积分学中的几个重要公式的涵义及其相互关系修改720

Gauss 公式： div A dv A dS
(V)
( S ) 外
Stokes: rot AdS Ads
(s)
(c)
● Gauss 公式与Stokes公式分别把对通量和环量的微观和宏观 的研究联系了起来。
● 两种形式的Green 公式不过是上述联系在 平面场中的表现而已。
● Gauss 公式、Stokes 公式、Green 公式、Newton-Leibniz 公式反映了几何形体 ()内部的某种变化率与 ()边界有关量 间的联系。若引用“外微分”概念可以写成统一形式并可推广
d
x
2xd x
|| 换元法
2. 关于通解中的任意常数
1 y
d
y
例 d y 2xy y0
dx
dy y
2xd x
ln | y | x2 c1
| y | ec1 ex2 c2 ex2 , c2 ec1 0
y c2 ex2 c ex2 , c c2 0.
● 通解（一阶）含有任意常数的解. y 0 也为解.故通解为 y c ex2 , c R
0,
(x,y) (D).
y x
无旋场两种定义：
设A {P(x,y), Q(x,y)}, P,Q C((D)) , (D) R2
1 用积分
(C)
(D)，有
A
ds
0
(C)
2 用导数 加强：P,Q C1((D))
Q P 0,
(x,y) (D). 即 rot A 0.
x y
当 (D) 是单连域，P,Q C1((D))时两定义等价.
● 通解 全解.
u y
例
x d y y 2 xy dx
x
x du 2 u dx
u 0 得通解 y x(c ln | x |) 2, c R.
（通解）
u 0 y 0. 也为解，不含于通解中.（不唯一）
● 线性微分方程的通解与全解等价.
证 以一阶为例
d y P(x)y q(x)
4. Gauss公式
P,Q, R(x, y, z) C1((G)). (G) R3
(V )
P x
Q y
R z
dV
(S)
Pd
y
d
z
Qd
z
d
x

令 A (P,Q, R)
div AdV Ad S A end S
(V )
(S)
(S)
(C )
外
外
e
en
5.Green 公式的另一形式
(C) (D)有
Ads 0
rot A 0
(Q P 0)
(C)
( D ) 单连域
x y
• 推广至空间 设A (P,Q,R) ((G)) (G) R3
1 无旋场
保守场 有势场
(C) (G) A ds 0
(C)
P d x Q d y R d z dU (x, y, z) U (x,y,z) C1((G)),使 gradU A
至 流形。
无旋场与无源场及其等价关系
1.无旋场及其等价关系
1 设 •P,QC((D)),(D) R2,则下列三结论等价
(1) 沿（D）内任一简单闭曲线（C）, P d x Q d y 0, A (P,Q)
即
A e ds 0.
(C)
A （P,Q）是一无旋场.
(C)
(2) 线积分
(B)
曲线 (C) 上第二型线积分 向量A绕 (C) 的环量.
• 积分研究 A 在某一范围内的某些整 体效应. 宏观
• 源或环量布情况在各处 的强弱 变化率 . 微观
通量密度：div A(M) lim 1 A ds v ( V)M ( S)
环量密度：lim 1 A ds， 旋转轴方向. S (S)M
P( x, y), Q( x, y) C1(( ))
(
)
Q x
P y
d
Pd x Qd
(C )
y
3. Stokes公式
P, Q, R(x, y, z) C1((G)). (G) R3.
(S
)
R y
Q z
d
y
d
z
P z
R x
d
z
d
x
Q x
P y
d
x
d
y
(C)
P
d
x
Q
d
y
(C)
ds
divAd
A (P(x.y),Q(x.y))
( )
• Green公式(II)是Gauss公式的平面形式.
• 流体: 域 ( )内源中流出流体的( ) 的边界(C) 流出。
三. 对Stokes公 式的注解 .
rotA dS A ds
( S）)
( C)
• 左端与（C）上所张曲面形状大小无关（. 分片光 滑） 设A在所讨论区域（G）内有二阶连续偏导数，AC2 ((G)),(G) R3.
z
0
• 故调和场 A的势函数 U 必满Laplace 方程。
常微分方程
（I） 学生容易困惑的几个问题
1. 分离变量后为什么可以两端积分
例
d y 2xy dx
d y 2xd x y
dy y
?
2xd x
1 d y 2x y dx
1 d y(x) 2x y(x) d x
1 y(x)
d d
y x
Green公式(II)
(
)
P x
Q y
d
Pd
(C)
y
Qd
x
d x d s cos d s cos d s sin 2
2
d y d s sin d s sin d s cos 2
P d y Q d x (P, Q) (d y, d x) (P, Q) (cos , sin ) ds
A沿(S)边界曲线的环量.
(2) Green公式(I) i
(S) x
P(x, y)
j
y Q(x, y)
k
(0,0,1) d S
A(x, y) ds
z
(C)
0
(
Q
P
)k
(0,0,1)
d
S
(Q P ) d
(S ) x y
(S ) x y
(3) Gauss公式 div Ad v Ad S
R
d
z
令A
(P, Q,
R),d
S
endS
(d
y
d
z,
d
z
d
x, d
x
d
y),ds
(d
x, d
y, d
z)
Stokes公式： rot Ad S Ads
(S)
C
或
rot A en d S A e ds
(S)
(C)
i jk
rot A
x y z
PQR
● Green 公式是Stokes 公式的平面形式。
dx
(1) 齐次
d y P(x) y 0 通解：y c eP(x)d x .
dx
设 y1(x) 为任一解.要证c0 使 y1 c0 e P(x)d x
即
y1 ( x) e P( x)d x
c0
y1 e P(x)d x
x
y1 ePd x y1 ePd x (P) (ePd x )2
(S )
(C)
Gauss公式: AdV A dS
(V )
(S)
2. 从物理观点看
(1) Stokes 公式
rot A end S A e ds
(S)
(C)
rot
A en
lim
(S )M
1 S
A ds
(C)
A 在点M
绕
en
的环量密度.
• A沿(S)上各微小 曲面(d S) 的边界曲线的环量的无限累加
b2 (t) y.
1° 幂级数解法
2 ° 数值解法
3° 定性方法
（III） 定性方法研究的主要问题 1. 轨线的分布（结构）
（1） 平衡态
1） 静平衡态—— 奇点：常数解
x f (x), x D Rn
x x0 0 d x0 f (x0) dt
x f (x, y) y g(x, y)
f (x, y) 0 g(x, y) 0
(x0, y0 )
x
y
x0 y0
常数解
●
轨线在常点与奇点附近结构的差异 x ax by
① 平面线性系统
y cx dy
奇点o(0,0)
● 特征方程 ● 初等奇点
a c
b 2 p q 0, d
p (a d)
ab
q
ad bc
cd
(V )
(S)
外
1
div A(M ) lim
A(M ) d S
V ( v ) M
(S )
A在点M的通量密度
A在 (V ) 中通过各微小体(d v) 边界曲面通量的无限累加
A通过 (V ) 的边界曲面(S) 的通量.
(4) Green 公式 (II)
( P ( ) x
Q) d
y
A en
2 加强条件： A C1((G)),且(G)为一维单连通域
Stokes 定理： M (G),
一维单连域
rot A(M ) 0
Ads 0,
(C )
无旋场
(C) (G)
2.无源场及其等价关系
1 三个等价结论. 设A (P,Q,R) C((G)), (G) R3
则以下三结论等价
（1）沿（G）内任一分块光滑的曲面(S),有 Ad S 0.
则在区间 I [x0 h, x0 h]上有且仅有一解，其中 h min a, b , M max | f (x, y) |,
● 解 能用有限解析式表出的解很少.
M
( x, y)R
例 d x t2 x2, dt
● 另辟它径
dx dt
a1(t)x
b1(t) y，
dx dt
a2 (t)x
PdxQd
y之值与积分路径无关.
(A)
即 A （P,Q） 是一保守场.
(3)P d x Q d y dU（x,y）, 即 A （P,Q） 是一有势场.
2.加强条件：i）P,Q C（1 （D））, ii）(D)为一单连域
上述三结论与P Q , (x,y) (D) 等价. y x
P
Q
0
rot
A
ab
0
cd
● 分类（ 1, 2 为其特征根）
N - L公式:
b
f (x) d x f (b) f (a).
a
B
f (x, y, z) ds
A
( x2 , y2 , z2 ) ( x1 , y1 ,z1 )
fxdx
f ydy
f z dz
f (x2 , y2, z2 )
f (x1, y1, z1)
Stokes公式: A dS A dS
积分学中的几个重要公式的涵义及其相互关系
一、重要公式
1. Newton - Leibniz公式
f C[a,b], F(x) f (x), x [a,b]
b
a f (x) d x F (b) F(a).
F C1[a, b],
b
F(x) d x F(b) F(a)
a
2. Green公式(I)
y1 Py1 e Pd x
0.
（2） 非齐次
特解 y1 设 y *为非齐次的一个特解,则
y1 y* 必为齐次方程的一个解
.故 c0使
y1
y*
c0
e
P
d
x
3. 是否任意微分方程都有通解 ？
d y 2 y2 0 dx
仅有特解 y=0
（II） 基本概念及其几何意义
1. 常微分方程，解，通解，初始条件，特解
(C)
(C)
(C)
A end s, A (P Q)
(C)
二、公式的涵义
令
i
j
k
（向量微分算子）
梯度
x y z grad f (x, y, z) f
f
i
f
j
f
k
x y z
i jk
旋度
rot A A
x y z
PQR
散度
div
A
A
P
Q
R
.
x y z
1. 从数学观点看
dy
●
2x
dx
● d y f (x, y) dx
2. 解的存在唯一性
●
dy dx
f
(x,
y)，
y(x0 )
y0
若 f 在矩形域 R :| x x0 | a,| y y0 | b 内连续
且对 y 满足Lipschiz 条件，即| f (x, y1) f (x, y2 ) | L | y1 y2 |,
二维维单连
A d S 0，(S) (G)
（ S）
无源场
3.调和场.
若 A 是无旋场又是无源场 , 则称为调和场。
A
无旋
存在势函数
U (x,y,z),
使
A
gradU
( U
, U
,
U
)
x y z
A 又无源 div A 0,
即 div(grad U )
2U x 2
2U y2
2U
由Gauss公式
rot AdS di（v rot A）dv
(S1 )(S2 ))
(V)
外
0
于是 rot AdS - rot AdS rot AdS
( S1 ) 上
(S2 ) 下
(S2 ) 上
n1
(S1)
(S1)
(S2 )
(C ) (S2) n2
(C )
(S3 )
四.小结
曲面 (S) 上第二型面积分 向量A过 (S) 的通量.
(S)
（2） A d S 只取决于A与(C)的边界曲线，与其所张的曲面无关.
( S)
(3) A是某向 量场的旋度，即存在向量值函数B(M ) C1((G))
使 rot B A.
2
加强条件： AC1((G)). 且(G) R3为二维单连域.
Gauss定理: M (G)有 div A(M ) 0