“动态”立体几何题面面观

“动态”立体几何题面面观
本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。

一．定值问题
例1 如图 3，在棱长为 a 的正方体ABCD -A1B1C1D1 中，EF 是棱AB 上的一条线段，且 EF＝b＜a，若 Q 是A1D1 上的定点，P 在C1D1 上滑动，则四面体 PQEF 的体积（）．
（A)是变量且有最大值（B）是变量且有最小值（C）是变量无最大最小值（D）是常量
分析：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点．这个图形有很多不确定因素，线段 EF 的位置不定，点P 在滑动，但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素？求四面体的体积要具备哪些条件？
仔细观察图形，应该以哪个面为底面？观察∆PEF ，我们发现它的形状位置是要变化的，但是底边 EF 是定值，且 P 到 EF 的距离也是定值，故它的面积是定值．再发现点 Q 到面 PEF 的距离也是定值．因此，四面体PQEF 的体积是定值．我们没有一点计算，对图形的分析帮助我们解决了问题．
(1 - CP ) 2
+ BQ 2
=
二、最值问题
例 2.如图，正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且平面
C
ABCD 、ABEF 互相垂直。

点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移
动，若 CM=BN= a (0 < a <
2). （1）求 MN 的长；
D
（2）当 a 为何值时，MN 的长最小； （3）当 MN 长最小时， 求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小。

E
解析：（1）作 MP ∥AB 交 BC 于点 P ，NQ ∥AB 交 BE 于点 Q ，连接 PQ ，依题意可得 MP ∥NQ ，且 MP=NQ ，即 MNQP 是 A
平行四边形。

∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,
∴ AC = BF =
CP
a BQ ,
, 1 2 1
a
, 即
2 CP = BQ = a , 2
∴ MN = PQ =
=
= (a -
2
) 2 + 1
(0 < a < 2) 2 2
（2）由（1）知:
当a =
时，MN = 2 ，
即M , N 分别移动到AC , BF 的中点时
2
MN 的长最小，最小值为 2
2
(3)取 MN 的中点 G ，连接 AG 、BG ，∵AM=AN,BM=BN ，∴AG ⊥MN,BG C
⊥MN ，
∴∠AGB 即为二面角α的平面角。

又 AG = BG =
定理有
，所以由余弦
D
4
E
A
F
2
2 2 6
= F
3h 2
cos 3
, △MNC
B
( 6 )2 + ( 6
)2 - 1
1
cos
= 4
4 = - 1 。

故所求二面角
= arccos(- 3
) 。

2 • 6 •
6 3
4 4
三、范围问题
例 3。

求正三棱锥相邻的两个侧面所成的二面角大小的取值范围。

分析：因为这个正三棱锥是动态的，无法作出相邻的两个侧面所成的二面角的平面角，故不能通过正常的途径 算出其范围，既然是动态的图形，我们则可以从图形的极限思想出发思考这个问题。

当正三棱锥的高接近于零时，相邻的两个侧面趋向于在底面内，故二面角大小趋向于，但不能等于
；当正三棱锥的高趋向于+∞
时，正三棱锥趋向于正三棱柱，故二面角大小趋向于
，但不能等于 。

故相邻的两个侧面所成的二面角大
3
3
⎛ ⎫
小的取值范围为 ,⎪ 。

⎝ ⎭
四、截面问题
例 4、已知正三棱柱 A 1B 1C 1—ABC 的底面积为 S,高为 h,过 C 点作三棱柱的与底面 ABC 成α角的截面△
MNC,(0<
<
),使 MN//AB ，求截面的面积。

2
分析：由于截面位置的不同，它与几何体的交线 MN 可能在侧面 A 1B 上，也可能在 A 1B 1C 1 上，由此得到两种不同的结果。

S 解：当交线 MN 在侧面 A 1B 内（或与 A 1B 1 重合时），S △MNC =
；当 MN 在底面 A 1B 1C 1 内时，arctan
cos h < < ∴ S =。

4 3S 2
2 3sin 2
A 1
1
M
B 1
C 1
C
1
M
N
N
A
A
B
C
B
C
A 1。