2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)5：三角函数

2012高考真题分类汇编：三角函数
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理5】设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为
（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】A
【解析】因为βαtan ,tan 是方程2320x x -+=的两个根，所以3tan tan =+βα，
2tan tan =βα，所以32
13
tan tan 1tan tan )tan(-=-=-+=
+βαβαβα，选A.
2.【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是
【答案】A
【解析】根据题设条件得到变化后的函数为)1cos(+=x y ，结合函数图象可知选项A 符合要求。

故选A.
3.【2012高考真题新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x π
ω=+在(,)2
π
π上单调递减.
则ω的取值范围是（ ）
()A 15[,]24 ()B 13[,]24
()C 1
(0,]2 ()D (0,2]
【答案】A
【解析】函数)4
sin()(π
ω+
=x x f 的导数为)4
c o s ()('π
ωω+
=x x f ，要使函数
)4sin()(πω+
=x x f 在),2(ππ上单调递减，则有0)4
cos()('≤+=π
ωωx x f 恒成立， 则
πππωππk x k 223422+≤+≤+，即ππωππk x k 24524+≤≤+，所以Z k k x k ∈+≤≤+，ωπωπωπωπ2424，当0=k 时，ωπωπ454≤≤x ，又ππ<<x 2，所以有πωππωπ≥≤45,24，解得45,21≤≥ωω，即4
521≤≤ω，选A. 4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）
A
B
C
D
【答案】B
【解析】2EB EA AB =+=，
EC =
34
2
4
EDC EDA ADC π
π
π∠=∠+∠=
+
=
，
由正弦定理得
sin sin 5CED DC EDC CE ∠===∠，
所以3sin sin sin 4CED EDC π∠=
∠==5.【2012高考真题陕西理9】在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2
2
22a b c +
=，
则cos C 的最小值为（ ）
A.
2
B. 2
C. 12
D. 12-
【答案】C.
【解析】由余弦定理知2
14242)
(21
2cos 2222222
2
2
=≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，
故选Ｃ．
6.【2012高考真题山东理7】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ=
（A ）
35 （B ）45 （C ）4
（D ）34 【答案】D
【解析】因为]2,4[
ππθ∈，所以],2[2ππ
θ∈，02cos <θ，所以
812s i n 12c o s 2-=--=θθ，又81s i n 212c o s 2-=-=θθ，所以169sin 2
=θ，
4
3sin =θ，选D.
7.【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则tan α=
(A) -1 (B) - (C) (D) 1 【答案】A
【解析一】sin cos )sin()144
ππ
αααα-=
-=∴-=
3(0),,tan 14
π
απαα∈∴=
∴=- ，，故选A
【解析二】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-
33(0,),2(0,2),2,,tan 124
ππαπαπααα∈∴∈∴=
∴=∴=- ，故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。

8.【2012高考真题江西理4】若tan θ+1
tan θ
=4,则sin2θ= A ．
15 B. 14 C. 13 D. 12
【答案】D
【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。

【解析】由4tan 1tan =+θθ得， 4cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+θθθθθθθθ，即42sin 2
11
=θ，
所以2
1
2sin =
θ，选D. 9.【2012高考真题湖南理6】函数f （x ）=sinx-cos(x+
6
π
)的值域为
A ．2 , 2
] 【答案】B
【解析】f （x ）=sinx-cos(x+
6π)1sin sin )26
x x x x π
=+=-， []
sin()1,16
x π
-∈- ，()f x ∴值域为【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式，利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-，求得()f x 的值域.
10.【2012高考真题上海理16】在ABC ∆中，若C B A 2
2
2
sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定 【答案】C
【解析】根据正弦定理可知由C B A 2
2
2
sin sin sin <+,可知2
2
2
c b a <+，在三角形中
02cos 2
22<-+=ab
c b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选C.
11.【2012高考真题天津理2】设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件 【答案】A
【解析】函数)c o s()(ϕ+=x x f 若为偶函数，则有Z k k ∈=,πϕ,所以“0=ϕ”是“)cos()(ϕ+=x x f 为偶函数”的充分不必要条件，选A.
12.【2012高考真题天津理6】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=
（A ）257 （B ）257
- （C ）257± （D ）25
24
【答案】A
【解析】因为B C 2=,所以B B B C cos sin 2)2sin(sin ==,根据正弦定理有
B
b
C c sin sin =，
所以
58sin sin ==B C b c ，所以5
45821sin 2sin cos =⨯==B C B 。

又1c o s 2)2c o s (c o s 2
-==B B C ，
所以25
71251621cos 2cos 2
=-⨯=-=B C ，选A. 13.【2012高考真题全国卷理7】已知α为第二象限角，3
3
cos sin =
+αα，则cos2α=
(A) （B ） (C) 【答案】A
【解析】因为3
3
cos sin =
+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以
03
2
c o s s i n 2<-
=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，3
1535321cos sin 21cos sin ==+
=-=-αααα，所以
)s i n )(c
o s s i n (c o s s i n c o s 2c o
s 22
ααααααα+-=-==3
5
33315-=⨯-，选 A.er
二、填空题
14.【2012高考真题湖南理15】函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.
（1）若6
π
ϕ=
，点P 的坐标为（0，则ω= ; （2）若在曲线段 ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 .
【答案】（1）3；（2）
4
π
【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6
π
ϕ=
，点P 的坐标为（0
，
2
cos
36
π
ωω=
∴=； （2）由图知222T AC π
π
ωω
===，122ABC S AC πω=⋅= ，设,A B 的横坐标分别为,a b .
设曲线段
ABC
与
x 轴所围成的区域的面积为
S
则
()()sin()sin()2b
b
a
a
S f x dx f x a b ωϕωϕ'=
==+-+=⎰
，由几何概型知该点在△ABC 内
的概率为224
ABC S P S π
π=
== . 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求ω，
（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.
15.【2012高考真题湖北理11】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若
()()a b c a b c ab +-++=，则角C = ．
【答案】 【解析】
3
2π
222222a =-a -ab 12cos =,2223
a b c b
a b c C C ab ab π
+-+-==-∠=由（+b-c ）(a+b-c)=ab,得到根据余弦定理故
16.【2012高考真题北京理11】在△ABC 中，若a =2，b+c=7，cosB=4
1
-，则b=_______。

【答案】4
【解析】在△ABC 中，利用余弦定理c
b c b c ac b c a B 4)
)((4412cos 222-++=-⇒-+=
c b c 4)(74-+=，化简得：0478=+-b c ，与题目条件7=+c b 联立，可解得⎪⎩
⎪⎨⎧===2
43
a b c .
17.【2012高考真题安徽理15】设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_____
①若2ab c >；则3
C π
<
②若2a b c +>；则3
C π
<
③若333a b c +=；则2
C π
<
④若()2a b c ab +<；则2
C π
>
⑤若22222()2a b c a b +<；则3
C π
>
【答案】①②③
【命题立意】本题解三角形的知识，主要涉及余弦定理与基本不等式的运算。

【解析】正确的是_____
①2222
21cos 2223
a b c ab ab ab c C C ab ab π
+-->⇒=
>=⇒< ②2222224()()12cos 2823
a b c a b a b a b c C C ab ab π
+-+-++>⇒=
>≥⇒< ③当2
C π
≥
时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333
a b c +=矛盾
④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2
C π
<
⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3
C π
<
18.【2012高考真题福建理13】已知△ABC 余弦值为_________. 【答案】4
2-
． 【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识，难度适中． 【解析】设最小边长为a ，则另两边为a a 2,2.
所以最大角余弦42
2242cos 222-
=⋅-+=a
a a a a α 19.【2012高考真题重庆理13】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a
b
c ，且5
3
cos =
A ，13
5
cos =
B ,3=b 则c =
【答案】
5
14 【解析】因为53cos =
A ,135cos =
B ,所以5
4
s i n =A ，1312sin =B ，
65
56
53131213554)sin(sin =⨯+⨯=
+=B A C ,根据正弦定理C c B b sin sin =得65
5613123c =,解得
5
14=
c . 20.【2012高考真题上海理4】若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小 为 （结果用反三角函数值表示）。

【答案】2arctan
【解析】设倾斜角为α，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则2tan =α， ∴α=2arctan 。

21.【2012高考真题全国卷理14】当函数取得最大值时，
x=___________. 【答案】6
5π=
x 【解析】函数为)3
sin(2cos 3sin π
-
=-=x x x y ，当π20<≤x 时，3
53
3
π
π
π
<
-
≤-
x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以6
5π
=x .
22.【2012高考江苏11】（5分）设α为锐角，若4cos 65απ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
，则)122sin(π+a 的值为 ▲ ．
【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。

【解析】∵α为锐角，即02
<<
π
α，∴
2=
6
6
2
63<<
π
π
π
π
πα+
+。

∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭。

∴
3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 。

∴7cos 2325απ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭。

∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12
343434a a a a π
π
πππππ⎛⎫⎛
⎫+
+
-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
247
=
2525
三、解答题
23.【2012高考真题新课标理17】（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C
的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c . 【答案】（1）由正弦定理得：
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+
sin cos sin sin()sin 1
cos 1sin(30)2
303060A C A C a C C
A A A A A ︒︒︒︒
⇔=++⇔
-=⇔-=
⇔-=⇔=
（2
）1
sin 42
S bc A bc =
=⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+= 24.【2012高考真题湖北理17】（本小题满分12分）
已知向量(c o s s i n ,s i n x x x ωωω=-a
，(cos sin ,)x x x ωωω=--b ，设函数
()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1
(,1)2ω∈.
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π(,0)4，求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.
【答案】（Ⅰ
）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+
cos22x x ωωλ=-+π
2sin(2)6
x ωλ=-+.
由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得π
sin(2π)16
ω-=±，
所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1
()23
k k ω=+∈Z ．
又1
(,1)2
ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.
所以()f x 的最小正周期是6π
5.
（Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π
()04
f =，
即5πππ
2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=
λ=.
故5π
()2sin()36
f x x =-
由3π05x ≤≤，有π5π5π6366x -≤-≤， 所以15πsin()1236x -≤-≤
，得5π
12sin()236
x ---
故函数()f x 在3π
[0,]5
上的取值范围为[12-.
25.【2012高考真题安徽理16】）(本小题满分12分)
设函数2())sin 4
f x x x π
=
++。

（I ）求函数()f x 的最小正周期；
（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π
+
=，且当[0,]2
x π
∈时，
1
()()2
g x f x =
-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式。

【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力。

【解析】2111
())sin cos 2sin 2(1cos 2)24222
f x x x x x x π=
++=-+- 11
sin 222
x =
-， （I ）函数()f x 的最小正周期22
T π
π=
= （2）当[0,]2x π∈时，11
()()sin 222
g x f x x =-=
当[,0]2x π
∈-
时，()[0,]22x ππ+∈ 11
()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈ 11
()()sin 2()sin 222
g x g x x x ππ=+=+=
得函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1
sin 2(0)22
()1sin 2()22
x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩。

26.【2012高考真题四川理18】(本小题满分12分)
函数2
()6cos
3(0)2
x
f x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象
的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形。

（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域；
（Ⅱ）若0()f x =
，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值。

【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角
公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想.
27.【2012高考真题陕西理16】（本小题满分12分） 函数()sin()16
f x A x π
ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间
的距离为
2
π
， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2π
α∈，则()22
f α
=，求α的值。

【答案】
28.【2012高考真题广东理16】（本小题满分12分） 已知函数)6
cos(2)(π
ω+=x x f ，（其中ω＞0，x ∈R ）的最小正周期为10π．
（1）求ω的值；
（2）设]2
,0[,π
βα∈，56)355(-=+
παf ，17
16
)655(=-πβf ，求cos （α＋β）的值． 【答案】本题考查三角函数求值，三角恒等变换，利用诱导公式化简三角函数式与两角和的
余弦公式求值，难度较低。

【解析】
(1)05
1
，210>=
=
=ωω
π
πT
29.【2012高考真题山东理17】（本小题满分12分）
已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)3
A
m x n x x A ==> ，函数()f x m n =⋅ 的最大值为
6.
（Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移
12
π
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来
的
12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,
]24
π
上的值域. 【答案】
解析：（Ⅰ）⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+=+=⋅=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A x f ，
则6=A ;
（Ⅱ）函数y=f （x ）的图象像左平移12π个单位得到函数]6
)12(2sin[6π
π++=x y 的图象， 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数)3
4sin(6)(π
+=x x g .
当]245,0[π∈x 时，]1,2
1
[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ，]6,3[)(-∈x g . 故函数g （x ）在
上的值域为]6,3[-.
另解：由)3
4sin(6)(π
+=x x g 可得)3
4cos(24)(π
+
='x x g ，令0)(='x g ，
则)(234Z k k x ∈+
=+
π
ππ，而]24
5,
0[π
∈x ，则24π=x ，
于是36
7sin
6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======π
ππππg g g ， 故6)(3≤≤-x g ，即函数g （x ）在上的值域为]6,3[-.
30.【2012高考真题北京理15】（本小题共13分）已知函数x
x
x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。

（1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间。

【答案】
31.【2012高考真题重庆理18】（本小题满分13分（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问5分） 设)2cos(sin )6
cos(4)(x x x x x f +--
=ωωπ
ω，其中.0>ω
（Ⅰ）求函数)(x f y = 的值域 （Ⅱ）若)(x f y =在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2,23πx 上为增函数，求 ω的最大值. 【答案】
32.【2012高考真题浙江理18】(本小题满分14分)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别
为a ，b ，c ．已知cos A ＝2
3
，sin B C ．
(Ⅰ)求tan C 的值；
(Ⅱ)若a ∆ABC 的面积．
【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。

(Ⅰ)∵cos A ＝2
3＞0，∴sin A ，
又C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A
＝
cos C ＋23sin C ．
整理得：tan C
(Ⅱ)由图辅助三角形知：sin C 又由正弦定理知：sin sin a c
A C
=
，
故c = (1)
对角A 运用余弦定理：cos A ＝2222
23
b c a bc +-=． (2)
解(1) (2)得：b =or b (舍去)．
∴∆ABC 的面积为：S ． 33.【2012高考真题辽宁理17】(本小题满分12分)
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。

角A ，B ，C 成等差数列。

(Ⅰ)求cos B 的值；
(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。

【答案】
【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。

第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。

34.【2012高考真题江西理18】（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。

已知，。

（1）求证：
（2）若ABC的面积。

【答案】
【点评】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形：主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面积等；二、三角函数的图像与性质：主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值（值域）等.来年需要注意第二种题型的考查.
35.【2012高考真题全国卷理17】（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效
．．．．．．．．．．．）
三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c. 【答案】
36.【2012高考真题天津理15】（本小题满分13分）
已知函数.,1cos 2)3
2sin()3
2sin()(2R x x x x x f ∈-+-
++
=π
π
（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4
,4[π
π-上的最大值和最小值.
【答案】
37.【2012高考江苏15】（14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =
．
（1）求证：tan 3tan B A =；
（2）若cos C =求A 的值． 【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =
，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即
c o s =3c o A C A B C B。

由正弦定理，得
=
sin sin AC BC
B A
，∴sin cos =3sin cos B A A B 。

又∵0<A B <π+，∴cos 0 cos 0A >B >，。

∴sin sin =3cos cos B A
B A
即tan 3tan B A =。

（2）∵ cos 0C <C <π=，∴sin C =tan 2C =。

∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan 2A B +=-。

∴tan tan 21tan tan A B
A B
+=-- 。

由 （1） ，得24tan 213tan A
A
=--，解得1tan =1 tan =3A A -
，。

∵cos 0A >，∴tan =1A 。

∴=
4
A π。

【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。

【解析】（1）先将3AB AC BA BC =
表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。

（2）由cos C =
可求tan C ，由三角形三角关系，得到()tan A B π⎡-+⎤⎣⎦，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A 的值。