2020年高中必修五数学上期中一模试卷(含答案)

2020年高中必修五数学上期中一模试卷(含答案)
一、选择题
1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程
2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）
A ．1008
B ．1009
C ．2016
D ．2017
2．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
3．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810
B ．840
C ．870
D ．900
4．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49
B ．91
C ．98
D ．182
5．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1
B ．6
C ．7
D ．6或7
6．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则3
2x y
+的最大值为（ ） A ．
13
B ．38
C ．
37
D ．1
7．已知数列{}n a 的通项公式为()*21
log N 2
n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )
A ．有最小值63
B ．有最大值63
C ．有最小值31
D ．有最大值31
8．已知数列{an}的通项公式为an ＝2
()3
n
n 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89
B ．23
C ．
6481
D ．
125
243
9．数列{}n a 中，()1121n
n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32
B ．36
C ．38
D ．40
10．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95
B ．100
C ．135
D ．80
11．已知4213
3
3
2,3,25a b c ==
=，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
12．若0,0x y >>，且21
1x y
+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-
B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞
C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞
D ．(1,8)- 二、填空题
13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2
7
4sin
cos 222
A B C +-=，且5,7a b c +==，则ab 为 ．
14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足
11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________
15．已知数列111
1
12123123n
+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *
=++∈，,求n a =.__________．
17．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是
__________．
18．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有
2343n n S n T n -=-，则93
5784
a a
b b b b +++的值为_______．
19．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．
20．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且
22a c ac bc -=-，则
sin c
b B
的值为________. 三、解答题
21．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，
2cosA cos A =．
()1求C ；
()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V
22．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，234848a a a =+=，． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)设4log .n n b a =证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ． 23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围； （3）若1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 24．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本
y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002
y x x =-+，且每处
理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
25．已知函数()[)22,1,x x a
f x x x
++=∈+∞．
（1）当1
2
a =
时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围． 26．已知数列为等差数列，且12a =，12312a a a ++=． (1) 求数列的通项公式； (2) 令
，求证：数列
是等比数列．
（3）令1
1
n n n c a a +=
，求数列{}n c 的前n 项和n S .
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，
()()120161008100910081009201620162016
0,0,02
2
a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴=
=，
()1201720171009
2017201702
a a S a
+⨯=
=⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是
2016，故选C.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角
形，由
，得21
2121
2
{2
2
A A
B B
C C πππ=
-=
-=
-，那么，2222
A B C π
++=，矛
盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.
3．B
解析：B 【解析】
数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为
10(3165)
8402
+= ，选B. 4．B
解析：B 【解析】
∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴
13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．
5．B
解析：B 【解析】
试题分析：由等差数列
的性质，可得
，又，所以
，所以数列
的通项公式为
，令
，解得
，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得
取最小值时的为
，故选B ．
考点：等差数列的性质.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据条件可得出2x >，212
y x =+-，从而33
222(2)52
x y x x =+-++-，再根据基本不
等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为1
3
.
【详解】
0x Q >，0y >，20x y xy +-=，
2
122
x y x x ∴=
=+--，0x >， 333
222212(2)522
x y x x x x ∴
==
+++-++--，
212(2)5(2)5922
x x x x -+
+≥-⋅=--Q ， 当且仅当1
22x x -=-，即3x =时取等号， 31
232(2)52
x x ∴≤
-++-，即3123
x y ≤+，
32x y ∴+的最大值为13
. 故选：A. 【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*2
1
log N 2
n n a n n +=∈+， ∴1232
2223log log log 31
42
n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++2223
12log log 34
22n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪
++⎝⎭， 又因为2
121
5log 6232232
n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】
本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.
8．A
解析：A 【解析】
解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)
n ＋1
－n
n
＝·
n
，
当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
解法二 ＝＝
，
令
>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令
<1，解得n >2.又a n >0，
故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
9．B
解析：B
【分析】
根据所给数列表达式，递推后可得()
1
21121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以
()
1n
-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入
即可求解. 【详解】
由已知()1121n
n n a a n ++-=-，① 得()
1
21121n n n a a n ++++-=+，②
由()1n ⨯-+①②得()()()212121n
n n a a n n ++=-⋅-++，
取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果 【详解】
由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，
()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦
故选B 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。

11．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
因为4
2223
3
3
3
2=4,3,5a b c ===，且幂函数23
y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c .
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
将代数式21
x y
+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转
化为解不等式()2
min 72m m x y +<+，解出即可.
【详解】
由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥=
⎪⎝⎭
，
当且仅当()4,0y x
x y x y
=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2
min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<.
因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．
二、填空题
13．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理
解析：6 【解析】 试题分析：2
74sin
cos 222A B C +-=Q ，27
4sin cos 222
C C π-∴-=，2
74cos cos 222C C ∴-=，()7
2cos 1cos 22
C C ∴+-=，24cos 4cos 10C C ∴-+=，即()2
2cos 11C -=，解得1
cos 2
C =． 所以在ABC ∆中60C =o ．
2222cos c a b ab C =+-Q ，()2
222cos60c a b ab ab ∴=+--o
，
()2
2
3c
a b ab ∴=+-，(
)2
2
257
633
a b c ab +--∴==
=．
考点：1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．
14．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn ﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn ＝Sn ﹣Sn ﹣1+2可得an+1﹣an ＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n ＞1n ∈N*满足Sn+
解析：91 【解析】 【分析】
由S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），可得S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，可得a n+1﹣a n ＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】
∵对于任意n ＞1，n∈N *，满足S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1）， ∴n≥2时，S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2， ∴a n+1﹣a n ＝2．
∴数列{a n }在n≥2时是等差数列，公差为2． 则10S ＝1+9×298
22
⨯+⨯=91． 故答案为91 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项 解析：
21
n
n + 【解析】 【分析】
由题意可知此数列为1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消
的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】
由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和， 由公式可得：()12n n n S +=
，所以数列通项：()1211211n
S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，
求和得：122111
n
n n ⎛⎫-=
⎪++⎝⎭. 【点睛】
本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.
16．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最
解析：4,1
41,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
.
【解析】
分析：根据1n n n a S S -=-可以求出通项公式n a ；判断1S 与1a 是否相等，从而确定n a 的表达式。

详解：根据递推公式，可得2
12(1)(1)1n S n n -=-+-+
由通项公式与求和公式的关系，可得1n n n a S S -=- ，代入化简得
22212(1)(1)1n a n n n n =++-----
41n =-
经检验，当1n =时，114,3S a == 所以11S a ≠ 所以 4,1
41,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
.
点睛：本题考查了利用递推公式1n n n a S S -=-求通项公式的方法，关键是最后要判断1S 与
1a 是否相等，确定n a 的表达式是否需要写成分段函数形式。

17．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB ⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c 解析：
【解析】
试题分析：由题意得
，因此
,
从而所求最大值是
考点：正余弦定理、面积公式
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已
知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件
即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具
即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
18．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题 解析：
1941
【解析】 【分析】
由等差数列的性质和求和公式可得原式11
11
S T =，代值计算可得． 【详解】
∵{a n }，{b n }为等差数列，
∴
9393936
57846666
222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵
61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341
⨯-=⨯-，∴661941a b =， 故答案为
19
41
. 【点睛】
本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
19．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际
解析：
14
【解析】 【分析】
在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值． 【详解】
在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=o ， 由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=o ，
所以BC =,
由正弦定理可得sin sin 7
AB ACB BAC BC ∠=
⋅∠=
，
因为120BAC ∠=o ，可知ACB ∠为锐角，所以cos ACB ∠=
所以cos cos(30)cos cos30sin sin 3014
ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=o o o ． 【点睛】
本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．
20．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题
解析：
3
【解析】 【分析】
利用,,a b c 成等比数列得到222c b a bc +-=，再利用余弦定理可得60A =︒，而根据正弦定理和,,a b c 成等比数列有1
sin sin c b B A
=，从而得到所求之值. 【详解】
∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =.又∵22a c ac bc -=-，∴222c b a bc +-=.
在ABC ∆中，由余弦定理2221
cos 22
c b a A bc +-== ，
因()0,A π∈，∴60A =︒. 由正弦定理得
2
sin sin sin sin sin sin c C C
b B B B B
==， 因为2b ac =， 所以2sin sin sin B A C = ，
故
2sin sin 1sin sin sin sin 3
C C B A C A ===
.
故答案为 3
. 【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，
如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
三、解答题
21．(1) 12
π
．
(2) 【解析】 【分析】
()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，
可求4
B π
=
，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围
()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．
()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据
三角形的面积公式即可求解． 【详解】
() 1Q 由已知可得ccosB bsinC =，
又由正弦定理
b c
sinB sinC
=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈Q ，
4
B π
∴=
，
2221cosA cos A cos A ==-Q ，即2210cos A cosA --=，
又()0,A π∈，
12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π
=，
12
C A B π
π∴=--=
．
()223A π=
Q ，4
B π
=，2a =， ∴由正弦定理
a b
sinA sinB
=
，可得2a sinB b sinA ⨯
⋅=
==，
(
)1sin 22224
sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=
+-⨯=
⎪⎝⎭Q ，
113222343
ABC S absinC -∴=
=⨯⨯⨯=
V ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 22．（Ⅰ） 1
2n n a += （Ⅱ）见解析，234
n n
+
【解析】 【分析】
（1）利用2
342248a a a q a q +=+=及28a =求得q ，从而得到通项公式．
（2）利用定义证明{}n b 等差数列，并利用公式求和． 【详解】
（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意0q >．
由2348,48a a a =+=得2
8848q q +=，解得2q =． 故2
182
2n n n a -+=⨯= ． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得1
441
log log 22
n n n n b a ++===
． 故11
2n n b b --=
，所以{}n b 是首项为1，公差为12
的等差数列， 所以()21131224
n n n n n
S n -+=⨯+⨯=
． 【点睛】
一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：（1）证明1n n a a d --=；（2）证明：112n n n a a a -+=+.
23．（1）61n a n =-；（2）9n ≥且*n N ∈；（3）5(65)
n n
T n =+．
【解析】 【分析】
（1）首先根据题意列出方程217111
721161
a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解方程组再求n a 即可.
（2）首先计算n S ，再解不等式6512n n S a n >--即可. （3）首先得到11166(1)65
n b n n =--+，再利用裂项法即可得到前n 项和n T 的值. 【详解】
（1）由题意得217
111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得15
6a d =⎧⎨=⎩
所以61n a n =-． （2）由（1）得2(1)
56322
n n n S n n n -=+
⨯=+， 因为6512n n S a n >--，即2329180n n -+≥. 解得2
3
n ≤
或9n ≥， 因为1n ≥且*n ∈N ，所以n 的取值范围为9n ≥且*n ∈N . （3）因为11111
611()()6(615
)566n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以1111111[()()()]651111176165n T n n =
-+-+⋯+--+ 1116565(5)
65)(n n n -==++ 【点睛】
本题第一问考查等差数列通项公式的求法，第二问考查等差数列前n 项和n S 的求法，第三问考查裂项法求和，属于中档题.
24．（1）该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨；（2）该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损． 【解析】 【分析】
（1）根据已知得平均处理成本为
y
x
，得到关系式后利用基本不等式求得平均处理成本的最小值，并根据基本不等式等号成立条件求得每月处理量；（2）获利
()2
130********
10x S x y =-=-
--，根据二次函数图象可求得[]80000,40000S ∈--，可知不获利，同时求得国家至少补贴40000元.
【详解】
（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为：
1800002002002002y x x x =+-≥= 当且仅当180000
2x x
=，即400x =时取等号 ∴月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨
（2）不获利
设该单位每月获利为S 元
()222110010020080000113008000030035000
222S x y x x x x x x ⎛⎫
=-=--+ ⎪=-+-=---⎝⎭
[]400,600x ∈Q []80000,40000S ∴∈--
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损 【点睛】
本题考查构造函数模型解决实际问题，主要涉及的内容是利用基本不等式求解函数的最值、利用二次函数图象求解最值的问题. 25．（1）7
2
（2）3a >- 【解析】 【分析】
（1）由题得()1
22f x x x
=+
+，再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值；（2）等价于2
2y x x a =++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】 （1）当12
a =
时，()1
22f x x x =++， ∵()f x 在区间[
)1,+∞上为增函数，
∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[
)1,+∞上的最小值为()7
12
f =
. （2）在区间[)1,+∞上，()220x x a
f x x
++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立．
设2
2y x x a =++，[)1,x ∈+∞，
因为()2
22+a=11y x x x a =+++-在[
)1,+∞上递增， ∴当1x =时，min 3y a =+，
于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-. 【点睛】
本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 26．解: (1)∵数列为等差数列,设公差为
, 由,得
,
,
∴
，
.
(2)∵
,
∴
∴数列
是首项为9，公比为9的等比数列 .
（3）∵1
1
n n n c a a +=，2n a n =， ∴1111
()22(1)41
n c n n n n
==-⋅++
∴11111(1)()42423n S =
-+-+…111()41n n +-+11(1)41
n =-+ 【解析】
试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分
由,得
,
,
∴
， …………………… 3分
. …………………… 4分
(2)∵, …………………… 5分 ∴， …………………… 6分
∴数列
是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分
（3）∵1
1
n n n c a a +=，2n a n =， ∴1111
()22(1)41
n c n n n n ==-⋅++………………… 10分
∴11111(1)()42423n S =
-+-+…111()41n n +-+11(1)41
n =-+……… 12分 考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n 项和的求法．
点评：裂项法是求前n 项和常用的方法之一．常见的裂项有：
，
，，
，，。