江苏省蒋王中学2019-2020学年上学期高三数学第6次月考试卷

蒋王中学高三数学试卷 2019 11 22
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．
1、已知集合{1,0,1},{0,,2}A B a =-=，若{1,0}A B =-，则a = ▲
2、若复数12(3i
z i i
+=
-为虚数单位）
，则z 的模为 ▲ 3、将函数()2sin 2f x x =的图象上没一点向右平移6
π
个单位，得到函数()y g x =的图象，
则()g x = ▲
4、“3x >”是“2320x x -+>”的 ▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）
5、函数)1(log )(42
1
--=
x x f 的定义域为 ▲
6、若变量x ，y 满足2
2390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，则22x y +的最大值是 ▲
7、已知函数21
10
()2(1)0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨
⎪-->⎩
，则不等式()1f x ≥-的解集是▲________． 8、已知等比数列{}n a 满足2
1
1=
a 且)1(4342-=a a a 则=5a ▲ . 9、设ABC ∆是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为 ▲
10、已知2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
0，，且(43)P ，是6
π
α-
终边上一点，则cos α的值是 ▲ ．
11、在平面直角坐标系xOy 中，过点()10P -，的直线l 与圆C ：2
2
20x y x +-=交于A ，
B 两点，若CA CB ⊥，则直线l 的斜率是 ▲ ．
12、已知平面向量,αβ满足1β=，且α与βα-的夹角为120，则α的模的取值范围是 ▲ ．
13．已知AB 是半径为3的圆M 的直径，点C 是圆周上除A ，B 外一点，若点P 满足
CM PC 2=，则PB PA ⋅的值是 ▲ ．
14．已知函数2
()()f x ax x b a b =+-，均为正数，不等式()0f x >的解集记为P ，集合
{}22Q x t x t =--<<-+．若对于任意正数t ，P Q ≠∅，则
11
a b
-的最大值是▲________
．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文．．．．．．．．．．．．．．．．．．字说明、证明或演算步骤．．．．．．．．．．．.． 15、(本小题满分14分)
己知向量)sin 2cos (sin θθθ-=，，)21(，= （1）若b a //，求
θ
θ
θ2
cos 31cos sin +⋅的值；
（2=，πθ<<0，求θ的值
16、（本小题满分14分）
设”
，：“2sin +≤∈∀a x R x P ，[]上有零点”，在区间：“11)(2
---=a x x x f q ,在区间［－1,1］上有零点”
（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）若p ∨q 为真命题，且p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围。

17、（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若531
32
S = ，求λ．
18、（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点为A ，过A
的直线交椭圆E 于另一点C ，直线AC 交y 点于点B （0，2
a ），且3AC BC =。

（1）求椭圆E 的离心率；
（2）若椭圆E 的焦距为2，P 为椭圆E 上一点，线段AP 的垂直平分线l 在y 轴上的截距为－1
4
（l 不与y 轴重合），求直线l 的方程。

19、(本题满分16分)
如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿倾斜角为α（其中tan α＝1
2）的斜
km 后到达D
km 到达山顶B ． （1）求山的高度BE ；
（2）现山顶处有一塔CB ＝38 km ．从A 到D 的登山途中，队员在
点P 处测得塔的视角为θ(∠CPB ＝θ)．若点P 处高度PF 为x km ，则x 为何值时，视角θ最大？
A
F
20、（本小题满分16分）
已知函数()()1
ln ,f x x g x ax b x
=-
=+． （1）若函数()()()h x f x g x =-在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若直线()g x ax b =+是函数()1
ln f x x x
=-图象的切线，求a b +的最小值； （3）当3b =-时，若直线()g x ax b =+是函数()1
ln f x x x
=-图象有两个交点，求实数a
的取值范围.
参考答案
1、-1 ，
2、
22，3、)3
2sin(2π
-x ，4、充分不必要，5、(]1,3，6、10，7、[－4，2]，8、8, 9、213+，10、43－310 ，11、±77 ，12、⎥⎦⎤ ⎝
⎛3320， ，13、72
，14、1
2 15
16.解：
(1)
p 为真命题，则max 2(sin )a x +≥,1a ∴≥-； .................. 4分
(2) ""p q ∨为真命题，""p q ∧为假命题,
则,p q 一真一假. .....................6分 若q 为真命题，则2
a x x =-在[1,1]x ∈-在有解，
又2
,[1,1]y x x x =-∈-的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，1
24
a ∴-≤≤ ............................8分
① p 真q 假,1,1
24a a a ≥-⎧⎪
⎨<->⎪⎩或
则1
21.4a a >-≤<-或
............................10分
② p 假q 真,1,1
24
a a <-⎧⎪
⎨-≤≤⎪⎩ 则a 无解 ....................................12分 综上，实数a 的取值范围是1
[1,)(2,)4
--+∞. ..............................14分
17、
18、17、（1）A （－a ，0），设C （x ，y ）， 因为3AC BC =，
所以，(,)3(,)2a
x a y x y +=-，解得：2a x =
，34a y =，所以，C （3,24
a a ）， 点C 在椭圆上，所以，有：22
19416a b +＝1，即224
3
a b =，
离心率：c e a ==＝12
（2）依题意，有：2c ＝2，所以，c ＝1，
又22a b =＋1，且2
2
43
a b =
，解得：24a =，2b ＝3， 所以，椭圆方程为：22
143
x y +=， 设AP 的中点为H （s ，t ），则2AP t k s =
+，故有2
l s k t
+=-，
19、【解】（1）法一：因为1tan
2α=，α是锐角，所以sin α=cos α 所以πcos cos()4BAD α∠=-ππcos cos sin sin 44
αα=+
= ……2分
在ABD ∆中，过D 作DM AB ⊥，垂足为M .
因为AD BD ==
所以22cos AB AM AD BAD ==∠= ……4分 在ABE ∆中，=cos453BE AB =.
所以山的高度为3 km. ……6分 法二：过D 作DG AE ⊥于点G ，过D 作DH BE ⊥于点H ，
在ADG ∆中，=DAG α∠，1tan
2α=，所以sin α=cos α=，
所以sin 1
DG AD α==，cos 2AG AD α==. ……2分
设BE h =，在直角BDH ∆中，1,2BH h DH h =-=-，
由于222
BD BH DH =+，所以
()()2
22
=12h h -+-， ……4分
因为0h >，所以3h =.
所以山的高度为3 km. ……6分
A
B
C F G
H M
（2）过P 作PM BE ⊥于M ，因为PF x =，所以2AF x =，
因为P 在AD 上，1DG =，所以[]0,1x ∈， ……8分 所以3tan =32BM x BPM PM x
-∠=-，
327388
tan 3232x x CM CPM PM x x +--∠===--， ……10分 所以tan tan tan tan()1tan tan CPM BPM CPM BPM CPM BPM
θ∠-∠=∠-∠=+∠∠
27338323282727()(3)
388
1(32)323232x
x
x x x x x x x x x x
-----==
----+⨯-+---，[]0,1x ∈，……12分 令[]321,3t x =-∈，所以32
t x -=，
则tan θ3
8153()()8222
t t t t
=+++()
6
95427t t =
++229
=， 当且仅当94t t =，即[]31,32
t =∈时，即34x =时tan θ取得最大值229.
所以，当34
x =km 时，视角θ最大. ……16分 20
、
解
：（
1
）
由
()()1
l n ,
f
x x g x a x b
x =
-=+，得1
()
()
()=l n h x f x g x x a
x
b
x
=----，则 211
'()h x a x x
=
+-，
因为()h x 在()0,+∞上单调递增，所以，()0,x ∀∈+∞，2
11
'()0h x a x x =+-≥，……2分
即()0,x ∀∈+∞，211a x x ≤
+，令21
,(),0t H t t t t x
==+>，2()H t t t =+在()0,+∞上单调递增，且()H t 能取到()0,+∞上一切实数，所以0a ≤，故实数a 的取值范围为
(,0]-∞．……4分
（2）设切点为0001,ln x x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，则切线方程为()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
--=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 因为直线()g x ax b =+是函数()1
ln f x x x
=-图象的切线，
所以20011a x x =+，00000111ln ln ax b x x x x +=-=--，所以00
12ln 1b x x =---，……
6分
令
()0
1
0u u x =>， ()2ln 1a b u u u u ϕ+==-+--，则 ()()()2211121'21u u u u u u u u u
ϕ+---=-+-== 当()0,1u ∈时，()'0u ϕ<，()u ϕ在()0,1上单调递减；当()1,+u ∈∞时，()'0u ϕ>，
()u ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()1=1a b u ϕϕ+=≥-．
所以a b +的最小值为1-．………………8分
（3）当3b =-时，令1
()l n 3F x x a x x
=--+，则222111'()=ax x F x a x x x -++=+-．
当0a ≤时，'()0F x >，()F x 在()0,+∞上单调递增，()F x 在()0,+∞上至多一个零
点，…10分
故0a >．令方程2
1=0ax x -++的大根为0x ，则20010ax x -++=．
当()00,x x ∈时，'()0F x >，()F x 在()00,x 上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，'()0F x <，()F x 在()0,x +∞上单调递减． 因
为
()
F x 在
()
0,+∞上有两个零点，所以
000000
12
()ln 3=ln +20F x x ax x x x =--+->，
解得01x >（构造函数2
()ln 2G x x x
=-+，根据单调性求解），
所以()200
11
0,2a x x =
+∈．…………12分 取
()
0100x x e x -=∈，，则
()
0000000()330x x x x x F e x e ae x e ae ---=---+=--+-<，
根据零点存在性定理，()F x 在()00,x 上至少有一个零点，又()F x 在()00,x 上单调递增，
所以()F x 在()00,x 上只有一个零点．………14分
同理，()F x 在()0,x +∞上只有一个零点． 综上，实数a 的取值范围为()0,2.………………16分。