热点05 图形的平移、翻折与旋转(解析版)

第二步·大题夺高分
热点05 图形的平移、翻折与旋转
真题回顾
1．（2020·上海中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为____．
【答案】．
【分析】过E点作EH⊥BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到
∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长．【详解】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，
∵BC=7，CD=3，∴BD=BC-CD=4，∵AB=4=BD，∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，∴∠ADC=∠ADE=120°，∴∠EDH=60°，
∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°．∵DE=DC=3，
∴EH=DE×sin∠HDE=3×=，∴E到直线BD的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出
∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．2．（2017·上海中考真题）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果
EF∥AB，那么n的值是_____．
【答案】45
【解析】解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，∴旋转角n=45时，EF∥AB．
②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，∴∠ACE=135°
∴旋转角n=360°﹣135°=225°，∵0＜n°＜180，∴此种情形不合题意，故答案为45．
3．（2015·上海中考真题）已知在中，8AB AC ==，30BAC ∠=．将绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处．延长线段，交原的边的延长线于点，那么线段的长等于___________．
【答案】
【详解】解：如图，由旋转的性质知，8AD AC ==，30CAD ∠=，
过作CF AE ⊥交于，而，， 故843DF =-．
在中，8AB AC ==，30BAC ∠=
则75B ACB ∠=∠=，
故45E ACB DAC ∠=∠-∠=，为等腰直角三角形，
则4EF CF ==，
所以．
4．（2011·上海中考真题）Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD （如
图）．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝______．
【答案】80°或120°
【分析】本题可以图形的旋转问题转化为点B 绕D 点逆时针旋转的问题，故可以D 点为圆心，DB 长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB 上的一点B′，交直角边AC 于B″，此时DB′=DB ，
DB″=DB=2CD ，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt △B″CD 中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．
【详解】解：如图，在线段AB 取一点B′，使DB=DB′，在线段AC 取一点B″，使DB=DB″，
∴①旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B -∠B=180°-2∠B=80°，
②在Rt △B″CD 中，∵DB″=DB=2CD ，
∴∠CDB″=60°，旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．
故答案为80°或120°．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用含30度的直角三角形三边的关系也是解决问题的关键．
1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在中，点分别在边、 上，//DE BC ，将沿直线翻折后与 FDE 重合，、分别与边交于点、，如果 ，，那么的长是 _____ ．
【答案】4
【分析】设，从而可得2,a AD a BD ==，先根据平行线的性质可得,ADE B EDM BMD ∠=∠∠=∠，再根据翻折的性质可得，从而可得B BMD ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得DM BD a ==，从而可得，最后根据三角形的中位线定理即可得．
【详解】设，则2,BD D a A a A AB D =-==，
//DE BC ，,ADE B EDM BMD ∠=∠∠=∠∴，
由翻折的性质得：，
B BMD ∴∠=∠，DM BD a ∴==，
，即点M 是DF 的中点，
又//DE BC ，是FDE 的中位线，118422
MN DE ∴==⨯=， 故答案为：4．
【点睛】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．
2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在△ABC 中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1//AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么的值为______．
【答案】
【分析】由旋转得出∠=75°，在△中，过点B 作BM ⊥于M,设,由勾股定理计算出BD 的长，由此解答即可．
【详解】解：由题意知，AC ∥BB 1，°，∠C=60°，
∴11CAB ABB AB B ==∠∠∠=75°
模拟预测
∵∠∠ABC =45°，∴∠=30°，则∠=75°
在△中，过点B 作BM ⊥于M,设
在Rt △BMB 1中，∠=30°，∴BM=，，∴
则x =
= ∵=
【点睛】本题考查了旋转知识平行线的性质和勾股定理等知识，掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2021·上海静安区·九年级一模）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =13，（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A ’，点B 落在点B ’，A ’B ’与边BC 相交于点D ，那么的值为____．
【答案】
【分析】先过作CE AB ⊥交于点，根据题意求出和，由Rt ABC 面积公式求出，再根据旋转的性质得，'AC A C =，由'CE AA ⊥，则'AE EA =，并求出，利用对顶角相等得，则''A DB CDB △△∽，最后根据相似三角形性质可得
【详解】过作CE AB ⊥交于点，，，
设，，
在Rt ABC 中，13AB ===，，
AC ∴=1122ABC S BC AC AB CE =⋅=⋅，， 2tan 3
CE B EB ==，， ''Rt A B C 由Rt ABC 旋转而得，'B B ∴∠=∠，'AC A C =，
'CE AA ⊥，，，
，，
又，''A DB CDB ∴∽，
''''5
CD CB CB A D A B A B ∴
=== 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理以及相似三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 4．（2021·上海宝山区·九年级一模）在Rt ABC △中，，AC BC =，点、分别是边、的中点，已知点在
线段上，联结，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，如果点、、在同一直线上，那么______．
【答案】或．
【分析】分两种情形：①当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD ＝DC 即可解决问题．
【详解】解：①如图2中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．
∵CE ＝EA ，CF ＝FB ，∴EF ∥AB ，∵AC ＝AB ，∠ACB ＝90°，∴∠CEF ＝∠CAB ＝45°，
∵PD ＝P A ，∠APD ＝90°，∴∠P AD ＝∠PDA ＝45°，∴∠HDC ＝∠PDA ＝45°，
∵点是边的中点，∴EA ＝EP ＝EC ，∴∠EPC ＝∠CEP ，
∵∠HDC ＝∠DCA+∠DAC ＝45°，∠CEF ＝∠DCA+∠EPC ＝45°，∴∠DAC ＝∠EPC ＝∠ECP ，
∴DA ＝DC ，设AP ＝a ，则
DA DC ==,∴)1PC a =
，∴)1tan 1a PC CAP PA a ∠=== ②如图3中，当点P 在线段CD 上时，
由①可知，EF ∥AB ，∠CAB ＝∠PDA ＝45°，∴∠CAD ＝180°-∠ACD-45°，∠COA ＝180°
-∠ACO-45° ∴∠CAD ＝∠COA ，∵EF ∥AB ，∴∠CPE ＝∠COA ，∴∠CPE ＝∠CAD ，
∵点是边的中点，∴EA ＝EP ＝EC ，∴∠ECP ＝∠CPE ，
∴∠ECP ＝∠CAD ，∴DA ＝DC ，设AP ＝a ，则PD ＝a ，DA DC ==,
∴)1PC a =，∴)1
tan 1a PC CAP PA a ∠==
综上所述，tan CAP ∠的值是或．
【点睛】本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，外角的性质，三角形内角和，勾股定理和三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
5．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，，，，将绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF ＝_________．
【答案】
【分析】如图，过点F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，由旋转得∠D=∠B ，求出2GD x =，23AG x =-，利用FG ∥BC ，求得FG=2AG ，由此列得x=2（2x-3），求出FG=2，AG=1，利用勾股定理求出AF ，即可
求得答案．
【详解】如图，过点F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，由旋转得∠D=∠B ，
∴，∴，∴2GD x =，
∵AD=AB=3，∴23AG x =-，∵∠FGA=，∴FG ∥BC ，
∴∠AFG=∠B ，∴，∴FG=2AG ，∴x=2（2x-3），解得x=2
∴FG=2，AG=1，∴AF =
=∴，故答案为：．
【点睛】此题考查锐角三角函数，勾股定理，旋转的性质，解一元一次方程，解题中运算等角的三角函数值相等是思想解决问题是解题的关键．
6．（2020·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在中，，60C ∠=°，将绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点、处，如果1//BB AC ，连接结交边于点D ，那么的值为______．
【答案】
【分析】过点D 作DE ⊥，如图所示，由题意易得175CAB ABB ∠=∠=︒，1175AB B ABB ∠=∠=︒，，进而可证11ABB B BD ∽，则有，设，则有，然后根据相似三角形的性质可求解．
【详解】解：由题意可作如图所示：
过点D 作DE ⊥，∵∠C=60°，∠B=45°，∴∠CAB=75°，145AB D ∠=︒，
∵1//BB AC ，∴175CAB ABB ∠=∠=︒，∵，∴1175AB B ABB ∠=∠=︒，
∴，∴1175BDB ABB ∠=∠=︒，∴，
∴11ABB B BD ∽，∴，
设，∴，
∴)
11AB a =，∴，∴，故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、旋转的性质及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、旋转的性质及三角函数是解题的关键．
7．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，在Rt ABC ∆中，90,3,4,ACB AC BC CD ∠=︒==是的角平
分线，将Rt ABC
∆绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接ED，那么的正切值为
_______________________．
【答案】
【分析】如图，过点D作DG⊥AC于G，可得DG//BC，即可证明△AGD∽△ACB，可得，由CD是角平分线可得∠ACD=45°，可得CG=DG，进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD的长，根据旋转的性质可得AC′=AC，AE=AB，根据等腰三角形的性质可得∠CC′A=45°，可得∠CAC′=90°，可得旋转角为90°，可得∠DAE=90°，利用勾股定理可求出AB的长，根据正切的定义即可得答案．
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于G，∵∠ACB=90°，∴DG//BC，
∴△AGD∽△ACB，可得，∵CD是角平分线，∴∠ACD=45°，∴CG=DG，
∵AC=3，AC=AG+CG，∴+CG=3，即=3，解得：DG=，∴AG=，
∴，
∵将Rt ABC
∆绕点旋转，如果点落在射线上，∴AC′=AC，AE=AB，
∴∠CC′A=∠ACD=45°，∴∠CAC′=90°，∴旋转角为90°，∴∠DAE=90°，
∵AC=3，BC=4，∴AB=5，tan
AD AD AED
AE AB
∠===．
故答案为：
【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90°并熟练掌握相关性质及定义是解题关键．
8．（2020·上海浦东新区·九年级三模）如图，在矩形ABCD中，，，将矩形ABCD绕点旋转，点、、的对应点分别为、、，当落在边的延长线上时，边与边的延长线交于点，联结，那么线段的长度为
_________．
【答案】
【分析】由旋转的性质得CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠ADC=∠A'D'C=90°，由勾股定理得出A'C=5，则
A'D=A'C-CD=5-3=2，证Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），得出DF=D'F，设DF=D'F=x，则A'F=4-x，在
Rt△A'DF中，由勾股定理得出方程，解方程得DF=，由勾股定理即可得出CF的长度．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠ADC=90°，∴∠A'DF=∠CDF=90°，
由旋转的性质得：CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠ADC=∠A'D'C=90°，∴5
A C'=，
∴A'D=A'C-CD=5-3=2，在Rt △CDF 和Rt △CD'F 中，，∴Rt △CDF ≌Rt △CD'F （HL ），
∴DF=D'F ，设DF=D'F=x ，则A'F=4-x ，
在Rt △A'DF 中，由勾股定理得：22+x 2=（4-x ）2，解得：x=，
∴；故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．（2020·上海普陀区·九年级二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，cot B ＝，点P 为边AB 上一点，将△BPC 沿着PC 翻折得到△B ′PC ，B ′C 与边AB 的交于点D ，如果△B ′PD 恰好为直角三角形，那么BP ＝__．
【答案】4或
【分析】分两种情形：如图1中，当时，过点作CH AB ⊥于．如图2中，当时，设．分别求解即可解决问题．
【详解】解：如图1中，当时，过点作CH AB ⊥于．
，，，10AB ∴==，
1122
BC AC AB CH =，， 90B A ∠+∠=︒，90B PD B ∠'+∠'=︒，，，
，6AC CD ∴==，CH AD ⊥，
，
36141055BD AB AD ∴=-=-=，，设， 在Rt PDB ∆'中，则有，解得或（舍弃），
如图2中，当时，设．
在Rt PDB ∆'中，则有2223216()()55
x x =-+，解得， 综上所述，满足条件的的值为或4．
故答案为4或．
【点睛】本题考查解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会
利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
10．（2020·上海青浦区·九年级二模）在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，将△ABC绕着点B顺时针旋转，如果点A落在射线BC上的点A'处．那么AA'＝_____．
【答案】2
【分析】作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH＝CH＝BC＝1，利用勾股定理可计算出AH＝2，再根据旋转的性质得BA′＝BA＝3，则HA′＝2，然后利用勾股定理可计算出AA′的长．
【详解】解：作AH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC＝3，BC＝2，
∴BH＝CH＝BC＝1，∴AH＝，
∵△ABC绕着点B顺时针旋转，如果点A落在射线BC上的点A'处，
∴BA′＝BA＝3，∴HA′＝2，在Rt△AHA′中，AA′＝．
故答案为2．
【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
11．（2020·上海虹口区·九年级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是边BC、AB上一点，DE∥AC，BD＝5，把△BDE绕着点B旋转得到△BD'E'（点D、E分别与点D'，E'对应），如果点A，D'、E'在同一直线上，那么AE'的长为_____．
【答案】或
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当点D′在线段AE′上时，解直角三角形求出AD′，D′E′即可．如图2中，当E′在线段AD′上时，同法可得．
【详解】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，
∴，∴，∴DE＝，
∵∠AD′B＝90°，如图1中，当点D′在线段AE′上时，
'==
∵△BDE绕着点B旋转得到△BD'E'，∴D B DB
∴AD′＝，
又∵，∴AE′＝AD′+D′E′＝，
如图2中，当E′在线段AD′上时，同法可得AE′＝AD′﹣D′E′＝，
综上所述，满足条件的AE′的长为或．故答案为或．
【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题以及灵活运用所学的知识点，属于中考常考题型．
12．（2020·上海杨浦区·九年级二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____．
【答案】6或10
【分析】分情况解答：当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x，通过证明△PBE≌△QPF，得出PE＝QF＝x，DF＝x﹣1，由tan∠FDQ＝tan A＝＝，即可得出AP的值；当点Q落在AD上时，得出∠APB＝∠BPQ＝90°，由tan A＝，即可得出AP的值；当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．由tan A＝＝，可得出△BPQ是等腰直角三角形，此时求出BQ不满足题意，舍去.
【详解】解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．
设PE＝x．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，
∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，
∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，
∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，∴△PBE≌△QPF（AAS），∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，
∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，
∴tan∠FDQ＝tan A＝＝，∴＝，∴x＝4，∴PE＝4，∴AP＝6+4＝10；
如图2，当点Q落在AD上时，
∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠APB＝∠BPQ＝90°，
在Rt△APB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴AP＝6；
如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．
在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∴PF＝BE＝8，
∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF＝BF＝FQ＝8，
∴PB＝PQ＝8，BQ＝PB＝16＞15（不合题意舍去），
综上所述，AP的值是6或10，故答案为：6或10．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，由正切求边长，正确画出图形，分情况解答是解题的关键.
13．（2020·上海金山区·九年级二模）如图，已知在四边形ABCD中∠A=∠ABC=90°，点E是CD的中点，△ABD与△EBD关于直线BD对称，，．
（1）求点A和点E之间的距离；
（2）联结AC交BE于点F，求的值．
【答案】（1）AE= ；（2）
【分析】（1）连接AE交BD于H，根据△ABD与△EBD关于直线BD对称，得AE⊥BD，AH=HE，利
用勾股定理求出BD=2，利用
11
22
ABD
S AB AD BD AH
=⋅=⋅求出即可得到答案；
（2）根据∠A=90°，， BD=2求出∠ABD=30°，由△ABD与△EBD关于直线BD对称，得到∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，由点E是CD的中点，求出BC=BD=2，∠CBE=∠DBE=30°，求出∠M =30°，AM=3，利用AM∥BC，，即可求出.
【详解】（1）连接AE交BD于H，∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，
∴AE⊥BD，AH=HE，∵∠A=90°，，，∴BD=2，
∵
11
22
ABD
S AB AD BD AH
=⋅=⋅,∴，∴，∴AE=；
（2）延长AD、BE交于点M，∵∠A=90°，， BD=2，∴sin∠ABD=，∴∠ABD=30°，
∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，∴∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，
∵点E是CD的中点，∴BE垂直平分CD，∴BC=BD=2，∴∠CBE=∠DBE=30°，
∵∠A=∠ABC=90°，∴AD∥BC，∴∠M=∠CBE=30°，∴AM=，∵AM∥BC，
∴，∴.
【点睛】此题考查轴对称的性质，锐角三角函数，勾股定理，平行线的性质，线段垂直平分线的判定及性质.
14．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中
点的坐标为．
（1）求点的坐标及抛物线的表达式；
（2）记抛物线的顶点为，对称轴与线段的交点为，将线段绕点，按顺时针方向旋转，请判断旋转后点的对应点是否还在抛物线上，并说明理由；
（3）在轴上是否存在点，使与相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点的坐标（不必书写求解过程）．
【答案】（1），；（2）在抛物线上，理由见解析；（3）存在； 或或或
【分析】（1）根据轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，方向相反，可得点B 的坐标，用待定系数法求得函数解析式．
（2）求出直线BC 的解析式，计算得出线段PQ 的长度，过作平行于x 轴，交抛物线对称轴于点D ，根据旋转角度解直角三角形，得出的坐标，将的横坐标代入抛物线的解析式，计算并判断即可得出答案． （3）根据勾股定理可得出是直角三角形，根据相似三角形的性质分类讨论，得出点M 的坐标．
【详解】解：（1）∵A 、B 是关于直线轴对称图形的两点，点的坐标为，
∴点B 的横坐标为，∴点B 的坐标为；
将A 、B 两点坐标值代入可列方程组：，解得
∴抛物线的表达式为：．
（2）∵点P 为抛物线顶点，直线为抛物线的对称轴，
∴点P 的横坐标为-1，纵坐标为2223=(1)2(1)34y x x =--+---⨯-+=，∴点P 的坐标为， 直线BC 的解析式为，将B 、C 的值代入可列方程：，解得
∵BC 与对称轴交于点Q ，∴当，，∴点Q 的坐标为，
，∵是点P 绕点Q 顺时针旋转120°得到的，∴，
过作平行于x 轴，交抛物线对称轴于点D ，如图：
∵在Rt QDP '中，18012060P QD '∠=︒-︒=︒，，∴，，
∴点横坐标为点D 横坐标加，即：，点纵坐标为点Q 纵坐标减，即：，
将的横坐标值代入，，
∴的坐标符合抛物线表达式，∴在抛物线上．
（3）∵[]2
223(1)(04)20BP =---+-=，222(10)(43)2PC =--+-=，
222(30)(03)18BC =--+-=，20182=+，∴222BP PC BC =+，
∴是直角三角形，=90BCP ∠︒，，，
∵M 是x 轴上一点，90COM ∠=︒，若OCM CBP ∠=∠，则OCM CBP ∽，
∴，此时，点M 坐标为或，
若OCM CPB ∠=∠，则OCM CPB ∽，∴，
此时，点M 坐标为或，
∴综上，点M 存在，点坐标为 或或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理及相似三角形的性质，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．
15．（2011·上海静安区·中考模拟）如图（1），在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝，AB 与CE 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ．
（1）求证：CF ＝CH ；
（2）如图（2），△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE =时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）菱形，理由见解析
【分析】（1）要证明CF=CH ，可先证明△BCF ≌△ECH ，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD ，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH ；
（2）当旋转角∠BCD=45°，推出四边形ACDM 是平行四边形，由AC=CD 判断出四边形ACDM 是菱形．
【详解】（1）∵AC=CE=CB=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°，
在△BCF 和△ECH 中，∵,∴△BCF ≌△ECH （ASA ），∴CF=CH ；
（2）∠BCE=45°时，四边形ACDM 是菱形，理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠ACE=∠DCB=45°．∵∠E=45°，∴∠ACE =∠E ，
∴AC ∥DE ，∴∠AMH=180°-∠A=135°，又∵∠A=∠D=45°，∴∠AMH+∠D=135°
+45°=180， ∴AM ∥CD ，∴四边形ACDM 是平行四边形；∵AC=CD ，∴四边形ACDM 是菱形．
【点睛】本题考查的是旋转的性质以及菱形的判定、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．解题时注意：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 16．（2021·上海九年级专题练习）在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P 处，直角尺的两边分别交AB 、BC 于点E 、F ，连接EF(如图1).
(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).
①求证：△APB∽△DCP；
②求PC、BC的长.
(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：
① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由.
②设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.
【答案】(1)①证明见解析；②PC=2，BC=5；(2)①tan∠PEF的值不变；②x=或x=或x=.
【分析】（1）①由勾股定理求BP，利用互余关系证明△APB∽△DCP；②利用相似比求PC，DP, 再根据BC=AD=AP+DP即可求得BC的长；
（2）①tan∠PEF的值不变．理由为：过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形，同（1）的方法证明△APE∽△GFP，得相似比，再利用锐角三角函数的定义求值；②利用相似比求GP，再矩形性质求出BF，△PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：(Ⅰ) 当PB=PF时，根据BF=2AP求值；当BF=BP时，(Ⅱ)根据BP=求值；(Ⅲ) 当BF=PF时，根据PF=即可求出x值.
【详解】解：(1)①如图3.2，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，CD=AB=2，∴在Rt△ABC中，
∠1+∠2=90°，=又∵∠BPC=90°,
∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3. ∴△APB∽△DCP.
②由△APB∽△DCP.∴，即.∴PC=2，DP=4.∴BC=AD=AP+DP=5.
(2)①tan∠PEF的值不变.理由如下：
如图3.1，过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形.
∴∠A=∠PGF=90°，FG=AB=2，∴在Rt△APE中，∠1+∠2=90°，
又∵∠EPF=90°,∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3. ∴△APE∽△GFP，∴.
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=2.∴tan∠PEF的值不变.
②由△APE∽△GFP.∴.∴GP=2AE=2x，
∵四边形ABFG是矩形.∴BF=AG=AP+GP=2x+1.
△PBF 是等腰三角形，分三种情况讨论：(Ⅰ)当PB=PF 时，点P 在BF 的垂直平分线上.
∴ BF=2AP. 即2x+1=2，∴x=.
(Ⅱ)当BF=BP 时，BP=BP=，∴2x+1=.∴x=.
(Ⅲ)当BF=PF 时，∵PF=，∴(2x)2+22=(2x+1)2，∴x=.
【点睛】本题是综合题：熟练掌握线段垂直平分线的判定、矩形的性质和相似三角形的判定方法和性质；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系和计算线段的长；合理作平行线构建相似三角形是解决问题的关键．
17．（2021·上海九年级专题练习）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，tanD ＝2，点E 是射线CD 上一动点(不与点C 重合)，将△BCE 沿着BE 进行翻折，点C 的对应点记为点F ．
(1)如图1，当点F 落在梯形ABCD 的中位线MN 上时，求CE 的长.
(2)如图2，当点E 在线段CD 上时，设CE ＝x ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域.
(3)如图3，联结AC ，线段BF 与射线CA 交于点G ，当△CBG 是等腰三角形时，求CE 的长．
【答案】(1)；(2)(0＜x≤10)；(3)CE 的长为或 或．
【分析】(1)把BE 与MN 的交点记为点O ，根据折叠的性质以及梯形中位线定理，可判定△EFO 是等边三角形，即可得出∠FEB ＝60°，即∠CEB ＝60°，进一步在Rt △ECB 中，利用60°角的三角函数即可求出EC 的长；
(2)把BE 与CF 的交点记为点P ，根据BE 是CF 的垂直平分线，可得，易证△ECP ∽△CBP ，然后利用相似三角形的性质即可得出y 与x 之间的函数关系式；
(3)当△CBG 是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①GB ＝GC ；②CB ＝CG ；③BC ＝BG ，分别根据折叠的性质以及直角三角形的边角关系，求得CE 的长．
【详解】解：(1)把BE 与MN 的交点记为点O ，如图1，
∵梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，∴∠C ＝90°，由翻折得∠CEB ＝∠FEB ，∠EFB ＝∠C ＝90°， ∵MN 是梯形ABCD 的中位线，∴MN ∥AB ∥CD ，∴∠CEB ＝∠FOE ，，
∴∠FEB ＝∠FOE ，∴FE ＝FO ，∵∠EFB ＝90°，EO ＝BO ，∴FO ＝EO ，
∴FE ＝FO ＝EO ，∴△EFO 是等边三角形，∴∠FEB ＝60°，∴∠CEB ＝60°，
∴在Rt △ECB 中，
tan 60BC EC =
==︒
(2)把BE 与CF 的交点记为点P ，如图2，由翻折得，BE 是CF 的垂直平分线，
即∠EPC ＝∠BPC ＝90°，，∴S △EFC ＝2S △EPC ，S △BFC ＝2S △BPC ，∴，
∵∠ECP +∠BCP ＝90°，∠CBP +∠BCP ＝90°，∴∠ECP ＝∠CBP ，
又∵∠EPC ＝∠BPC ＝90°，∴△ECP ∽△CBP ，∴
∴(0＜x≤10)；
(3)当△CBG 是等腰三角形时，存在三种情况：①当GB ＝GC 时，延长BF 交CD 于点H ，如图3， ∵AB ＝6，BC ＝8，∠ABC ＝90°，∴AC ＝10，∵GB ＝GC ，∴∠GBC ＝∠GCB ，
∵∠HCB ＝90°，∴∠CHB +∠GBC ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠CAB +∠GCB ＝90°，
∴∠CHB ＝∠CAB ，∴4sin sin 5
CHB CAB ∠=∠=， ∵∠ABC ＝90°，∴∠ACB +∠CAB ＝90°，∠ABG +∠GBC ＝90°，
∴∠CAB ＝∠GBA ，∴GA ＝GB ，∴GA ＝GC ，
∵AB ∥CD ，∴，∴CH ＝AB ＝6，∵CE ＝x ，∴EF ＝x ，HE ＝6﹣x ，
∵∠HFE ＝90°，∴，解得，即；
②当CB ＝CG ＝8时，AG ＝10﹣8＝2，∵AB ∥CD ，∴，∴CH ＝4AB ＝24，
∵CE ＝x ，∴EF ＝x ，HE ＝24﹣x ，
∵∠HFE ＝∠HCB ＝90°，∴sin
24EF BC x CHB HE BH x ∠=
===-， 解得，即；
③当BC ＝BG 时，F 点与G 点重合，如备用图，由翻折可得，BE 垂直平分线段GC ，
∵∠CBE +∠BCA ＝90°＝∠CAB +∠BCA ，∴∠CBE ＝∠CAB ， ∴4tan tan 3
CBE CAB ∠=∠=
，∴，解得， 综上所述，CE 的长为或或．
【点睛】本题以梯形为载体，重点考查了梯形的中位线定理、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形和等腰三角形的分类问题，涉及的知识点多，综合性强，解题时需要综合运用所学知识，注意知识的前后联系，有意识的运用数形结合、转化、分类和方程等数学思想方法. 18．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴、y 轴分别交于点
A 、
B ，点
C 在线段AB 上，且2AOB AOC S S ∆∆=．
（1）求点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；
（2）将△AOC 沿x 轴翻折，当点C 的对应点C′恰好落在抛物线上时，求该抛物线的表达式；
（3）设点M 为（2）中所求抛物线上一点，当以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．
【答案】（1）（3，-2m ）；（2）；（3）或（或．
【分析】（1）令x=0，即可求得B 的纵坐标，令x=0求得x ，则A 、B 的坐标即可求得，根据2AOB AOC S S ∆∆=．可以得到C 是AB 的中点，据此即可求得C 的坐标.
（2）求得C 关于x 轴的对称点，代入抛物线的解析式，即可求得m 的值，进而求得抛物线解析式.
（3）分AO 是平行四边形的对角线，OC 是平行四边形的对角线，AC 是平行四边形的对角线三种情况进行讨论，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求解．
【详解】（1）在直线中，令x=0，解得：y=-4m ，则B 的坐标是（0，-4m ），
令y=0，解得：x=6，则A 的坐标是（6，0）．
∵2AOB AOC S S ∆∆=．∴C 是AB 的中点.∴C 的坐标是（3，-2m ）.
（2）∵将△AOC 沿x 轴翻折，点C 的对应点为C′，
∴C′的坐标是（3，2m ），
代入抛物线的解析式得：，解得：.
∴抛物线的解析式是：.
（3）设M 的坐标是（x ，y ），又C 的坐标是，
当AO 是对角线时，AO 的中点是（3，0），则解得：.
则M 的坐标是，满足函数的解析式.
当AC 是平行四边形的对角线时，AC 的中点是：，则M 的坐标是是抛物线上的点.
当OC 是平行四边形的对角线时，OC 的中点是，
则，解得：.则M 的坐标是．点是抛物线上的点．
综上所述，M 的坐标是：或（或．。