弹塑性力学第三章

10.05.2021
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§3-2 应变张量和转动张量
2.1 相对位移矢量和相对位移张量
PQ 平 移P'Q'' 伸 长 ＋ 转 P'Q 动 '
Q ''Q ' d u d r ' d r x3
dr
Q
u+du
——相对位移矢量
P
P
u
r
o
x2
x1
Q’’ Q’
P’
P’
dr
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过二阶张量的坐标转换式求出它们。
即：
' ij
Qi'kQ
j'l
kl
i'j Qi'kQ j'l kl
Q i'k e i'e k Q k' i
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§3-4主应变、应变方向应变张量的三 个不变量
确定一点的主应变和应变主方向方法与 求主应力和应力主方向的方法完全一致，求 主应变的方程
2. 将直角坐标系绕x3轴转动角，求新坐标系 应变分量的转换关系。
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作业：
3. 假定体积不可压缩，位移 u1(x1,x2) 与
u2(x1,x2) 很小， u3=0。在一定区域内已知
u1=c(1-x22)(a+bx1+cx12) ,其中a、b、c为 常数，且12=0，求 u2(x1,x2)。
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
在本章第二节中我们讨论了一点的应变 张量，它包含了一点的变形信息，应变张量
与位移微分关系称为几何方程（共六个）。 u 如果已知变形体的位移 状态， 则由这六
个方程直接求出应变张量，但反之由六个独
立的任意 ij求ui不行。
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233(122331 )
x1x2 x3 x3 x1 x2
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
用指标符号表示：
0 ij,kl kl,ij ik,jl jl,ik
或
e e mijnklik,jl 0
用张量表示：
0
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
以在平面x1 —x2的两个垂直线段PQ、PR 的相对位移来说明并直观看一下ij，ij二阶张
量表示了形变和刚体转动。
x2
R
dx2=1
P
Q
dx1=1
x1
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§3-2 应变张量和转动张量
x2 R
dx2=1
x2 u2 ,1 u2 ,2 R’’ R’
u 1,1 u 1,2 u 2 ,1 u 2 ,2
令
U u i,je iej U ie jiej
为一个二阶张量——相对位移张量
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§3-2 应变张量和转动张量
2.2 应变张量和转动张量
相对位移张量 ui,j 包含了变形和刚体转动， 为了将两者分开，对 ui,j 进行整理，张量分成 对称和反对称张量之和。
U ij u i,j1 2 (u i,j u j,i) 1 2 (u i,j u j,i)
结论：
应变张量 ij 满足变形协调方程是保证
单连域的位移单值连续解存在的必要和充 分条件。
对于复连域还需附加补充条件——位移单值 条件。 单连域：变形体内的任何一条封闭线当缩小时 均能变为一点，当不满足时为多连域。
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
对于多连域附加补
充条件办法为：
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§3-1 位移和（工程）应变
1.1位移
x3
P
P
u
P’
o r x2
x1
变形体任意点P的位移矢量 uuiei
u有三个分量。
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§3-1 位移和（工程）应变
1.2 (工程)应变
工程应变是通常工程中描述物体局部几何 变化，分为正应变和剪应变。
夹角的l l，改（变角量变。形）＝两微元线段 （工程）正应变：11、22、33 ， （工程）剪应变：12=xy、23=yz、31=zx
x1x3 x1x2 x1x2 x2x3 x2x3 x1x3 2 x2x3
211(233112 )
x2x3 x1 x1 x2 x3
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
211(233112 )
x2x3 x1 x1 x2 x3
222(311223 )
x3x1 x2 x2 x3 x1
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
ij 1 2(ui,j uj,i)
移因是为无ij法仅确包定含的形，变因，此由，其位求移出u位无移法时确，定刚。体位
ij 分量之间必须满足一定的条件（方程），才 能由几何方程积分求出单值连续的位移场ui、
ij的分量必须满足的方程称为变形协调方程
或相容方程。
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§3-2 应变张量和转动张量
2. 1 相u 对位移u矢ie 量i和相对位移张量
du ei
ui x j
dxj
——（ a）
而
r xjej drdjxej
djxejdr——(b)
将（b）式代入（a）式，得
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§3-2 应变张量和转动张量
duui,jeiejdr
根据商法则 duUdr
4. 试分析以下工程应变状态能否存在
（1）11=k(x12+x22) x3 , 22=kx22x3 , 33=0
12=2k x1 x2 x3, 23= 13=0
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作业：
(2) 11=k(x12+x22) , 22=kx22 , 33=0, 12=2kx1x2, 23= 13=0
(3) 11=ax1x22 , 22=ax12x2 , 33= ax1x2, 12=0, 23= ax32+bx2, 13=ax12+bx22 其中k、a、b为常数。
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dx2=1
相对位移
Q’
P’
Q’’
u1 ,2 x1
dx1=1 u1 ,1
Q P dx1=1
x1
u1、u2
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§3-2 应变张量和转动张量
x2
22=u2 ,2 21= (u2 ,1 +u1 ,2 )/ 2
(+)/2
+
x1
12=(u1 ,2 +u2 ,1 ) /2 11=u1 ,1
x2
21=(u2 ,1 -u1 ,2 ) /2
12= (u1 ,2 -u2 ,1 ) /2
x1
11，12= 21，22 纯变形 12= -21 纯转动
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§2.33-转2 动应张变量的张对量偶和矢转量动张量
于一由个纯沿刚x体3 轴转方动向可的见转，动矢12=量-321e，3，正方好向相当e3
或 Uijui,j ijij
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§3-2 应变张量和转动张量
其中
ij
1 2
(ui,
j
uj,i )
ij 12(ui, j uj,i)
ij = ji（对称张量）， ij = -ji （反对称张量）
而 ij 表示变形体的形变，ij 表示了刚体转动。
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§3-2 应变张量和转动张量
为 ，其大小 3:
31 2(1 2 2)1 1 2(e 1213 2e 212 3 )1
类似可得，其它两个坐标平面转动矢量，
2e2
1e1
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§3-2 应变张量和转动张量
综合三个坐标面的转动矢量 ：
kek 12eij kijek
为转动张量的对偶矢量。
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§3-1 位移和（工程）应变
工程应变共有六个分量：
三个正应变，正应变以伸长为正，
三个剪应变，剪应变以使直角变小为正。
x3
dx1
dx2
x3
dx3 P
x1
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x2
22dx2
P x1
x2
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§3-2 应变张量和转动张量
应变张量和转动张量是描述一点变形 和刚体转动的两个非常重要的物理量，本 节将讨论一下它们与位移之间关系，在讨 论之前，先介绍一下相对位移矢量和张量.
22
§3-5 变形协调条件（相容条件）
变形协调方程共有六个，可由几何方程直 接导出。即：
2x22112x12222x221x21
11
u1 x1
22u2 x2来自1212(xu21
u2) x1
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
2x32222x22332x222x33
22
u2 x2
假想通过适当截断，
a
使域为单连域.
u - u+ b
在截断面 ab 两侧 u+i = u -i即为补充条件。
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作业：
1. 给定位移分量 u1= cx1(x2+x3)2, u2=cx2(x1+x3)2,u3=cx3(x1+x2)2
此处c为一个很小的常数，求应变张量ij 和转 动张量 ij 。
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§3-2 应变张量和转动张量
比较工程应变定义和应变张量，可得：
11 12 13 11 212 213 21 22 23221 22 223 31 32 33 231 232 33
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§3-3 应变张量和转动张量的坐 标变换式
在 xk 坐标系中，已知变形体内任一点应 变张量 kl 和转动张量 kl ，则在新笛卡尔坐 标系x’i中此点应变张量’ij和 ’ij 均可以通
3 Ⅰ 2 Ⅱ Ⅲ 0
解出1、2、3 （实根）
、Ⅱ、Ⅲ
分别为应变张量的三个不变量。
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§3-4 主应变、应变方向应变张量的三个不
变量
Ⅰ ＝ 1 1 2 2 3 3 1 2 3 e
——体积应变
Ⅱ ＝ 1 22331
Ⅲ 123
当 1 2 3 时（三个主应变不相等）， 三个主方向相互垂直。
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u3 x3
23
1(u3 2 x2
u2 x3
)
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
2x12332x32112x233x11
33
u3 x3
22
u2 x2
31
1(u3 2 x1
u1 x3
)
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
233112
x1 x2 x3 (2u2 2u3 2u3 2u1 2u1 2u2 )12u1