DF，
∴∠ A=∠D，
在△ABE 和△ DCF 中
∴△ ABE ≌△ DCF （SAS），
∴EB=FC ，∠ ABE= ∠DCF ，
∵∠ ABE+ ∠EBC=180 °，∠ DCF+ ∠ FCB=180 °，∴∠ EBC= ∠FCB ，
∴BE ∥FC，
∵ BE=FC ，
∴四边形 EBFC 是平行四边形
24．∵ CE∥ BF ， BD=CD ，
∴△ BDF ≌△ CDE ，
∴BF=CE ，
∴四边形 BFCE 是平行四边形．
25．四边形 EFGH 是平行四边形
证明：连接 AC 、 BD
∵ E、 F、 G、H 分别为四边形ABCD 四边的中点∴ EH= BD ，FG= BD ， HG= AC ， EF= AC
∴EH=FG ， EF=HG
∴四边形 EFGH 是平行四边形．
26．∵∠ B=∠ EAD ，
∴AD ∥BC，
∵ AD=BC ，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
27．∵ AD ∥BC，
∴∠ EAD= ∠ FCB ，
又ED∥ BF，∴∠
FED= ∠ EFB，
∠ AED=180 °﹣∠ FED ，
∠ CFB=180 °﹣∠ EFB，∴∠ AED= ∠ CFB，
又已知 AE=CF ，
∴△ AED ≌△ CFB ，
∴AD=BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
28．
∵AD ∥BC ，
∴∠ EAD= ∠ FCB，
又ED∥ BF，∴∠
FED= ∠ EFB ，
∠ AED=180 °﹣∠ FED，
∠ CFB=180 °﹣∠ EFB ，
∴∠ AED= ∠ CFB，
又已知 AE=CF ，
∴△AED ≌△CFB ，
∴ AD=BC ，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
29．
∵△ ABE 、△ BCF 为等边三角形，
∴AB=BE=AE ，BC=CF=FB ，∠ ABE= ∠CBF=60 °．∴∠ FBE= ∠ CBA ，
在△FBE 和△CBA 中，
，
∴△ FBE ≌△ CBA （ SAS）．
∴EF=AC ．
又∵△ ADC 为等边三角形，
∴CD=AD=AC ．
∴EF=AD ．
同理可得 AE=DF ．
∴四边形 AEFD 是平行四边形
30．∵ AB=5 ， AC=4 ， BC=3
222
∴ AB =AC +BC
∴∠ BCA=90 °
∵AD ∥BC
∴∠ DAC= ∠BCA=90 °
∵DC=5 ，AC=4 ，
222
∴AD =DC ﹣AC =9
∴ AD=BC=3
∴四边形ABCD 为平行四边形．。