中考数学总复习 第二单元 方程(组)与不等式(组)第08课时 一元二次方程课件

2
1
1
1
2
x2,则 + 的值是 (
A.1
B.2
)
C.-
4
∴c=1,2,3,4,5,6.
2.C
3
4
D.-
4
3
[解析] 依题得:x1+x2=3,x1·x2=-4,
1
1
1 + 2
1
2
1 · 2
所以 + =
3
3
-4
4
= =- .
高频考向探究
探究四 一元二次方程的应用
例 4 为进一步发展基础教育,自 2015 年以来,某县加大了教育经费的投入,2015 年该县投入教育经费 6000
UNIT TWO
第二单元
第 8 课时 一元二次方程
方程(组)与不等式(组)
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 一元二次方程及其解法
2
1.一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程.一般形式:① ax +bx+c=0(a≠0) .
注:在一元二次方程的一般形式中要强调 a≠0.
课前双基巩固
答:每件商品的售价应定为 22 元,需要
卖出这种商品 100 件.
当堂效果检测
1.如图 8-2,某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m 的矩形 ABCD
空地上修建三条同样宽的通道,使其中两条与 AB 平行,另一条与
AD 平行,其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为 78 m2,那
么通道的宽应设计成多少米?设通道的宽为 x m,由题意列得方
C.x1=1,x2=-3
D.x1=0,x2=3
3.[2018·昆明 8 题] 关于 x 的一元二次方程 x2-2 3x+m=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是
( A )
A.m<3
B.m>3
C.m≤3
D.m≥3
4.若关于 x 的一元二次方程的两根为 x1=1,x2=2,则这个方程是( B )
2
一元二次方程 ax2+bx+c=0,且 b2-4ac≥0 时,x=②
将方程的一边化为 0,另一边分解因式,得(ax+b)x=0 或(ax+b)(cx+d)=0,则

③
x1=- ,x2=0

或④



x1=- ,x2=- Nhomakorabea.
课前双基巩固
考点二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系*
2
1.根的判别式:关于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为 Δ=⑤ b -4ac .
(a-18)(320-10a)=400,整理得
部门限定每件商品加价不能超过进价的 25%,若商店要想获
a2-50a+616=0,a1=22,a2=28.
得 400 元利润,则售价应定为每件多少元?需售出这种商品多
∵18×(1+25%)=22.5,而 28>22.5,
少件?
∴a=22.卖出商品的件数
320-10×22=100(件).
A.x2+3x-2=0
B.x2-3x+2=0
C.x2-2x+3=0
D.x2+3x+2=0
当堂效果检测
5.[2018·宜宾] 一元二次方程 x2-2x=0 的两根分别为 x1 和 x2,则
A.144(1-x)2=100
B.100(1-x)2=144
C.144(1+x)2=100
D.100(1+x)2=144
高频考向探究
2.[2018·曲靖罗平县模拟] 某商店从厂家以每件 18 元购进一
解:当每件商品的售价定为 a 元时,
批商品出售,若每件售价为 a 元,则可售出(320-10a)件,但物价
)
A.4
B.-4
的关系可知,x1+x2=-b,x1x2=-3,
C.3
D.-3
又因为 x1+x2-3x1x2=5,代入可得
[方法模型] 应用一元二次方程根与系数的关系时,注意整体
思想的应用,以及“Δ≥0”这一隐含条件.
-b-3×(-3)=5,解得 b=4,故选 A.
高频考向探究
针对训练
[答案] 1.4(答案不唯一)
A.x=2
B.x=4
C.x1=2,x2=-2
D.x1=4,x2=-4
3.用配方法解一元二次方程 x2-6x-10=0 时,下列变形正确的为( D )
A.(x+3)2=1
B.(x-3)2=1
C.(x+3)2=19
D.(x-3)2=19
课前双基巩固
4.方程 x2-2x+3=0 的根的情况是( C )
A.有两个相等的实数根
1.[2015·曲靖 14 题] 一元二次方程 x2-5x+c=0 有两个不相等的
[解析] ∵一元二次方程 x2-5x+c=0 有
实数根且两根之积为正数,若 c 是整数,则 c=
两个不相等的实数根∴Δ=(-5)2-4c>0,
(只需填一
个).
25
解得 c< ,∵x1x2=c>0,c 是整数,
2.[2018·曲靖罗平县模拟] 若方程 x -3x-4=0 的两根分别为 x1 和
2.一元二次方程的四种解法:
直接开平方法
适合于 x2=a(a≥0)或(x+m)2=b(b≥0)形式的方程
①化二次项系数为 1;②把常数项移到方程的另一边;③在方程两边同时加上
配方法
一次项系数一半的平方;④把方程整理成(x+a)2=b 的形式;⑤运用直接开平方
法解方程
公式法
因式分解法
- ± 2 -4
[方法模型] 求解此类实际应用问题,需注意两点:一是验根,检验是否符合实际意义;二是注意在设未知
数和答中要带单位.
高频考向探究
针对训练
1.[2014·昆明 6 题] 某果园 2011 年水果产量为 100 吨,2013 年水果产量为 144 吨,求该果园水果产量的年
平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为 x,则根据题意可列方程为( D )
解得:x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去),
答:该县投入教育经费的年平均增长率为 20%;
高频考向探究
例 4 为进一步发展基础教育,自 2015 年以来,某县加大了教育经费的投入,2015 年该县投入教育经费 6000
万元,2017 年投入教育经费 8640 万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.
万元,2017 年投入教育经费 8640 万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.
(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率;
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算 2018 年该县投入教育经费多少万元.
解:(1)设该县投入教育经费的年平均增长率为 x,根据题意得:6000(1+x)2=8640,
B.只有一个实数根
C.没有实数根
D.有两个不相等的实数根
5.某公司 9 月份利润为 100 万元,要使 11 月份的利润达到 144 万元,则平均每月增长的百分率为( B )
A.10%
B.20%
C.22%
D.25%
高频考向探究
探究一 一元二次方程的解法
例 1 [2017·滨州] (1)根据要求,解答下列问题:
次方程与二次函数的图象关系进行判断.
解法一:整理得 x2-4x+2=0,解得:x1=2+ 2;x2=2- 2,故选 D.
解法二:设 y1=(x+1)(x-3),y2=2x-5,画出草图(如图).二次函数与一次函数图象的交点所对应的横坐标即为方
程的根,故选 D.
高频考向探究
探究二 一元二次方程根的判别式
程
.
[答案] (30-2x)(20-x)=6×78
[解析] 将 6 块草地平移为一个矩形,
长为(30-2x)m,宽为(20-x)m.根据矩形
面积公式即可列方程
(30-2x)(20-x)=6×78.
图8-2
当堂效果检测
2.一元二次方程 x2-3x=0 的根是( D )
A.x1=0,x2=-3
B.x1=1,x2=3
x1=0,x2=1
.
高频考向探究
2.[2018·泰安] 一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5 根的情况是(
A.无实数根
B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于 3
D.有两个正根,且有一根大于 3
)
高频考向探究
[答案] D
[解析] 一是可以利用一元二次方程的求根公式进行计算,再根据结果进行各项判断;二是可以利用一元二
例 2 [2018·成都] 若关于 x 的一元二次方程 x2-(2a+1)x+a2=0
有两个不相等的实数根,求 a 的取值范围.
[方法模型] 应用一元二次方程根的判别式时,注意确保方程的
二次项系数不为 0;求判别式之前先将方程化为一般式.
解:由题意知,
Δ=[-(2a+1)]2-4×1×a2=(2a+1)2-4a2
考点三 一元二次方程的应用
常见应用类型及其等量关系:
增长率
问题
利润问题
(1)增长率=增量÷基础量×100%;
(2)设 a 为原来的量,m 为平均增长率,n 为增长次数,b 为增长后的量,则
a(1+m)n=b;当 m 为平均下降率时,则有 a(1-m)n=b
利润=售价-
进价
利润
,利润率=
进价
×100%,利润=进价×
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算 2018 年该县投入教育经费多少万元.
(2)因为 2017 年该县投入教育经费为 8640 万元,且年平均增长率为 20%,
所以 2018 年该县投入教育经费为 8640×(1+0.2)=10368(万元),
答:预算 2018 年该县投入教育经费 10368 万元.
解:(1)①x1=x2=1;②x1=1,x2=2;
①方程 x2-2x+1=0 的解为
;
③x1=1,x2=3.
②方程 x2-3x+2=0 的解为
;
③方程 x2-4x+3=0 的解为
;
…
(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:
①方程 x2-9x+8=0 的解为
②关于 x 的方程
;
的解为 x1=1,x2=n.
;
的解为 x1=1,x2=n.
(3)请用配方法解方程 x2-9x+8=0,以验证猜想结论的正确性.
81
81
4
4
x2-9x+ =-8+ ,
9 2 49
= ,
2
4
9
7
x-
∴x- =± .∴x1=1,x2=8.
2
2
所以猜想正确.
高频考向探究
针对训练
1.[2018·淮安] —元二次方程 x2-x=0 的根是
[解析] 由 Δ=42-4a×(-2)≥0,得 a≥-2,
∴不小于-2 的负整数均可.
2
(
)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
2.B [解析] 在方程 x2-4x+4=0
中,Δ=(-4)2-4×1×4=0,∴该方程有两个
相等的实数根.故选 B.
高频考向探究
3.[2016·云南 5 题] 如果关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+a+2=0
=4a+1.
∵方程有两个不相等的实数根,
1
∴Δ>0,即 4a+1>0,解得 a>- .
4
高频考向探究
针对训练
1.[2018·曲靖 12 题] 关于 x 的方程 ax +4x-2=0(a≠0)有实数根,
[答案] 1.-1(答案不唯一)
2
那么负整数 a=
(填一个即可).
2.[2016·昆明 9 题] 一元二次方程 x -4x+4=0 的根的情况是
C.5x2-4x-1=0
D.3x2-4x+1=0
解得 a=-1 或 2.
4.A
高频考向探究
探究三 一元二次方程根与系数的关系
例 3 [2018·遵义] 已知 x1,x2 是关于 x 的方程 x2+bx-3=0 的两
[答案] A
根,且满足 x1+x2-3x1x2=5,那么 b 的值为(
[解析] 由一元二次方程根与系数
[答案] 3.2 或-1
有两个相等的实数根,那么实数 a 的值为
[解析] ∵关于 x 的一元二次方程
.
4.[2015·云南 6 题] 下列一元二次方程中,没有实数根的是(
)
x2+2ax+a+2=0 有两个相等的实数根,
A.4x2-5x+2=0
B.x2-6x+9=0
∴Δ=0,即 4a2-4(a+2)=0,
(1)Δ>0⇔方程有⑥ 两个不相等 的实数根;
(2)Δ=0⇔方程有⑦ 两个相等
(3)Δ<0⇔方程⑧ 没有
有
(4)Δ≥0⇔方程⑨
*
的实数根;
实数根;
实数根.
2
2.根与系数的关系 :如果一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两根为 x1,x2,那么 x1+x2=⑩

x1x2=
.

-


,
课前双基巩固
1
面积
矩形的面积=长×宽, 三角形的面积= ×底×
问题
圆的面积=πr2, 梯形的面积= (
2
1
2
上底
+
高
下底
,
)×高
利润率
课前双基巩固
对点演练
1.若关于 x 的方程(m-1)x2+mx-1=0 是一元二次方程,则 m 的取值范围是( A )
A.m≠1
B.m=1
C.m≥1
D.m≠0
2.一元二次方程 x2-16=0 的根是( D )
(3)请用配方法解方程 x2-9x+8=0,以验证猜想结论的正确性.
高频考向探究
例 1 [2017·滨州](2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:
解:(2)①x1=1,x2=8;②x2-(1+n)x+n=0.
①方程 x2-9x+8=0 的解为
(3)x2-9x+8=0,x2-9x=-8,
②关于 x 的方程