2021-2022数学北师大版选修1-1 第四章1.2 函数的极值 课件(43张)

π
π，3π 2
3π 2
32π，2π
f′ ＋ (x)
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值 π＋2
↘
极小值 3π 2
↗
由上表知 f(x)的极小值为 f32π＝3π 2 ，极大值为 f(π)＝π＋2.
(2)f′(x)＝x23＋23(x－1)x－13＝5x－1 2， 3x3
如图 2 所示，在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任
何一点的函数值都大于或等于 x0 点的函数值，称点 x0 为函数 y＝f(x)的___极__小__值__点____，其函数值 f(x0)为函数的
___极__小__值_____．
极大值与极小值统称为_____极__值____，极大值点与极小值点统 称为_极___值__点__．
4．设函数 f(x)＝xln x，则 f(x)的极小值为__－__1e____． 解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
令 f′(x)＝0 即 ln x＋1＝0 得 x＝1e，当 x∈(0，1e)时，f′(x)＜0，
当 x∈1e，＋∞时，f′(x)＞0，故当 x＝1e时，f1e＝1eln 1e＝
(4)若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调
函数，即在区间上单调的函数没有极值．
2．可导函数的极值点一定是其导数为零的点；但是，导数为零 的点不一定是该函数的极值点，因此导数为零的点仅是该点为 极值点的必要条件，其充分条件是这点两侧的导数异号，举例 如下： (1)导数为 0 是极值点：f(x)＝x2，f′(0)＝0，x＝0 是极值点； (2)导数为 0 但不是极值点：f(x)＝x3，f′(0)＝0，x＝0 不是极值 点； (3)不可导点是极值点：f(x)＝|x|，当 x＝0 时虽不可导，却是极
－1e为 f(x)的极小值．
1．极值及极值点的性质 (1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻域而言 的． (2)极值点总是 f(x)定义域中的点，因而端点绝对不是函数的 极值点． (3)连续函数 f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可 能没有，函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，函数 的一个极小值也不一定比极大值小．
[解] (1)由 f(x)＝sin x－cos x＋x＋1，0＜x＜2π，
知 f′(x)＝cos x＋sin x＋1＝1＋ 2sinx＋π4 . 令 f′(x)＝0，从而 sinx＋π4 ＝－ 22，得 x1＝π，x2＝3π2 .
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0， π)
2.函数的极值与单调性的关系 如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上 是减少的，则 x0 是___极__大__值__点____，f(x0)是____极__大__值____．
如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上 是增加的，则 x0 是__极__小__值__点_____，f(x0)是____极__小__值____．
3．可导函数的极值与导数的关系
(1)
x
(a，x0)
x0
f′(x)
＋
0
y＝f(x)
增加↗ 极大值
(2)
x
(a，x0)
x0
f′(x)
－
0
y＝f(x)
减少↘ 极小值
(x0，b) －
减少↘
(x0，b) ＋
增加↗
4．求可导函数 y＝f(x)极值点的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数 f′(x)． (2)求 f(x)的拐点，即求方程 f′(x)＝0 的根．
(2)P83 例 3.通过本例学习，掌握求可导函数极值的方法和步 骤．
1. 函数的极值的概念 如图 1 所示，在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任 何一点的函数值都小于或等于 x0 点的函数值，称点 x0 为函数
y＝f(x)的___极__大__值__点____，其函数值 f(x0)为函数的 ___极__大__值______．
2
小值点；f(x)＝x3在 x＝0 不可导，但 x＝0 是极小值点．
1
(4)不可导点不是极值点：f(x)＝x3，x＝0 时不可导，不是极值点．
求函数的极值、极值点 求下列函数的极值． (1)f(x)＝sin x－cos x＋x＋1(0<x<2π)； (2)f(x)＝(x－1)3 x2. (链接教材 P83 例 3)
(3)利用 f′(x)与 f(x)随 x 的变化情况表，根据极值点左右两侧 单调性的变化情况求极值．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导数值为 0 的点一定是函数的极值点．( × ) (2)在可导函数的极值点处，切线与 x 轴平行．( × ) (3)函数 f(x)＝1x无极值．( √ )
第四章 导数应用
1．2 函数的极值
1．问题导航 (1)函数的极大(小)值、极大(小)值点的定义是什么？ (2)f′(x0)＝0 是函数 y＝f(x)在 x0 处取得极值的什么条件？
(3)求可导函数极值的步骤是什么？
Байду номын сангаас
2．例题导读 (1)P82 例 2.通过本例学习，理解极值点的意义，掌握确定可 导函数极值点的步骤．
3．设函数 f(x)＝xex，则( D ) A．x＝1 为 f(x)的极大值点 B．x＝1 为 f(x)的极小值点 C．x＝－1 为 f(x)的极大值点
D．x＝－1 为 f(x)的极小值点 解析：f′(x)＝(x＋1)ex，由 f′(x)＝0 得 x＝－1，且当 x<－1 时，f′(x)<0；当 x>－1 时，f′(x)>0.故 x＝－1 是 f(x)的极小 值点．
(4)定义在[a，b]上的连续函数 f(x)若有极值 f(x0)，则 x0∈(a， b)．( √ )
2.已知函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图像如图，则( A )
A．函数 f(x)有 1 个极大值点，1 个极小值点 B．函数 f(x)有 2 个极大值点，2 个极小值点 C．函数 f(x)有 3 个极大值点，1 个极小值点 D．函数 f(x)有 1 个极大值点，3 个极小值点 解析：由 y＝f′(x)图像可知 x2 为 f(x)的极大值点，x3 为 f(x)的 极小值点，x1 和 x4 不是 f(x)的极值点．