高考数学一轮复习课时训练 直线与圆锥曲线的位置关系 北师大版

A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2012·荆州二检)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2
＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )．
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 答案 C
2．(2012·铜川模拟)过抛物线y 2
＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为( )． A.52 B.7
2
C ．2
D ．3 解析 由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横
坐标为52，因此M 到抛物线准线的距离为52＋1＝7
2.
答案 B
3．设双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2
＋1只有一个公共点，则双
曲线的离心率为( )． A.54 B ．5 C.5
2
D. 5 解析 双曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1的一条渐近线为y ＝b a
x ，由方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝b a x ，y ＝x 2＋1
消去y 得，x 2
－b
a
x
＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
＝ 5.
答案 D
4．(2011·全国)已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )． A.45 B.35 C ．－35 D ．－45
解析 设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由题意得点F (1,0)，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝4x y ＝2x －4消去y 得x 2
－5x ＋4
＝0，x ＝1或x ＝4，因此点A (1，－2)、B (4,4)，F A →＝(0，－2)，F B →
＝(3,4)，cos ∠AFB
＝F A → ·F B →
|F A →||F B →|
＝0×3＋－2×42×5＝－45，选D.
答案 D
5．(2011·宜春模拟)已知A ，B 为抛物线C ：y 2
＝4x 上的两个不同的点，F 为抛物线C 的焦点，若FA →＝－4FB →
，则直线AB 的斜率为( )． A ．±23 B ．±32 C ．±34 D ．±43
解析 由题意知焦点F (1,0)，直线AB 的斜率必存在，且不为0，故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2
＝4x 中化简得ky 2
－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k
，①y 1y 2＝－4，②又由FA →＝－4FB →
可得y 1＝－4y 2，③
联立①②③式解得k ＝±4
3.
答案 D
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011·北京东城检测)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2
9
＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于
A 、
B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.
解析 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8. 答案 8
7．(2012·东北三校联考)已知双曲线方程是x 2
－y 2
2
＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于
P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________．
解析 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21
－y 212＝1，x 22
－y 22
2＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝
2x 2＋x 1
y 2＋y 1
＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2
－56x ＋
51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件． 答案 4x －y －7＝0
8．(2011·河南洛阳、安阳统考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________． 解析 由题意知，抛物线的方程为x 2
＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，联立方
程得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
1＝－4y 1，x 2
2＝－4y 2，两式相减得x 21－x 2
2＝－4(y 1－y 2)，
∴
y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2
－4
＝－1， ∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x . 答案 x ＋y ＝0 三、解答题(共23分)
9．(★)(11分)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2
＋y 2
b
2＝1(0＜b ＜1)的左，右焦点，过F 1的直线l
与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB |；
(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．
思路分析 第(1)问由椭圆定义可求；第(2)问将直线l 与椭圆联立方程组，利用弦长公式求解．
解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝4
3.
(2)l 的方程为y ＝x ＋c ， 其中c ＝1－b 2
.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝x ＋c ，x 2＋y 2
b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2
＋
2cx ＋1－2b 2
＝0.
则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b
2
1＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，
所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即4
3＝2|x 2－x 1|.
则89＝(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝41－b 21＋b
2
2－41－2b
2
1＋b
2
＝8b 4
1＋b
2
2，解得b ＝
22
. 【点评】 解决直线与圆锥曲线的问题时，用到最多的是方程思想，即列方程组、通过判别式、根与系数的关系来研究方程解的情况，进一步研究直线与圆锥曲线的关系，同时处理范围与最值问题时也要用到函数思想.
10．(12分)(2011·陕西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为3
5
.
(1)求C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的中点坐标．
解 (1)将(0,4)代入C 的方程得16
b
2＝1，∴b ＝4，
又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝9
25
，∴a ＝5，
∴C 的方程为x 225＋y 2
16
＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5(x －3)，
设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝4
5(x －3)代入C 的方程，得
x 225
＋x －3
2
25
＝1，即x 2
－3x －8＝0.
∴x 1＋x 2＝3，y 1＋y 2＝45(x 1＋x 2－6)＝45(3－6)＝－12
5.
∴
x 1＋x 22＝32，
y 1＋y 2
2＝－6
5
.
即中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－65.
B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(★)直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 2
4
＋y 2
＝1截得的最大弦长是
( )．
A ．4 B.43
3
C ．2
D ．不能确定
解析 (筛选法)直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆x 2
4＋y 2
＝1的上顶点，椭圆的
长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A 、C ；将直线y ＝kx ＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除D.故选B. 答案 B
【点评】 本题通过运动的观点，得到直线在各种位置下的情形，从而排除错误选项，得到正确答案，避免了冗长的计算.
2．(2011·四川)在抛物线y ＝x 2
＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2
＋5y 2
＝36相切，则抛
物线顶点的坐标为( )． A ．(－2，－9) B ．(0，－5) C ．(2，－9)
D ．(1，－6)
解析 由已知得抛物线经过(－4,11－4a )和(2,2a －1)两点，过这两点的割线斜率k ＝2a －1－11－4a
2－－4
＝a －2.
于是，平行于该割线的直线方程为y ＝(a －2)x ＋b .
该直线与圆相切，所以
b 2
1＋a －2
2
＝
365
. 该直线又与抛物线相切，于是(a －2)x ＋b ＝x 2
＋ax －5有两个相等的根，
即由方程x 2
＋2x －5－b ＝0的Δ＝0得b ＝－6，代入
b 2
1＋a －2
2
＝365
， 注意到a ≠0，得a ＝4.所以抛物线方程为y ＝x 2
＋4x －5＝(x ＋2)2
－9，顶点坐标为(－2，－9)． 答案 A
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．(2012·揭阳模拟)过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一
个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________． 解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝2b 2
，∴e ＝63.
答案
6
3
4．(2012·金华模拟)已知曲线x 2a －y 2
b
＝1(a ·b ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q
两点，且OP →·OQ →
＝0(O 为原点)，则1a －1b
的值为________．
解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2
＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，
y 2)，则x 1＋x 2＝
2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b
.OP →·OQ →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1
＋x 2)＋1.
所以2a ＋2ab a －b －2a a －b ＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，
即b －a ＝2ab ，所以1a －1
b
＝2.
答案 2
三、解答题(共22分)
5．(10分)(2012·株洲模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点． (1)解 设抛物线C 的方程为y 2
＝2mx ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋y －20＝0，y 2
＝2mx ，
得2y 2
＋my －20m ＝0，
∵Δ＞0，∴m ＞0或m ＜－160.
设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m
2，
∴x 1＋x 2＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫5－y 14＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5－y 24＝10＋m
8.
再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m
2，0，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＋x 3
3＝m 2，y 1
＋y 2
＋y 3
3＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 3＝11m
8－10，y 3
＝m
2.
∵点A 在抛物线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝2m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫11m 8－10.
∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2
＝16x .
(2)证明 当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴
k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0，
将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2
－16y ＋16b ＝0， ∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2
Q 162＝b
2
k
2，
∴b 2k 2＋16b
k
＝0，∵k ≠0，b ≠0，∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)； 当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，
∴△POQ 为等腰三角形，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝|x |，y 2
＝16x ，
得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)， ∴直线PQ 恒过定点(16,0)．
6．(12分)(2011·福建)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，
(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2
＝4y 是否相切？说明理由．
解 法一 (1)依题意，点P 的坐标为(0，m )． 因为MP ⊥l ，所以0－m
2－0×1＝－1，
解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)． 从而圆的半径
r ＝|MP |＝2－0
2
＋0－2
2
＝22，
故所求圆的方程为 (x －2)2
＋y 2
＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－x －m ，x 2
＝4y 得 x 2
＋4x ＋4m ＝0.
Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．
(1)当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； (2)当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．
综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 法二 (1)设所求圆的半径为r ， 则圆的方程可设为(x －2)2
＋y 2
＝r 2
依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩
⎪⎨⎪
⎧
4＋m 2
＝r 2
，|2－0＋m |
2＝r ，解得
⎩⎨
⎧
m ＝2，
r ＝2 2.
所以所求圆的方程为(x －2)2
＋y 2
＝8. (2)同法一．。