空间向量与平行关系课件

(3)空间直线的向量表达式的两点作用: ①定位置:点A和向量a可以确定直线的_位__置__; ②定点:可以具体表示出l上的任意_一__点__. 3.向量a为平面α的法向量应满足的两个条件 (1)向量a表示直线l的_方__向__向__量__; (2)直线l_⊥__平面α.
4.用向量描述空间平行关系 设空间两条直线l,m的方向向量分别为a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),两个平面α,β的法向量分别为u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3),则有如下结论
则
m
AN
0，
m NM 0，
所以
a 2
x1
0
y1
az1
0，
a 2
x1
a 2
y1
0
z1
0，
所以y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，
所以平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2，1)．
同理由
n n
DB DF
可00，，得x2＝－y2，y2＝－2z2.
令z2＝1，
所以平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2，1)．
2.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表 示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
3.证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1=(a1,b1,c1),平面β的法向量为 n2=(a2,b2,c2),则α//β⇔n1∥n2⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) (k∈R).
位置关系 向量关系 向量运算关系
l∥m
_a_∥__b_ _a_=_k_b_,_k_∈__R_
l∥α
_a_⊥__u_
__a_·u_=_0__
α∥β _u_∥__v_ u=kv,k∈R
坐标关系 a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3
_a_1_u_1+_a_2_u_2_+_a_3u_3_=_0_ u1=kv1,u2=kv2,u3=kv3
因为m＝n，所以m∥n，
所以平面AMN∥平面EFDB.
【延伸探究】若把题(1)中的条件“直线l上有一点P不在平面 α内”去掉，则结果如何？ 【解析】因为直线l上有一点P不在平面α内说明了直线在平面 外，若没有这个条件则直线也有可能在平面内所以l∥α或l⊂α.
【方法技巧】 1.向量法处理空间平行问题的两个应用 (1)求字母的值：通过线线、线面、面面平行转化为向量的共 线、垂直的关系，再利用向量关系构造关于字母的等量关系， 进而求出字母的值. (2)求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关 系，写出对应向量，利用空间中点、线、面的位置关系，转化 为向量的位置关系，进而建立与所求点的坐标有关的等式.
类型二 利用空间向量证明空间平行问题
【典例2】
(1)已知直线l的方向向量为u=(2,0,-1),且直线l上有一点P不在
平面α内,平面α的一个法向量为v=(-2,1,-4),则l与α的位置
关系为
.
(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点. 求证:平面AMN∥平面EFDB.
所以 N(a ，0，a)，M(a，a ，a)，
2
2
E( a ，a，a)，F(0，a ，a)，
2
2
所以 AN＝( a ，0，a)，
2
NM＝(a ，a ，0)， 22
DB＝a，a，0，
DF＝(0，a ，a)． 2
设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为
m=(x1,y1,z1)和n=(x2,y2,z2),
【微思考】 (1)若点A为定点，向量a为给定向量，对任给实数t，有 AP ＝ ta，那么点P的轨迹是什么？ 提示：点P的轨迹是过A平行于向量a的一条直线．
(2)已知两定点A，B，点M满足 OM＝1 OA OB ，试确定点M的 2
位置．
提示：因为 2OM＝OA所以OB， OM 所O以A＝OB OM， AM＝M因B此. 点M为线段AB的中点．
知识点1 点、直线、平面位置的向量表示 1.点、直线、平面位置确定的关键 (1)确定点:用向量确定空间中的任意一个点,关键是确定一个 基点. (2)确定直线:用向量确定一条直线,关键是确定一个点和一个 方向向量.
(3)确定平面: ①一个定点两个向量:用向量确定一个平面,关键是理解平面向 量基本定理,即存在有序实数对(x,y)使得 OP =xa+yb,这样点O 与向量a,b不仅能确定一个平面,而且还能具体表示出平面内的 一个点. ②一个点一个向量:给定一个点和一个向量,过这个点,以这个 向量为法向量的平面惟一确定.
【解题探究】1.题(1)中两条直线平行,两条直线对应的方向向 量关系如何? 2.题(2)中直线AD与平面SAB是否垂直,其方向向量能否作为平 面SAB的法向量,平面SCD的法向量所在的直线与直线DC,DS 是否垂直?
【探究提示】1.若两条直线平行则两条直线的方向向量共线,其 坐标对应成比例. 2.直线AD与平面SAB垂直,直线AD的方向向量可以作为平面 SAB的法向量;平面SCD的法向量所在的直线与直线DC,DS垂 直.
【解题探究】1.题(1)中直线l上有一点P不在平面α内,则直线与 平面的位置关系怎样?向量u与v共线还是垂直? 2.题(2)中依据正方体的特点如何建立空间直角坐标系才能使尽 可能多的点落在坐标轴或坐标面上?
【探究提示】1.因为直线l上有一点P不在平面α内,则直线在平 面外;向量u与v的数量积为0,故两向量垂直. 2.分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐 标系.可使大部分点落到坐标轴或坐标面上.
【自主解答】(1)因为l1∥l2，所以
7 ＝ 3 ＝ 4， x y8
所以x＝-14，y＝6.
答案：-14 6
(2)A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)．
因为AD⊥平面SAB，所以AD ＝(1，0，0)是平面SAB的一个法 向量．
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，
(3)在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只 有两个方程，如何求法向量？ 提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解， 即可作为法向量的坐标．
【即时练】
若a=(1,2,3)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面
α的法向量的是( )
A.(0,1,2)
B.(3,6,9)
【题型示范】
类型一 求直线的方向向量、平面的法向量
【典例1】
(1)已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向
向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=
,y=
.
(2)四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.在如图所示的坐标系Axyz中,分别求平 面SCD和平面SAB的一个法向量.
【即时练】 根据下列条件,判断相应的平面与平面、直线与平面的位置关 系. (1)空间两平面α,β的法向量分别为u=(1,3,6),v=(-2,-6, -12). (2)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a=(3,2,1), v=(1,-2,1).
【解析】(1)因为u=(1,3,6),v=(-2,-6,-12), 所以v=-2(1,3,6)=-2u,所以u∥v,所以α∥β. (2)因为a=(3,2,1),v=(1,-2,1), 所以a·v=3-4+1=0,a⊥v,所以l⊂α或l∥α.
空间向量与平行关系
1.点的位置向量 (1)基点:在空间中,我们取一定点O作为基点. (2)向量表示:空间中任意一点P的位置可以用_向 __量__O_P__来表示. 我们把_向__量_O__P__称为点P的位置向量.
2.用向量表示空间直线 (1)确定空间直线l位置的两个条件: ①直线l上一个_定__点__A_;②一个_定__方__向__. (2)向量表达式:点A是直线l上的一个点,向量a表示直线l的方向 向量,在直线l上取 AB =a,那么对于直线l上任意一点P,一定存在 实数t,使得 AP =_t_A_B__.
C.(-1,-2,3)
D.(3,6,8)
【解析】选B.因为a=(1,2,3),(3,6,9)=3(1,2,3)=3a,所以向量

(3,6,9)能作为平面α的法向量.
知识点2 用向量法解决空间中的平行问题 空间中平行问题的确定策略 (1)直线与直线平行:关键看直线的方向向量是否共线. (2)直线与平面平行:关键看直线的方向向量与平面的法向量是 否垂直;或者看直线的方向向量与平面内的直线的方向向量是 否共线.特别要强调直线在平面外. (3)平面与平面平行:关键看两平面的法向量是否共线.
则n·DC＝(1，y，z)·(1，2，0)＝1＋2y＝0，所以y＝－1 .
2
又n·DS＝(1，y，z)·(－1，0，2)＝－1＋2z＝0，所以z＝12 . 所以n＝ (1，－1，1) 即为平面SCD的一个法向量.
22
【方法技巧】 1.利用待定系数法求平面法向量的步骤
2.求平面法向量的三个注意点 (1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量. (2)取特值:在求n的坐标时,可令x,y,z中一个为一特殊值得另两 个值,就是平面的一个法向量. (3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时 一定要注意这个坐标不为0.
【知识拓展】利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤 (1)适当地选取基底{a,b,c},一般情况下要知道a,b,c的长度和两 向量的夹角. (2)用a,b,c表示已知条件和明确需要解决的问题,将立体几何问 题转化为空间向量问题. (3)根据具体问题的要求通过空间向量的运算进行计算和证明.
【微思考】 (1)空间两向量的平行与空间两直线的平行含义相同吗? 提示:空间两向量平行与空间两直线平行是不同的,直线平行是 不允许重合的,而两向量平行,它们所在的直线可以平行也可以 重合. (2)若两平面平行,则其中一个平面内的任一条直线的方向向量 a=(a1,a2,a3)与另一平面的法向量b=(b1,b2,b3)的关系是什么? 提示:两向量的关系为垂直,即a⊥b⇒(a1,a2,a3)·(b1,b2,b3)=0 ⇒a1·b1+a2·b2+a3·b3=0.
【自主解答】(1)因为u·v=(2,0,-1)·(-2,1,-4)=-4+0+4=0,所 以u⊥v,又因为直线l上有一点P不在平面α内,所以l∥α. 答案:l∥α
(2)如图,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间 直角坐标系.设正方体棱长为a,则A(a,0,0),A1(a,0,a), D1(0,0,a),B1(a,a,a),B(a,a,0),C1(0,a,a).
2.对直线方向向量的三点说明 (1)方向向量的选取:在直线上任取两点P,Q,可得到直线的一个 方向向量 PQ. (2)方向向量的不惟一性:直线的方向向量不是惟一的,可以分 为方向相同和相反两类,它们都是共线向量.解题时,可以选取 坐标最简的方向向量. (3)非零性:直线的方向向量是非零向量.
3.对平面法向量的两点说明 (1)平面法向量的选取:平面α的一个法向量垂直于与平面α共 面的所有向量.即只需作一条垂直于平面的直线,选取该直线的 方向向量. (2)平面法向量的不惟一性:一个平面的法向量不是惟一的,一 个平面的所有法向量共线.在应用时,可以根据需要进行选取.