第四章 完全信息静态博弈的应用 《博弈论与经济》 PPT课件

最大化利润函数 2 (q1, q2 ) ,即对于固定的 q1 求解最大化 问题：
max2 (q1, q2 ) P(q1 q2 )q2 C2 (q2 )
q2
▪ 由于 2 (q1, q2 ) 关于 q2 是凹函数，故 1阶条件对于最大
化 2 而言是充要条件。由 2 (q1, q2 ) 0
q 2
▪ 有限、完美信息的扩展型博弈必存在纯策略意义下的子博 弈精炼纳什均衡。
▪ 逆序归纳法如下
▪ 假设已知的扩展型博弈共分k步完成。
▪ 1.对于第k步上的信息集，选择行动，使相应的参与人支 付值最大，并将由此信息集出发达到的终点的支付向量赋 值给该信息集对应的决策的节点。
▪ 2.利用第k步上节点的赋值，对属于k-1步的信息集所对应 的节点同样赋值。由于博弈是有限的，必可在有限步内使 博弈树所有节点都赋与了支付值。
倾斜，每个企业都偏好价格跟随。
▪ 例4.4 设在价格领先博弈模型中，两个企业的需求函数分别为
▪ q1 1 p1 p2, q2 1 p2 p1 ,具有相同的成本函数 C(q) Cq 。
▪ t 2,企业观察到了 p1，求 p2 ，最大化自己的利润函数
2( p1, p2) ( p2 C)(1 p2 p1)
▪
由1阶条件
2
p2
0
，可得向上倾斜的反应函数
p2
1 2
(1
C
p1)
▪ t 1 ，企业1预期到
p2
1 2
(1
C
p1)
，选择 p1 ，最大化
1( p1) ( p1 C)(1 p1 p2( p1))
▪ ▪
由1阶条件
1 p1
0
，解得 p1*
代入参与人2的价格反应函数得
3 C 2
p2*
。
5 4
开
I21 ②发
①I11
不开发
② I22
开
不开
开发 不开发
发
发
33
10
图4-110
0 0
▪ 局中人甲的策略集合
S1 {x x 开发或不开发}，
▪ 局中人乙的策略集合 S2 {(x, y) x, y 开发或不开发}。
▪ 支付矩阵为：
▪
（开发, 开发）（开发, 不开发）（不开发, 开发）（不开发, 不开发）
开发 不开发
(3,3) (0,1)
(3,3) (0,0)
(1,0) (0,1)
(1,0) (0,0)
▪ 该博弈有三个纳什均衡： ▪ 1.（开发，（不开发，不开发））； ▪ 2.（不开发，（开发，开发））； ▪ 3.（开发（不开发，开发））。
▪ 博弈的最终结局应出现哪个均衡，需要我们分析在这三个均衡中哪个 合理，哪个不合理。
▪ 斯坦克尔伯格模型
▪ 斯坦克尔伯格模型可以归结为
▪
N {1,2} ，S1 {q1 q1 [0, )} ，S2 {q2 q2 q2 (q1)}
▪ 的信息完全且完美的动态博弈模型。故可用逆序归纳法求 解子博弈精炼纳什均衡,用t表示阶段变量
▪ t 2 . 企业2观察到企业1的产量q1 ,选择产量 q2 q2 (q1) ，
▪ 有：P(q1 q2 ) P' (q1 q2 )q2 C2' (q2 ) 0 （1） ▪ ▪ 从（1）可解得企业2关于企业1的反映函数 q2 q2 (q1 )
▪ t 1 .企业1预期到企业2的反映函数 q2 q2 (q1 ) 选择
▪
q1 [0, ) ,最大化自己的利润函数,即求解最大化问题：
▪ 1.企业1选择产量 q1 0 ；
▪ 2.企业2观察到 q1 ，然后选择产量 q2 ；
▪ 企业 i( 1,2) 的利润函数为 ▪ i (qi , q j ) = P(Q)qi Ci (qi )， i, j 1,2 。
▪ 其中，Q q1 q2 为市场产品供给总量, P(Q) 为价格函数, Ci (qi ) 为企业i( 1,2) 的成本函数。设 C为凸函数。
▪ 设i ( pi , p j ) 关于 p j 递增，i, j 1,2, i j 。
▪ 1.若企业的反映曲线向下倾斜，价格领先仍被企业所偏好。 ▪ 2.如果两个企业具有向上倾斜的反映曲线，若有一个企业
偏好于价格领先，另一个企业必然偏好于价格跟随. ▪ 3.如果两个企业的成本、需求函数相同，且反应曲线向上
▪ 1（开发，（不开发，不开发））不是合理的纳什均衡。 ▪ 2（不开发，（开发，开发））也不是合理的纳什均衡。 ▪ 3（开发，（不开发，开发））是合理的纳什均衡。
▪ 此均衡表示甲先采取开发的行动。乙的策略是，如甲开发， 他就不开发；如甲不开发，他就开发。实际上，如甲开发， 乙若开发利润为-3，乙若不开发利润为0。因此甲若开发， 乙不开发为其理性的选择；如甲不开发，乙若开发，利润 为1，乙若不开发，利润为0，因而开发为乙的理性选择。 这说明乙的策略(不开发，开发)是可置信的策略。
▪ 当两个局中人都执行该均衡中的策略时，可得均衡结
果 q1S (a 2C1 C2 ) / 2 ， q2S (a 3C2 2C1) / 4
。
▪ 先动优势
▪ 特别地，当 C1 C2 C时，两个均衡结果为 q1S (a C) / 2，q2S (a C) / 4 。
可以算出企业1的利润为
衡 ▪ 1.对 I21 对应的节点赋值 11 ，12 ；
▪ 对 I22 对应的节点赋值 13 ，14 ；
▪ 2.对 I11 对应的节点赋值 13 ，14 。
▪ 3.用粗线连接具有相同赋值的节点，得到子博弈精炼纳什
均衡 (R, (L', L')) 见图4-6。
， (R, (L', R'))
， (R, (R', L')) ，(R, (R', R')) ，
I11
L ①R
② I21
L’
R’
② I22
L’ R’
11
12
13
14
图4-5
11,12 L’
L
②I21
R’
I11
①
13,
4 1
R
3 4
② I22
1 , 1
L’
R’
11
12
13
14
图4-6
4.2斯坦克尔伯格双寡头垄断模型
▪ 斯坦克尔伯格（Stackelberg,1934）将古诺模型动态化提 出一个双寡头垄断模型，博弈时序如下：
max1 (q1 ,
q1
q2
(q1 ))
P(q1
q2
(q1
))q 1
C1(q1)
▪ 1阶条件为：
▪ P(q1 q2 (q1)) P' (q1 q2 (q1))(1 q2' (q1))q1 C1' (q1) 0 （2）
▪ 联立（1）、（2）两式，可解出子博弈精炼纳什均衡。
▪ 特别，当 P(Q) a q1 q2 ，Ci (qi ) Ci qi , i 1,2 。且 a 2C2 C1
▪ 由（1）式可得 企业2关于企业1的反应函数
▪ ▪
q2
(q1
)
(a 0
q1
C
2
)
/
2
q1 [0, q1 a
a
C。C2 2
]
▪ 由（2）式可得 q1 (a 2C1 C2 ) / 2 。故斯坦克尔伯格的子博弈精炼 纳什均衡为： q1S (a 2C1 C2 ) / 2 ， q2S (q1) (a q1 C2 ) / 2 。
▪ 从此例我们可以看到：在动态博弈中会出现多重纳什均衡 的情形，而其中可能包含了不合理的均衡。我们面临的任
务是如何剔除不合理的均衡除而精炼出合理的均衡。为此， 需引入由泽尔腾（Reinhard Selten）提出的子博弈精炼 纳什均衡的概念。
▪ 子博弈精炼纳什均衡的定义
▪ 定义4.1 称扩展型博弈G的策略组合 s*为子博弈精炼纳什
C
。
▪
可计算出 q1* 优势成立。
3 4
,
q2*
5 4
，1*
9 8
,
* 2
25 16
。易见，
* 2
1*
，后动
4.4具有同时选择的两阶段动态博弈
▪ 具有同时选择的两阶段动态博弈模型时序如下：
▪ 1.局中人1和２同时从自己的行动集合 A1, A2 中选择行动 a1 ▪ 和 a2 。
▪ 2.局中人３和４观察到 a1 , a2 ，然后同时从自己的行动集 A3和 A4
的严格递减函数。
▪ A2 . 反应曲线向下倾斜,即 Ri (q j ) 严格递 减， i, j 1,2, i j 。
▪ 则企业总是偏好于领头企业，而不是跟随企业。
4.3 价格领先博弈模型
▪ 价格领先博弈问题 ▪ 设市场上有两家企业生产不同质的产品，但两种产品有较强的替代性。一个企业首先
制定产品价格，另一个企业看到这个价格后，再选择自己产品的价格，这时两个企业 进行动态价格竞争博弈。设企业1先行，企业2跟随。我们仍可用逆序归纳法求子博弈 精炼纳什均衡。
max 1 ( p1, R2 ( p1 ) p1q1 ( p1, R2 ( p1 )) C1q1 ( p1, R2 ( p1 )) P1
▪ 解得 p1* 。
▪ 从而得到子博弈精炼纳什均衡以及均衡结果 p1 p1* , p2 R2 ( p1* )
▪ 价格领先博弈问题的先动与后优势 ▪ 命题4.2
▪ 3.将具有相同支付值的相邻接的节点与终点用粗线连接起 来，即可得到已知扩展型博弈的子博弈精炼纳什均衡。
▪ 节点上的赋值给出了从此节点出发的子博弈的纳什均衡支 付结果。特别，d0 点支付值给出了整个博弈的子博弈精 炼纳什均衡的支付结果。
▪ 逆序归纳法实际是从最后阶段的博弈开始，序贯地求子博 弈的纳什均衡的过程。
执行这种策略组合中的相应策略，可分别得到支付值2与0。
I
I11
U①
2 0
D
②T I21
32
L
R
11 30
①I12
U’
D’
02
图 4-3
U
I11
①
2 0
3D2
2 0
L
32
11
①T I21 11
R
U’
②I12
3 0
D’
30
02
图 4-4
▪ 例4.3 求由图4-5 所示的扩展型博弈的子博弈精炼纳什均
均衡，如果它限制在G的每个子博弈上都是该子博弈的纳 什均衡。
▪ 因为每个博弈都是自己的子博弈。因而子博弈精炼纳什均 衡必为纳什均衡，但纳什均衡不一定是子博弈精炼纳什均 衡。对于具有完美信息的扩展型博弈模型，我们用子博弈 精炼纳什均衡预测博弈的结果。
s* ▪ 子博弈精炼纳什均衡的存在性
▪ 定理4.1（Zormello 1931，Kuhn 1953）
S 1
(a C)2 / 8
，
▪
企业2的利润为
S 2
(a C)2
/16
，
▪
故有
1S
S 2
。
▪ 由于企业1是首先行动的，我们称企业1具有先动优势。这个先动优势
是在特殊的价格函数与成本函数下得出的，但我们可以证明有关先动
优势的一般性结论。
▪ 命题4.1 假设 ▪ A1 . 1 (q1 , q2 ) 是 q2 的严格递减函数， 2 (q1, q2 ) 是 q1
▪ 价格领先博弈模型的子博弈精炼纳什均衡
▪ t 2 .企业2已观察到 p1 ,选择 p2 ,使自己利润最大,即求解最大化问题：
max 2 ( p1, p2 ) P2 q2 ( p1, p2 ) C2 q2 ( p1, p2 ) P2
▪ 可解得反应函数： p2 R2 ( p1 ) 。 ▪ t 1.在博弈的第1阶段，企业1预期到企业2的价格反应函 ▪ 数 p2 R2 ( p1 ) ，选择价格 p1 ，使其利润最大，即求解
▪ 例4.1 再考虑房地产开发问题。博弈树上每个节点的赋值 如图4-2所示。可得子博弈精炼纳什均衡：（开发，（不 开发，开发））。不开发
10
I11▪Βιβλιοθήκη 10开 发②
①
不开发
② I22 10
开
发
33
不 开 开发
不开发
发 10
图4-2
10
0 0
▪ 例4.2 求如图4-3所示的扩展型博弈的子博弈精炼贝叶斯均
中选择行动 a3 , a4 。
▪ 3.对于选出的行动 a1, a2 , a3 , a4 ,局中人i( 1,2,3,4) 获得支付 。 ui (a1, a2, a3, a4 )
▪ 该博弈中每个参与人在选择行动时对博弈的历史完全了解，因而是信
衡 ▪ 1.对 I12 对应的节点赋值 30 ；
▪ 2.对 I21对应的节点赋值 11 ；
▪
3.对I11对应的节点赋值 点.
02 ，用粗线连接具有相同赋值的节
▪ 如图4-4所示，子博弈纳什均衡为 ((U, U'),L)。即局中人1处
于信息集 I11 上时，选行动U，处于信息集 I12 上时，选行
动 U' ；局中人2在其信息集 I21上选择行动L。 两局中人都
第4章 完全信息动态博弈及应 用
4.1子博弈精炼纳什均衡
▪ 一个必须考虑的问题是，对于动态博弈模型而言，纳什均衡是否为该博弈结 果的合理预测。
▪ 考虑一个市场进入问题的例子。 ▪ 市场进入问题 ▪ 设房地产市场上有甲乙两个开发商。甲开发商首先决定开发还是不开发。乙
在了解甲所选择的行动后，再决定开发还是不开发。博弈树如图4-1所示。