2019年陕西省中考数学试题(Word版 含解析)

2019年陕西中考数学
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算：()=0
3-
A.1
B.0
C. 3
D.31-
【解析】本题考查0指数幂，)0(10
≠=a a ，此题答案为1，故选A
2. 如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为
【解析】本题考查三视图，俯视图为从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角，故选D
3. 如图，OC 是∠AOB 的角平分线，l //OB,若∠1=52°，则∠2的度数为
A.52°
B.54°
C.64°
D.69°
【解析】∵l //OB ，∴∠1+∠AOB=180°，∴∠AOB=128°，∵OC 平分∠AOB ，∴∠BOC=64°，又l //OB ，且∠2与∠BOC 为同位角，∴∠2=64°，故选C 4. 若正比例函数x y 2-=的图象经过点O （a -1,4）,则a 的值为
A. -1
B.0
C.1
D.2
【解析】函数x y 2-=过O （a -1,4），∴4)1(2=--a ，∴1-=a ，故选A 5. 下列计算正确的是
A. 2
22632a a a =⋅ B.()
242
263b a b
a =-
C.()222
b a b a -=- D.2
2
2
2a a a =+-
【解析】A 选项正确结果应为42
2632a a
=⨯+，B 选项正确结果应为249b a ，C 选项为完全
平方差公式，正确结果应为2
2
2b ab a +-，故选D
6. 如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E 。

若DE=1，则BC 的长为
A.2+2
B.32+
C.2+3
D.3 【解析】
过点D 作DF ⊥AC 于F 如图所示，∵AD 为∠BAC 的平分线，且DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴DE=DF=1，在Rt △BED 中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt △CDF 中，∠C=45°，∴△CDF 为等腰直角三角形，∴CD=2DF=2，∴BC=BD+CD=22+，故选A
7. 在平面直角坐标系中，将函数x y 3=的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为
A. (2,0)
B.(-2,0)
C.(6,0)
D.(-6,0)
【解析】根据函数图象平移规律，可知x y 3=向上平移6个单位后得函数解析式应为63+=x y ，此时与x 轴相交，则0=y ，∴063=+x ，即2-=x ，∴点坐标为（-2,0），故选B
8. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，若点E ，F 分别在AB,CD 上，且BE=2AE ，DF=2FC ，G ，H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为 A.1 B.
2
3
C.2
D.4
【解析】BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，G 、H 分别是AC 的三等分点 ∴E 是AB 的三等分点，F 是CD 的三等分点 ∴EG ∥BC 且EG ＝－1
3BC ＝2
同理可得HF ∥AD 且HF ＝－1
3
AD ＝2
∴四边形EHFG 为平行四边形EG 和HF 间距离为1 S 四边形EHFG ＝2×1=2，故选C
9. 如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF=EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ，若∠AOF=40°，则∠F 的度数是
A.20°
B.35°
C.40°
D.55°
【解析】连接FB ，得到FOB ＝140°； ∴∠FEB ＝70° ∵EF ＝EB ∴∠EFB ＝∠EBF ∵FO ＝BO ， ∴∠OFB ＝∠OBF ，
∴∠EFO ＝∠EBO ，∠F ＝35°，故选B
10. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线()42122
-+-+=m x m x y 与()n x n m x y ++-=32关于
y 轴对称，则符合条件的m ，n 的值为 A. m=
75,n=7
18
- B.m=5，n= -6 C.m= -1，n=6 D.m=1，n= -2
【解析】关于y 轴对称，a ，c 不变，b 变为相反数，∴⎩⎨⎧-=+=-42312m n n m m 解之得⎩
⎨⎧-==21
n m ，
故选D
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 11. 已知实数2
1
-
，0.16，3，π，25，34，其中为无理数的是 【解析】无理数为无限不循环的小数，常见的有开方开不尽的数，本题为3
43，
，含有π或者关于π的代数式，本题为π，故本题答案为3
4,3，
π 12. 若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为
【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB ，△COD 为两个边长相等的等边三角形，∴AD=2AB=6，故答案为6
13. 如图，D 是矩形AOBC 的对称中心，A(0,4)，B （6，0），若一个反比例函数的图象经过点D ，交AC 于点M ，则点M 的坐标为
【解析】如图所示，连接AB ，作DE ⊥OB 于E ，∴DE ∥y 轴，∵D 是矩形AOBC 的中心，∴D 是AB 的中点，∴DE 是△AOB 的中位线，∵OA=4，OB=6，∴DE=
21OA=2，OE=2
1
OB=3 ，∴D （3,2），设反比例函数的解析式为x
k
y =
，∴623=⨯=k ，反比例函数的解析式为x y 6
=
，∵AM ∥x 轴，∴M 的纵坐标和A 的纵坐标相等为4，代入反比例函数得A 的横坐标为23，故M 的坐标为)4,23(
14. 如图，在正方形ABCD 中，AB=8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM=6. P 为对角线BD 上一点，则PM —PN 的最大值为
【解析】
如图所示，作以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接N P '，根据对称性质可知，N P PN '=，∴PM-PN N M N P '≤'-PM ，当N M P ',,三点共线时，取“=”，∵正方形边长为8，
∴AC=2AB=28，∵O 为AC 中点，∴AO=OC=24，∵N 为OA 中点，∴ON=22， ∴22N C N O ='='，∴26='N A ，∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2，∴
3
1
=''=N A N C BM CM
∴PM ∥AB ∥CD ，∠='N CM 90°，∵∠CM N '=45°，∴△CM N '为等腰直角三角形， ∴CM=M N '=2，故答案为2 三、解答题（共78分）
15. （5分）计算：2
321-3-127-2--⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯
【解析】原式＝－2×(－3)＋3－1－4 ＝1＋ 3
16. （5分）化简：a
a a a a a a 2248222
2-+÷⎪⎭⎫
⎝⎛-++-
【解析】原式＝(a ＋2)2(a －2)(a ＋2)×a (a －2)
a ＋2＝a
17.（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高。

请用尺规作图法，求作△ABC 的外接圆。

（保留作图痕迹，不写做法）
【解析】如图所示
18.（5分）如图，点A，E，F在直线l上，AE=BF，AC//BF，且AC=BD，求证：CF=DE
【解析】证明：∵AE＝BF，
∴AF＝BE
∵AC∥BD，
∴∠CAF＝∠DBE
又AC＝BD，
∴△ACF≌△BDE
∴CF＝DE
19.（7分）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动。

校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示：
所抽取该校七年级学生四月份“读书量”的统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数。

【解析】
（1）如图所示，众数为3（本）
（2）平均数=
36
12211835
541232121813=++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
（3）四月份“读书量”为5本的学生人数=12060
6
1200=⨯
（人） 20. （7分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。

一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B ，如图所示。

于是他们先在古树周围的空地上选择一点D ，并在点D 处安装了测量器DC ，测得古树的顶端A 的仰角为45°；再在BD 的延长线上确定一点G ，使DG=5米，并在G 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG 方向移动，当移动带点F 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A 的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米。

已知点F 、G 、D 、B 在同一水平直线上，且EF 、CD 、AB 均垂直于FB ，求这棵古树的高度AB 。

（小平面镜的大小忽略不计）
【解析】：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD
∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5
∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°. 由题意，易知∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABC
∴EF
AB＝
FG
BG即
1.6
BD＋0.5
＝
2
5＋BD
解之，得BD＝17.5
∴AB=17.5＋0.5＝18(m)．
∴这棵古树的高AB为18m．
21.（7分）根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变。

若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）
（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；
（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安图中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为－26℃时，飞机距离地面的高度为7km,求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温。

【解析】(1)y＝m－6x
(2)将x＝7，y＝－26代入y＝m－6x，得－26＝m－42，∴m＝16
∴当时地面气温为16℃
∵x＝12＞11，
∴y＝16－6×11＝－50(℃)
假如当时飞机距地面12km 时，飞机外的气温为－50℃
22. （7分）现有A 、B 两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球。

其中，A 袋装有2个白球，1个红球；B 袋装有2个红球，1个白球。

（1）将A 袋摇匀，然后从A 袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率； （2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A ，B 两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜。

请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平。

【解析】：(1)共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种 ∴P (摸出白球)＝23
(2)根据题意，列表如下：
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种
∴P (颜色相同)＝49，P (颜色不同)＝5
9
∵49＜5
9
∴这个游戏规则对双方不公平
23. （8分）如图，AC 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线。

作BM=AB 并与AP 交于点M ，延长MB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接AD 。

（1）求证：AB=BE
（2）若⊙O 的半径R=5，AB=6，求AD 的长。

【解析】(1)证明：∵AP 是⊙O 的切线， ∴∠EAM ＝90°，
∴∠BAE ＋∠MAB ＝90°，∠AEB ＋∠AMB ＝90°. 又∵AB ＝BM ， ∴∠MAB ＝∠AMB ， ∴∠BAE ＝∠AEB ， ∴AB ＝BE (2)解：连接BC ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°
在Rt △ABC 中，AC ＝10，AB ＝6， ∴BC ＝8
由(1)知，∠BAE ＝∠AEB ， ∴△ABC ∽△EAM ∴∠C ＝∠AME ，AC EM ＝BC AM
即1012＝8AM ∴AM ＝48
5
又∵∠D ＝∠C ，
∴∠D ＝∠AMD ∴AD ＝AM ＝48
5
24. （10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：()c x a c ax y +-+=2
经过点A （-3，0）
和点B （0，-6），L 关于原点O 堆成的抛物线为L ' （1）求抛物线L 的表达式
（2）点P 在抛物线L '上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D 。

若△POD 与△AOB 相似，求复合条件的点P 的坐标
【解析】(1)由题意，得⎩⎨⎧9a －3(c －a )＋c ＝0c ＝－6，解之，得⎩⎨⎧a ＝－1
c ＝－6
，
∴L ：y =－x 2－5x －6
(2)∵点A 、B 在L ′上的对应点分别为A ′(－3，0)、B ′(0，－6) ∴设抛物线L ′的表达式y ＝x 2＋bx ＋6 将A ′(－3，0)代入y ＝x 2＋bx ＋6，得b ＝－5. ∴抛物线L ′的表达式为y ＝x 2－5x ＋6 A (－3，0)，B (0，－6)， ∴AO ＝3，OB ＝6.
设P (m ，m 2－5m ＋6)(m ＞0). ∵PD ⊥y 轴，
∴点D 的坐标为(0，m 2－5m ＋6) ∵PD ＝m ，OD ＝m 2－5m ＋6
Rt △POD 与Rt △AOB 相似， ∴
PD AO ＝OD BO 或PD BO ＝OD AO
①当PD AO ＝OD BO 时，即m 3＝m 2
－5m ＋66
，解之，得m 1＝1，m 2＝6
∴P 1(1，2)，P 2(6，12)
②当PD BO ＝OD AO 时，即m 6＝m 2－5m ＋63，解之，得m 3＝32
，m 4＝4
∴P 3(32，3
4
)，P 4(4，2)
∵P 1、P 2、P 3、P 4均在第一象限
∴符合条件的点P 的坐标为(1，2)或(6，12)或(32，3
4)或(4，2)
25. （12分） 问题提出：
（1）如图1，已知△ABC ，试确定一点D ，使得以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC ，且使∠BPC ＝90°，求满足条件的点P 到点A 的距离； 问题解决：
（3）如图3，有一座草根塔A ，按规定，要以塔A 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE 。

根据实际情况，要求顶点B 是定点，点B 到塔A 的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE ？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE 的最大面积；若不可以，请说明理由。

（塔A 的占地面积忽略不计）
【解析】（1）如图记为点D 所在的位置
（2）如图，∵AB=4，BC=10，∴取BC 的中点O ，则OB ＞AB.
∴以点O 为圆心，OB 长为半径作⊙O ，⊙O 一定于AD 相交于21,P P 两点， 连接C P O P B P 111,,，∵∠BPC=90°，点P 不能再矩形外； ∴△BPC 的顶点P 在1P 或2P 位置时，△BPC 的面积最大
作E P 1⊥BC ，垂足为E ，则OE=3，∴2351=-=-==OE OB BE AP 由对称性得82=AP
（3）可以，如图所示，连接BD ，
∵A 为□BCDE 的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，∴BD=100，∠BED=60° 作△BDE 的外接圆⊙O ，则点E 在优弧BD 上，取BED 的中点E '，连接D E B E '', 则D E B E '='，且∠D E B '=60°，∴△D E B '为正三角形. 连接O E '并延长，经过点A 至C '，使C A A E '='，连接D C C B '', ∵A E '⊥BD ，∴四边形D C B E ''为菱形，且∠120=''E B C °
作EF ⊥BD ，垂足为F ，连接EO ，则A E OA O E OA EO EF '=+'=+≤ ∴D E B BDE S A E BD EF BD S '∆∆='⋅≤⋅=
2
1
21
∴22=2100sin 60)BCDE
BDE BC DE S
S S '∆''≤=⋅︒=菱形
所以符合要求的□BCDE 的最大面积为2
m 35000。