八年级数学上册 7.2 定义与命题 举反例的常用方法素材 (新版)北师大版

举反例的常用方法

所谓反例，通常是指用来说明某个命题不成立的例子．要证明一个命题是错误的，极具有说服力而又简明的方法就是举出反例，去推翻它．由于反例在否定一个命题时具有特殊的威力，因此我们在学习数学的过程中必须认识到它的作用．举反例时，可以用文字语言来表述，也可以用数据来说明，还可以用图形来表示．

一、通过画图举反例

例1 下列四个判断：

（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；

（2）有两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等；

（3）一边及其它两边上的高对应相等的两个个三角形全等．

上述判断是否正确?若正确说明理由；若不正确,请举出反例．

解：判断（1）的反例：如图1，在△ABC 和△AB ′C 中, AC=AC ，BC =B ′C ，高AH =AH ，但两个三角形不全等．

判断（2）的反例：如图2，在△ABC 和△ABC ′中，AB =AB ，AC =AC ′ ，高AH =AH ，但两个三角形不全等．

判断（3）的反例：如图3，在△ABC 中，AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的高，作∠BAF =∠BAC ，延长BC ，FA 交于点C ′ ，则BF =BE ， AD=AD ，又AB =AB ，但△ABC 与△ABC ′不全等．

故（1）、（2）、（3）都不正确．

二、通过数据举反例

例2 有下列三个命题：

①若α、β是不相等的无理数, 则αβ+α－β是无理数；

②若α、β是不相等的无理数, 则α－βα+β

是无理数； ③若α、β是不相等的无理数, 则α+ 3β是无理数．

C'图1 图2 图3

其中正确命题的个数是（ ）．

A. 0

B.1

C.2

D.3

解：只要令α=1+2，β=－1+2，则αβ+α－β是有理数，所以①不对；又若令α=22，β=2，

则α－βα+β

是有理数，所以②不对；又令α=32，β=－2，则α+ 3β=0是有理数，所以③不对．

故应选A ．