精品解析：云南省红河州2021届高中毕业生第一次复习统一检测数学(文)试题(解析版)

红河州2021届高中毕业生第一次复习统一检测
文科数学
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集{}*6U x N x =∈<，集合{}1,2A =，{}3,5B =，则()U A B =（ ）
A. {}3
B. {}5
C. {}3,5
D. {}0,3,5 【答案】C
【解析】
【分析】
求出全集U ，利用补集和交集的定义可求得集合
()U A B ⋂. 【详解】由已知得{}1,2,3,4,5U =，有
{}3,4,5U A =，从而(){}3,5U A B =. 故选：C.
2. 设复数11z i i
=--(i 为虚数单位)，则z 等于（ ）
A. 12
B. 2
C. 2
D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数的除法计算出z ，然后根据复数模的计算公式求解出z .
【详解】由已知得()()111111222i i z i i i i i ++=
-=-=--+，
从而||z ==. 故选：B.
3. 演讲比赛共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉1
个最高分、1个最低分，得到8个有效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）．
A. 中位数
B. 平均数
C. 方差
D. 极差 【答案】A
【解析】
【分析】
根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案.
【详解】设10位评委评分按从小到大排列为1234
8910x x x x x x x ≤≤≤≤≤≤， 则①原始中位数为562x x +，去掉最低分1x ，最高分10x ，后剩余23489x x x x x ≤≤≤≤，中位数仍为562
x x +，∴A 正确． ②原始平均数123489101()10
x x x x x x x x =++++++，后来平均数2348918x x x x x x '=++++（），平
均数受极端值影响较大， ∴x 与x '不一定相同，B 不正确；
③()()()22221210110S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦
， ()()2222981S x x x x ⎡⎤'=-++-⎣⎦
由②易知，C 不正确． ④原极差101=x -x ，后来极差92=x -x 可能相等可能变小，D 不正确．
故选：A.
【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.属于较易题.
4. 如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为（ ）
A. )154π
B. ()2154π
C. ()3154π
D. ()
4154π 【答案】D
【解析】
【分析】
设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为h ，根据题意列出方程求出r 的值，再计算圆柱和圆锥侧面积之和即可求解.
【详解】设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为h ，则4rl π=π，4r 4π=π，解得：1r =，
所以h =.
圆柱体的侧面积为222r h ππ⋅=⨯=，
所以制作这样一个粮仓的用料面积为()
4π.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用圆锥的侧面积和母线长求出圆锥和圆柱底面圆的半径，再利用母线和底面半径求出圆锥的高，进而求出圆柱的高，再计算两个几何体侧面积之和即可.
5. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535S S =，且348a a +=，则5a 的值为（ ）
A. 3
B. 5
C. 7
D. 10 【答案】C
【解析】
【分析】
法一：用基本量将条件表示出来，解二元一次方程组即可求出11a =-，2d =，代入等差数列通项公式即可求出5a 的值；
法二：等差数列性质535S a =，结合条件运算得3412()()48a a a a d +-+==，后面同上.
【详解】解：法一：设公差为d ，由535S S =得123451235()a a a a a a a a ++++=++，
化简得120a d +=，
由348a a +=得1258a d +=， 联立1120258
a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a =-，2d =， 所以5147a a d =+=.
法二：由535S S =及535S a =得：120a a +=，则3412()()48a a a a d +-+==，
即11a =-，2d =，5147a a d =+=.
故选：C
【点睛】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差d 或项数n ：在求解时，一般要运用方程思想；
（2）求通项：1a 和d 是等差数列的两个基本元素；
（3）求特定项：利用等差数列的
通项公式或等差数列的性质求解；
（4）求前n 项和：利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.
6. 在平面内，A ､B 是两个定点，C 是动点，若2AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为（ ）
A. 椭圆
B. 抛物线
C. 圆
D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】 建立合适平面直角坐标系，设()()(),0,,,0,A a C x B a y -，根据2AC BC ⋅=以及向量数量积的坐标形式求解出,x y 满足的关系式，即可判断出轨迹形状.
【详解】以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，
设(),0A a -，(),0B a ，(),C x y ，所以(),AC x a y =+，(),BC x a y =-，
由2AC BC ⋅=得：()()22x a x a y -++=，即2222x y a +=+，所以点C 的轨迹为圆. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是建立合适平面直角坐标系，将向量的数量积结果转化为点坐标满足的关系式. 7. 设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：22221x y a b -=()0,0a b >>的两条渐近线分别交于D ､E 两点，若ODE 的面积为92
，则C 的焦距的最小值为（ ） A. 3 B. 6
C. 9
D. 18
【答案】B 【解析】
【分析】 双曲线的渐近线方程是b y x a =±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，根据ODE 的面积为92，
可得ab 值，根据2c =. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为b y x a
=±， 因为D ，E 分别为直线x a =与双曲线C 的渐近线的交点，
所以不妨设(),D a b ，(),E a b -，故92
ODE S ab ==， 又由2222c a b ab =+≥，即29c ≥，3c ≥，
当且仅当2a b ==
等号成立，所以26c ≥. 故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 8. 直线210ax by +-=(0,0)a b >>过函数222y x x -=+图象的顶点，则11a b
+的最小值为（ ）
A. 3+
B. 2+
C. 1+
D. (21+ 【答案】A
【解析】
【分析】 根据二次函数的方程可得顶点坐标，然后代入直线方程，最后根据基本不等式可得结果.
【详解】函数()2
22211y x x x =-+=-+图象的顶点为()1,1，
所以21a b +=，()11112233b a a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，
当且仅当b =
时等号成立.
故选：A 9. 已知一块木板上有三个孔洞，则能够塞住这三个孔洞的塞子可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分析每一个几何体的三视图形状，然后对比孔洞的形状，由此判断出正确选项.
【详解】选项A 的正视图和侧视图均为矩形，这与孔洞形状不完全符合，
选项B 的正视图和侧视图形状相同，都是大矩形加一个小矩形，不完全符合孔洞形状，
选项C 的三视图与孔洞形状均不相同，
选项D 的侧视图､正视图､俯视图恰好对应木板上的三个孔洞.
故选：D .
10. 设2log 9a =，0.64b =，0.83c =，则（ ）
A. b c a <<
B. c b a <<
C. b a c <<
D. c a b << 【答案】A
【解析】
【分析】
借助中间变量3及幂函数15
y x =的单调性比较大小.
【详解】2log 93a =>，()()1150.605.8436481b c =<===，0.833c =<， a c b ∴>>.
故选：A
【点睛】本题考查幂指数、对数比较大小，属于基础题.
11. 若函数()πsin 23f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝在[],a a -上的值域为[]1,1-，则a 的最小值为（ ） A. π12 B. π6 C. 5π12 D. π2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角函数的图像性质直接求解即可
【详解】()f x 的图象上距离0x =最近的两个最值点分别是5π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故a 的最小值为5π12. 故选：C
12. 已知函数()()21,101,012,1x x f x x x f x x ⎧--≤<⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎩
，若函数()()()01g x f x k k =-≤≤的所有零点从小到大依次成
等差数列，则()g x 的零点一定不包含（ ）
A. 22019-
B. 2019
C. 2020
D. 22020+ 【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意，得出当0k =时，()g x 的零点为1-，1，3，5，…，都是奇数，此时包含2019，当1k =时，()
g x 的零点为0，2，4，…，都是偶数，进而讨论即可求解 【详解】
解析由条件知()f x 是周期为2的周期函数，函数()g x 的零点即曲线()y f x =与直线y k =的交点的横坐标作图如下，由图可知，当0k =时，()g x 的零点为1-，1，3，5，…，都是奇数，此时包含2019，当1
k =
时，()g x 的零点为0，2，4，…，都是偶数，此时包含2020，当22k =时，()g x
的零点为22-，212-，222-，…，此时包含220192-，因此()g x 的零点一定不包含220202
+. 故选D
【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用分段函数、函数的周期性以及函数的零点的概念进行作图，利用数形结合进行求解，难度属于中档题
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设变量满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩
，则目标函数2z x y =-的最大值为________.
【答案】2
【解析】
【分析】
画出可行域，然后选取目标函数的一条等值线，将等值线在可行域中进行平移可得结果.
【详解】如图所示：
由2z x y =-，则22x z y =
- 令0z =，则2x y =
当直线2
x y =过点()2,0时，有最大值，所以max 2z = 故答案为：2
【点睛】方法点睛：目标函数为线性的解决步骤如下：
（1）画出可行域；
（2）将目标函数化为斜截式；
（3）选取目标函数的一条等值线；
（4）将等值线在可行域中进行平移可得最优解.
14. 斜率为2的直线过抛物线C ：24y x =的焦点，且与C 交于A ､B 两点，则AB =____.
【答案】5
【解析】
【分析】 写出直线方程，将其与抛物线联立，由韦达定理结合弦长公式122AB x x =++即可得结果.
【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AB 的
方程为()21y x =-，
联立方程22(1)4y x y x
=-⎧⎨=⎩得2310x x -+=， 故123x x +=，而1225AB x x =++=，所以5AB =，
故答案为：5.
15. 已知函数()1ln x f x x ax
-=+，若函数()f x 在[)2,+∞上为增函数，则正实数a 的取值范围为________. 【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】 计算()f x '，将问题转化为()0f x '≥对[)2,x ∈+∞恒成立，然后使用参变分离可得结果. 【详解】因为1()ln x f x x ax -=+，所以21()(0)ax f x a ax -'=>， 因为函数()f x 在[)2,+∞上为增函数， 所以21()0ax f x ax -'=≥对[)2,x ∈+∞恒成立， 即1a x ≥对[)2,x ∈+∞恒成立，从而12a ≥. 故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【点睛】结论点睛：函数()f x 在区间D 可导
①函数()f x 在区间D 是单调递增，则()0f x '≥在区间D 恒成立；
②函数()f x 在区间D 是单调递减，则()0f x '≤在区间D 恒成立；
16. 设A ，B ，C ，D 为球O 的球面上的四个点，满足2AB AC BC ===，3DC BD ==.若四面体ABCD 的表面积为332+，则球O 的表面积为______.
【答案】7π
【解析】
【分析】
首先由题意求出ABC 和BCD △的面积，从而得另两个面的面积，再由三角形面积公式得90ABD ACD ∠=∠=︒，于是得AD 是四面体ABCD 外接球直径，可求得球表面积．
【详解】解：由题意知，ABC 是等边三角形，2323ABC S =⨯=，BCD △是等腰三角形，123122
BCD S =⨯⨯-=△.所以3ABD ACD S S ==△△， 即11sin sin 322
AB BD ABD AC CD ACD ⨯∠=⨯∠=，所以90ABD ACD ∠=∠=︒，则AD 的中点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离均为
722AD =，所以球O 的表面积为7π. 故答案为：7π．
【点睛】思路点睛：本题考查求球的表面积，关键是求出球的半径，
寻找三棱锥的外接球的球心的两种思路：
（1）利用球的直径对球面上任一点的张角为90︒得出；
（2）过各面外心作该面的垂线，垂线的交点就是球心．
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()2,a c b m -=，()cos ,cos n B A =且m n ⊥. （1）求角B ；
（2）若2b =，求ABC 的面积的最大值.
【答案】（1）3
π
；（2【解析】 【分析】
根据m n ⊥以及正弦定理，可得1
cos 2
B =
，然后根据角度范围可得结果. 利用余弦定理可得224a c ac +=+，然后根据基本不等式可得4ac ≤，最后根据三角形面积公式
1
sin 2
ABC
S
ac B =
⋅可得结果. 【详解】（1）因为m n ⊥，所以()2cos cos 0a c B b A -+=， 由
2sin sin sin a b c
R A B C
===， 得2sin a R A =⋅，2sin b R B =⋅，2sin c R C =⋅. 所以()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A -+=
所以()sin 2sin cos 0A B C B +-=.即sin 2sin cos C C B = 又因为sin 0C ≠，1cos 2
B =
所以0,2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，3B π=
（2）因为2222cos b a c ac B =+-，且2b =，3
B π
=
又因为2242a c ac ac +=+≥﹐4ac ≤(当且仅当2a c ==时等号成立)
所以11sin 4222
ABC S ac B =⋅≤⨯⨯=△
即ABC
S
18. 随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，特别是每年的“双十一”，天猫的交易额数目惊人.2020年天猫公司的工作人员为了迎接天猫“双十一”年度购物狂欢节，加班加点做了大量准备活动，截止2020年11月11日24时，2020年的天猫“双十一”交易额定格在3700多亿元，天猫总公司所有员工对于新的战绩皆大欢喜，同时又对2021年充满了憧憬，因此公司工作人员反思从2014年至2020年每年“双十一”
总交易额(取近似值)，进行分析统计如下表：
（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合总交易额y 与年份代码t 的关系，请用相关系数加以说明； （2）利用最小二乘法建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.1)，预测2021年天猫“双十一”的总交易额. 参考数据：
7
1
()()138.5i i i t t y y =--=∑26.7= 2.646≈；
参考公式：相关系数()()
n
i
i
t t y y r --=
∑；
回归方程y bt a ∧∧∧
=+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()(
)
7
1
17
2
2
21
1
n
i
i
i i
i i n
i
i
i i t
t
y y t y nx y
b t
t
t
nx
∧
====---=
=
--∑∑∑∑，
=a y bt ∧∧
-.
【答案】（1）答案见解析；（2）回归方程为ˆ 4.9 1.2y
t =-，预测2021年天猫“双十一”的总交易额约为38百亿. 【解析】 【分析】
(1)分别计算4t =，
7
2
1
(
)i i t
t =-∑，1
7
()()i i i t t y y =--∑r 的计算公式
可得r ，简单判断即可. (2)计算7
21
(),
i
i y t
t =-∑，然后分别计算ˆˆ,a b
，可得回归方程，最后将8t =代入方程即可. 【详解】（1）4t =，
7
21
()28i
i t
t =-=∑，
1
7
()()138.5i
i i t
t y y =--=∑26.7=
所以
()
1
22
11
()
138.5
0.98
2 2.646
26.7
()()
n
i i
i
n n
n n
i i
i i
t t y y
r
t t y y
=
==
--
=≈≈
⨯⨯
--
∑
∑∑
因为总交易额y与年份代码t的相关系数近似为0.98，
说明总交易额y与年份代码t的线性相关性很强，
从而可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系.
（2）因为18.4
y=，
7
2
1
()28
i
i
t t
=
-=
∑，
所以
()
()
7
1
2
7
1
()
138.5
ˆ 4.9
28
i i
i
i
i
t t y y
b
t t
=
=
--
==≈
-
∑
∑
，
ˆ
ˆa y b
=-，18.4 4.94 1.2
b≈-⨯=-
所以y关于t的回归方程为ˆ 4.9 1.2
y t
=-
又将2021年对应的8
t=代入回归方程得：ˆ 4.98 1.238
y=⨯-=.
所以预测2021年天猫“双十一”的总交易额约为38百亿.
19. 如图，在三棱锥V ABC
-中，VA VB VC
==，AC BC
⊥，O，M分别为AB，VA的中点.
（1）求证：平面ABC⊥平面VAB；
（2）若AC BC
=，VAB3C BOMV
-的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2
3
【解析】
分析】
（1）利用等腰三角形三线合一、勾股定理可证得VO AB
⊥，VO OC
⊥，由线面垂直判定可证得VO⊥平
面ABC ，由面面垂直判定定理可证得结论；
（2）由面面垂直的性质可证得OC ⊥平面VAB ，即为所求四棱锥的高，利用棱锥体积公式可求得结果. 【详解】（1）VA VB =，O 为AB 的中点，VO AB ∴⊥，222VO OA VA ∴+=.
AC BC ⊥，OC OA ∴=，
又VA VC =，222VO OC VC ∴+=，VO OC ∴⊥.
OC AB O =，,OC AB ⊂平面ABC ，VO ∴⊥平面ABC ，
VO ⊂平面VAB ，∴平面ABC ⊥平面VAB .
（2）
AC BC =，OC AB ∴⊥，
又平面ABC
平面VAB AB =，平面ABC ⊥平面，OC ∴⊥平面VAB .
VAB 2VA VB AB ∴===，可得：1OC =.
1131334
C BOMV VAB
BOMV V OC S S
-∴=⨯⨯=⨯⨯⨯=四边形. 【点睛】思路点睛：证明面面垂直或线面垂直的关键是找到线线垂直关系，证明线线垂直的常用方法有：（1）线面垂直的性质定理；（2）等腰三角形三线合一性质；（3）勾股定理证垂直；（4）菱形、正方形等图形中的特殊垂直关系.
20. 已知函数()()21ln a x f x a x a x
++=-∈R .
（1）当1a >-时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若[]
1,x e ∀∈(e 为自然对数的底数)，不等式1
ln a a x x x
+-≤
恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间是()0,1a +，单调递增区间是()1,a ++∞；（2）212,1e e ⎡⎤
+-⎢⎥-⎣⎦
.
【解析】 【分析】
（1）当1a >-时，求()
f x 导数，分析导函数的正负求单调区间.
（2）若[]
1,x e ∀∈，不等式1
ln a a x x x
+-≤恒成立 将其转化为求1()ln a
f x x a x x
+=-+
在[]1,e 上的最小值()min 0f x ≥，分类讨论可得a 的取值范围.
【详解】解：（1）由题意知()f x 的定义域是0,
因为[]222
(1)(1)(1)()x x a x ax a f x x x
+-+--+'==， 令0f
x 得1x =-(舍)，
1x a =+由1a >-得10a +>
所以()f x 的单调递减区间是()0,1a +，单调递增区间是()1,a ++∞ （2）因为[]
1,x e ∀∈，1
ln a a x x x
+-≤
恒成立， 有[]1,x e ∀∈，2
1ln 0a x a x x
++-≥，
即()0f x ≥在[]
1,x e ∈上恒成立， 所以1()ln a
f x x a x x
+=-+在[]1,e 上的最小值()min 0f x ≥. 由（1）知：
① 当1a e +≥，即1a e ≥-时，()f x 在[]1,e 上单调递减，
min 1()()0a
f x f e e a e
+==+
-≥， 即211e a e +≤-，2111e e e +>--，2111
e e a e +-≤≤
-， ② 当11a +≤，即0a ≤时，()f x 在[]1,e 上单调递增，
()()min 120f x f e ==+≥，即20a -≤≤
③ 当11a e <+<，即01a e <<-时，
()f x 在[)1,1a +上单调递减，在(]1,a e +上单调递增，
因为()0ln 11a <+<，()0ln 1a a a <+<， 从而()12f a +>，此时()min 0f x ≥成立，
综上：a 的取值范围为212,1e e ⎡⎤
+-⎢⎥-⎣
⎦. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； （2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
21. 已知焦点在x 轴的椭圆C 的方程为：22216125
x y
a +=，A ､B 分别为椭圆C 的左右顶点，G 为C 的上顶
点，375
16
AG GB ⋅=
. （1）求C 的方程；
（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积.
【答案】（1）22
1612525
x y +=；
（2）52. 【解析】 【分析】
（1）(),0A a -，(),0B a ，50,
4G ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，然后利用375
16
AG GB ⋅=求解即可；
（2）设(,)p p P x y ，(6,)Q Q y ，然后可得||BP y ==||BQ =，然后可求出,P Q 的坐标，然后可算出答案.
【详解】（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，50,
4G ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
， 则5,4AG a ⎛⎫= ⎪⎝
⎭
，5,4GB a ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
， 由37516
AG GB ⋅=
得：2
253751616a -=，即225a =， 所以C 的方程为：22
1612525
x y +=.
（2）设(,)p p P x y ，(6,)Q Q y ，根据对称性只需考虑0Q y >情形， 此时，55p x -<<，504
P y <≤
，
由已知得：()5,0B ，直线BP 的方程为1
(5)Q
y x y =-
-， 所以
||BP y =
=，||BQ =； 因为BP BQ =，所以1p y =，将1p y =代入C 的方程， 解得：3p x =或3p x =-.
由直线BP 的方程得：2Q y =或8Q y =，
所以点P ，Q 的坐标分别为()13,1P ，()16,2Q 或()23,1P -，()26,8Q .
①当11
||PQ 11PQ 的方程为1
3
y x =， 点()5,0A -到直线1
1PQ 的距离为
2
11
APQ
的面积为11
15
222
APQ S
=
⨯=；
②当22||PQ =22P Q 的方程为710
93
y x =+， 点()5,0A -到直线22P
Q 的距离为
26
， 22AP Q △
的面积为22
1522
AP O S
=
=； 综上所述，APQ 的面积为
52
. 22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin .x t y t αα=+⎧⎨
=+⎩
，
（t 为参数，0πα≤<），以原点为极
点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
212
3sin ρθ
=
+，直线l 与曲线C 的交点为A ，
B .
（1）若π
2
α=
，求AB ； （2）设点()1,1P ，求
PA PB PA PB
－的最小值.
【答案】（1）3；（2）12
. 【解析】
【分析】
（1）将直线
l 的参数方程代入曲线C
的直角坐标方程得
()()2
2
2
3cos 4sin 6cos 8sin 50t t αααα+++-=，再利用直线参数方程参数的几何意义求解；
（2）求出
()
510sin PA PB PA PB
αϕ=
+-即得解.
【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程得2223sin 12ρρθ+=， 化为直角坐标方程为(
)22
2
312++=x y
y
，即223412x y +=.
将直线l 的参数方程代入其中，得
()()2
2
2
3cos 4sin 6cos 8sin 50t t αααα+++-=.
当π2
α=
时，上述方程即24850t t +-=，解得112t =，25
2t =-，
所以123AB t t =-=. （2）由根与系数的关系可知：
12226cos 8sin 3cos 4sin t t αααα++=-
+，12
225
3cos 4sin t t αα
=-+， 所以
()1212
551
6cos 8sin 2
10sin PA PB t t t t PA PB
αααϕ==
=≥+++-，
其中3
tan 4ϕ=
，当π2
αϕ+=时取等号， 所以
PA PB PA PB
-的最小值为
1
2
. 【点睛】方法点睛：直线参数方程的几何意义：（1）直线参数方程中参数t 的几何意义是这样的：如果点A 在定点P 的上方，则点A 对应的参数A t 就表示点A 到点P 的距离||PA ,即||A t PA =.如果点B 在定点P 的下方，则点B 对应的参数B t 就表示点B 到点P 的距离||PB 的相反数，即||B t PB =-.（2）由直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上,A B 两点间的距离||AB ,不管,A B 两点在哪里，总有
||||A B AB t t =-.
23. 已知()10f x x x =+-，()10g x x x =--. （1）若()()g x m f x ≤≤恒成立，求m 的值；
（2）在（1）的条件下，若正数a ，b 满足43a b m +=，求
1312a b
+++的最小值. 【答案】（1）10m =；（2）5
4
. 【解析】 【分析】
（1）先求出()10()10f x g x ≥≤，，即得解； （2）设1c a =+，2d b =+，则4320c d +=，()131134320c d c
d c d ⎛⎫+
=++ ⎪⎝⎭
，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）因为()()101010f x x x x x =+-≥--=，
()()101010g x x x x x =--≤--=，
所以10m =.
（2）设1c a =+，2d b =+，则43104320c d a b +=++=， 则
()13113112343132020c d c d c d c d d c ⎛⎫⎛
⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
1513204
⎛≥
+= ⎝， 当且仅当2d c =，即1a =，2b =时，等号成立. 所以
1312a b
+++的最小值为54.
【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要用到常量代换.如2(0,0)a b a b +=>>，求
11
a b
+的最小值，可以把
11
a b
+变成11111112()()()(2)222b a a b a b a b a b ⨯⨯+=⨯+⨯+=++，再利用基本不等式求
最值，提高解题效率.
衡石量书整理。