安徽省黄山市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)

2016-2017学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（）
A．∃x0∈R，2＞0 B．∃x0∈R，2≤0
C．∀x∈R，2x＜0 D．∀x∈R，2x≤0
2．若直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）经过第一、二、三象限，则系数A，B，C满足的条件为（）
A．A，B，C同号B．AC＞0，BC＜0 C．AC＜0，BC＞0 D．AB＞0，AC＜0 3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：
①α∥β⇒l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
则真命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．“m＜0”是“﹣=1表示的曲线是双曲线”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．若圆x2+y2﹣6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l的斜率是（）A．6 B．C．D．
6．如图，空间四边形OABC中，点M、N分别OA、BC上，OM=2MA、BN=CN，则=（）
A．B．
C．D．
7．下列命题中正确的是（）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．若直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+2=0平行，则a=1
C．若命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞3
D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”
8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）
A．8++B．8++C．6++D．6++
9．圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直线3x+4y﹣11=0的距离等于1的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（）
A．B．C．D．
11．过抛物线y2=2px（p＞0）焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16，则p=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1内的动点，且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P﹣BCD的体积最大值是（）A．36 B．12C．24 D．18
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．
14．已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交于A，B两点，则直线AB 的方程是．
15．l是经过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，
A，B是双曲线C的两个顶点，点在l存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线离心率的最大值为．
16．已知抛物线y2=2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：
①A′F⊥B′F；
②AM⊥BM；
③A′F∥BM；
④A′F与AM的交点在y轴上；
⑤AB′与A′B交于原点．
其中真命题的是．（写出所有真命题的序号）
三、解答题
17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x 满足≤0，
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m；x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，
（1）当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：l过圆心C；
（2）当|PQ|=2时，求直线l的方程．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E ⊥BE．
（1）求证：C′E⊥平面BCE；
（2）若AC=2，求三棱锥B′﹣ECB的体积．
20．（12分）已知曲线C上的任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，直线l过点A（1，1），且与C交于P，Q两点；
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若A为PQ的中点，求三角形OPQ的面积．
21．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0，y0）是椭圆C：
=1上的一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．
（1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1•k2的值；
（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
2016-2017学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（）
A．∃x0∈R，2＞0 B．∃x0∈R，2≤0
C．∀x∈R，2x＜0 D．∀x∈R，2x≤0
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是∃x0∈R，2≤0．
故选：B
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
2．若直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）经过第一、二、三象限，则系数A，B，C满足的条件为（）
A．A，B，C同号B．AC＞0，BC＜0 C．AC＜0，BC＞0 D．AB＞0，AC＜0【考点】直线的一般式方程．
【分析】利用直线斜率、截距的意义即可得出．
【解答】解：∵直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）经过第一、二、三象限，
∴斜率，在y轴上的截距＞0，
∴AC＞0，BC＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了直线斜率、截距的意义，属于基础题．
3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：
①α∥β⇒l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
则真命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．
【分析】①利用面面平行的性质判断．②利用线面垂直的性质判断．③利用面面垂直的判定定理进行判断．
【解答】解：①若α∥β，因为l⊥平面α，所以l⊥平面β，因为直线m⊂平面β，所以l⊥m，即①正确．
②当α⊥β，直线l与平面α关系不确定，所以l∥m不一定成立，所以②错误．
③当l∥m时，因为l⊥平面α，所以m⊥平面α，又m⊂平面β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β成立，所以③正确．
故正确的命题为①③．
故选C．
【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．
4．“m＜0”是“﹣=1表示的曲线是双曲线”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】求出﹣=1表示的曲线是双曲线的充要条件，根据集合的包含关系判断即可．
【解答】解：若﹣=1表示的曲线是双曲线，
则m（m﹣1）＞0，解得：m＞1或m＜0
故m＜0是m＞1或m＜0的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查双曲线的定义，是一道基础题．
5．若圆x2+y2﹣6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l的斜率是（）A．6 B．C．D．
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【分析】由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到a的值，然后求出直线的斜率．
【解答】解：圆x2+y2﹣6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线通过圆心（3，﹣3），
故，
故选D
【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查对称知识、计算能力．
6．如图，空间四边形OABC中，点M、N分别OA、BC上，OM=2MA、BN=CN，则=（）
A．B．
C．D．
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】利用已知OM=2MA、BN=CN，用分别表示即可．【解答】解：∵BN=CN，∴，
∵OM=2MA，∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了向量的线性运算，属于中档题．
7．下列命题中正确的是（）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．若直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+2=0平行，则a=1
C．若命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞3
D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据复合命题真假判断的真值表，可判断A；根据直线平行的充要条件，可判断B；求出满足条件的a的范围，可判断C；写出原命题的逆否命题，可判断D．
【解答】解：若p∨q为真命题，则命题p，q中存在真命题，但不一定全为真命题，p∧q不一定为真命题，故A错误；
若直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+2=0平行，则a=1，或a=﹣1，故B错误；
若命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则△=（a﹣1）2﹣4＞0，解得实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞3，故C正确；
命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，故D错误；
故选：C
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，直线平行，特称命题，四种命题，难度中档．
8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）
A．8++B．8++C．6++D．6++
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知可得该几何体是一个半圆锥与四棱锥的组合体，累加各个面的面积，可得答案．
【解答】解：由已知可得该几何体是一个半圆锥与四棱锥的组合体，
其直观图如下图所示：
棱锥的底面面积为：4，
侧面VAB和VCD是直角边长为2的等腰直角三角形，面积均为2，
面VBC是腰为2，底为2的等腰三角形，面积为，
半圆锥的底面半径为1，底面面积为：，
侧曲面面积为：=π，
故组合体的表面积S=8++，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．
9．圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直线3x+4y﹣11=0的距离等于1的点有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】由圆的方程找出圆心A的坐标和半径r=3，然后由点到直线的距离公式求出圆心A到已知直线的距离为2，由AE﹣AD=DE，即3﹣2=1求出DE的长，得到圆A上的点到已知直线距离等于1的点有三个，如图，点D，P及Q满足题意．
【解答】
解：由圆的方程，得到圆心A坐标为（3，3），半径AE=3，
则圆心（3，3）到直线3x+4y﹣11=0的距离为d==2，即AD=2，∴ED=1，即圆周上E到已知直线的距离为1，同时存在P和Q也满足题意，
∴圆上的点到直线3x+4y﹣11=0的距离为1的点有3个．
故选C．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．
10．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】连结ND，取ND的中点E，连结ME，推导出异面直线AN，CM所成角就是∠EMC，通解三角形，能求出结果．
【解答】解：连结ND，取ND的中点E，连结ME，
则ME∥AN，∴∠EMC是异面直线AN，CM所成的角，
∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，
又∵EN⊥NC，∴EC==，
∴cos∠EMC===，
∴异面直线AN，CM所成的角的余弦值为．
故选：A．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
11．过抛物线y2=2px（p＞0）焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16，则p=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【分析】求出圆的圆心坐标，利用抛物线的性质求解p，即可得到结果．
【解答】解：过抛物线y2=2px（p＞0）焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16，可得弦长的坐标横坐标为：3，圆的半径为：4．
直线结果抛物线的焦点坐标，所以x1+x2=6，
x1+x2+p=8，
可得p=2．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质以及圆的方程的综合应用，考查计算能力．
12．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1内的动点，且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P﹣BCD的体积最大值是（）A．36 B．12C．24 D．18
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据Rt△ADP∽△Rt△PMC，PD=2PC，利用体积公式求解得出PO⊥CD，求解OP最值，根据勾股定理得出：3h2=﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，利用函数求解即可
【解答】解：∵在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P 是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD=∠MPC，
∴Rt△ADP∽△Rt△PMC，
∴==2，
即PD=2PC，
设DO=x，PO=h，作PO⊥CD，
∴，化简得：3h2=﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，
根据函数单调性判断：x=6时，3h2最大值为36，
h大=，
∵在正方体中PO⊥面BCD，
∴三棱锥P﹣BCD的体积最大值：=12，
故选：B
【点评】本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可，属于难题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为14π．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意可知，长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，求出长方体的对角线长，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．
【解答】解：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，
即，
由S=4πR2=14π．
故答案为：14π
【点评】本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力，顺利解题的依据是：长方体的体对角线就是外接球的直径，明确几何体的结构特征，是解好立体几何问题的前提．
14．已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交于A，B两点，则直线AB 的方程是x+3y﹣5=0．
【考点】相交弦所在直线的方程．
【分析】把两个圆的方程相减，即可求得公共弦所在的直线方程．
【解答】解：把两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的方程相减可得x+3y ﹣5=0，
此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程，
故答案为：x+3y﹣5=0．
【点评】本题主要考查求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，属于基础题．
15．l是经过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，点在l存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线离心率的最大值为．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设双曲线的焦点F（c，0），直线l：x=c，P（c，n），A（﹣a，0），B （a，0），由两直线的夹角公式化简整理，运用基本不等式，结合离心率公式，即可得到所求最大值．
【解答】解：设双曲线的焦点F（c，0），直线l：x=c，
可设点P（c，n），A（﹣a，0），B（a，0），
由两直线的夹角公式可得tan∠APB=||=≤，
∴≤，
化简可得3c2≤4a2，即c≤a，
即有e≤．
当且仅当n=±，即P（c，±），离心率取得最大值．
故答案为．
【点评】本题考查双曲线的离心率的最值的求法，注意运用两直线的夹角公式和直线的斜率公式及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
16．已知抛物线y2=2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：
①A′F⊥B′F；
②AM⊥BM；
③A′F∥BM；
④A′F与AM的交点在y轴上；
⑤AB′与A′B交于原点．
其中真命题的是①②③④⑤．（写出所有真命题的序号）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A'F=AF，B'F=BF，从而由相等的角，由此可判断A'F⊥B'F；
②取AB中点C，利用中位线即抛物线的定义可得CM=，从而AM ⊥BM；
③由②知，AM平分∠A′AF，从而可得A′F⊥AM，根据AM⊥BM，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；
④取AB⊥x轴，则四边形AFMA'为矩形，则可得结论；
⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB'A'为矩形，则可得结论．
【解答】解：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A'A=AF，B'B=BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A'F⊥B'F；
②取AB中点C，则CM=，∴AM⊥BM；
③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A'F∥BM；
④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A'F与AM的交点在y轴上；
⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB'A'为矩形，则可知AB'与A'B交于原点
故答案为①②③④⑤．
【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的性质，解题的关键是合理运用抛物线的定义．
三、解答题
17．（10分）（2016春•潍坊期末）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a ＞0），命题q：实数x满足≤0，
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．
【分析】（1）由a=1得到命题p下的不等式，并解出该不等式，解出命题q下的不等式，根据p∧q为真，得到p真q真，从而求出x的取值范围；
（2）先求出￢p，￢q，根据￢p是￢q的充分不必要条件，即可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）若a=1，解x2﹣4x+3＜0得：1＜x＜3，解得：2＜x ≤3；
∴命题p：实数x满足1＜x＜3，命题q：实数x满足2＜x≤3；
∵p∧q为真，∴p真，q真，∴x应满足，解得2＜x＜3，即x的取值
范围为（2，3）；
（2）￢q为：实数x满足x≤2，或x＞3；￢p为：实数x满足x2﹣4ax+3a2≥0，并解x2﹣4ax+3a2≥0得x≤a，或x≥3a；
￢p是￢q的充分不必要条件，所以a应满足：a≤2，且3a＞3，解得1＜a≤2；∴a的取值范围为：（1，2]．
【点评】考查解一元二次不等式，分式不等式，p∧q的真假情况，充分不必要条件的概念．
18．（12分）（2016秋•徽州区校级期末）已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m；x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，
（1）当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：l过圆心C；
（2）当|PQ|=2时，求直线l的方程．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（1）运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得l的斜率，可得直线l的方程，联立直线m的方程，可得交点N，代入圆心，可得直线l过圆心；（2）由|PQ|=2得，圆心C到直线l的距离d=1，设直线l的方程为x﹣ny+1=0，求得n的值，可得直线l的方程．
【解答】解：（1）因为l与m垂直，直线m：x+3y+6=0的斜率为﹣，
所以直线l的斜率为3，
所以l的方程为y﹣0=3（x+1），即3x﹣y+3=0．
联立，解得，
即有N（﹣，﹣），
代入圆心（0，3），有0﹣3+3=0成立，
所以直线l过圆心C（0，3）．
（2）由|PQ|=2得，圆心C到直线l的距离d=1，
设直线l的方程为x﹣ny+1=0，则由d==1．
解得n=0，或n=，
所以直线l的方程为x+1=0或4x﹣3y+4=0．
【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，点到直线的距离公式，以及直线和圆相交的弦长公式，属于中档题．
19．（12分）（2016•陕西模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．
（1）求证：C′E⊥平面BCE；
（2）若AC=2，求三棱锥B′﹣ECB的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）证明C′E ⊥EC ，利用C′E ⊥BE ，CE ∩BE=E ，即可证明C′E ⊥平面BCE ；
（2）利用等体积转化求三棱锥B′﹣ECB 的体积．
【解答】（1）证明：在矩形A′ACC′中，E 为A′A 中点且AA′=2AC ， ∴EA=AC ，EA′=A′C′， ∴∠AEC=∠A′EC=45°， ∴C′E ⊥EC ，
∵C′E ⊥BE ，CE ∩BE=E ， ∴C′E ⊥平面BCE ；
（2）解：∵B′C′∥BC ，B′C′⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ， ∴B′C′∥平面BCE ， ∴V B′﹣ECB =V C′﹣ECB ， ∵C′E ⊥平面BCE ， ∴C′E ⊥BC ，
∵BC ⊥CC′，C′E ∩CC′=C′， ∴BC ⊥平面ACC′A′′∴BC ⊥CE ， ∵AC=2，
∴BC=2，EC=EC′=2，
∴V B′﹣ECB =V C′﹣ECB =
=．
【点评】本题考查了线面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（12分）（2016秋•徽州区校级期末）已知曲线C 上的任意一点到点F （1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，直线l 过点A （1，1），且与C 交于P ，
Q两点；
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若A为PQ的中点，求三角形OPQ的面积．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）利用曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，可知曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线，从而可求曲线C 的方程；
（Ⅱ）求出直线l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可求三角形OPQ的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等．
∴曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线
∴曲线C的方程为y2=4x．…
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=2
因为y12=4x1，y22=4x2，
所以作差，可得直线l斜率为2，…（6分）
所以直线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1．
此时直线l与抛物线相交于两点．…（7分）
设T为l与x的交点，则|OT|=，…（8分）
由y=2x﹣1与y2=4x，消去x得y2﹣2y﹣2=0，…（9分）
所以y1+y2=2，y1y2=﹣2，…（10分）
所以三角形OPQ的面积为S=|OT||y1﹣y2|=．…（12分）
【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是正确运用抛物线的定义，正确运用韦达定理．
21．（12分）（2016秋•徽州区校级期末）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA ⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取SA中点F，连结EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，由此能证明CE∥面SAD．
（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣EC﹣B 的余弦值．
【解答】证明：（1）取SA中点F，连结EF，FD，
∵E是边SB的中点，
∴EF∥AB，且EF=AB，
又∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD，
又∵AB=2CD，且EF=CD，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴FD∥EC，
又FD⊂平面SAD，CE⊄平面SAD，
∴CE∥面SAD．
解：（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，
又SA⊥平面ABCD，
以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E（1，0，1），
则=（0，2，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，），=（﹣1，﹣2，1），
设面BCE的一个法向量为=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，0，1），
同理求得面DEC的一个法向量为=（0，1，2），
cos＜＞==，
由图可知二面角D﹣EC﹣B是钝二面角，
∴二面角D﹣EC﹣B的余弦值为﹣．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
22．（12分）（2015•驻马店一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0，y0）是椭圆C：=1上的一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．
（1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1•k2的值；
（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）求得圆的半径r，由两直线垂直和相切的性质，可得|OR|=4，解方程可得圆心R的坐标，进而得到圆的方程；
（2）设出直线OP：y=k1x和OQ：y=k2x，由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，运用韦达定理，由R在椭圆上，即可得到k1•k2的值；
（3）讨论①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），运用点满足椭圆方程，由两点的距离公式，化简整理，即可得到定值36；②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36．
【解答】解：（1）由圆R的方程知圆R的半径，
因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，
所以，即①
又点R在椭圆C上，所以②
联立①②，解得，
所以，所求圆R的方程为；
（2）因为直线OP：y=k1x和OQ：y=k2x都与圆R相切，
所以，，
两边平方可得k1，k2为（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+（y02﹣8）=0的两根，
可得，
因为点R（x0，y0）在椭圆C上，
所以，即，
所以；
（3）方法一①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由（2）知2k1k2+1=0，
所以，故．
因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，
所以，
即，
所以，
整理得，
所以
所以．方法（二）①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，
解得，
所以，
同理，得．
由（2）2k1k2+1=0，得，
所以
=，
②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36．
综上：OP2+OQ2=36．
【点评】本题考查椭圆方程的运用，以及直线和圆的位置关系：相切，考查点到直线的距离公式和直线方程的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．
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学好语文的方法和技巧
一、培养良好的阅读习惯
良好的阅读习惯对形成阅读能力、保证阅读质量、提高阅读效率、顺利达到阅读目的有着重要作用。

小学语文教材丰富多彩，有文学性的、常识性的、说理性的、科普性的等等，学生读好这些文章在整个小学阶段至关重要。

要培养每天阅读的习惯。

从一年级开始，逐渐培养学生在校在家经常阅读的习惯，保证每天都有一段读书时间。

如此，学生就会自然而然地养成每天阅读的习惯，循序渐进，慢慢进入正轨，最后形成儿童的自觉行为。

要培养专心阅读的习惯。

要给小学生营造一个良好的外部环境，使其能够集中精力、安心读书。

同时，作息要有规律，该阅读时专心阅读，该休息时及时休息，该游戏时快乐游戏。

二、培养良好的书写习惯
写字是一项重要的基本功，规范、端正、整洁地书写汉字是有效进行书面交流的基本保证，也是学生学习语文和其他课程，形成终身学习能力的基础。

有些小学生存在坐姿及执笔方法不正确，书写字体歪斜、不工整、字迹潦草，缺乏书写的自信心和自觉性等问题。

培养良好的书写习惯，首先要增强书写的自信心。

由于小学生的自我认识和自我评价能力较差，往往老师一句不经意的表扬，一句勉励的话语都会影响他们一生。

因此，要辩证地对待学生书写的问题和不足，正面地、积极地引导学生，在点评、打分的时候尽量放宽尺度，逐渐增强小学生书写的自信心，养成喜爱书写的习惯。

其次，要培养书写的兴趣。

学习兴趣是学习活动中最现实、最活跃的成分。

事实表明，小学生对不感兴趣的事是做不好的。

因此，要培养良好的书写习惯，就必须培养浓厚的书写兴趣。

要上好习字课，强化学生书写训练;要经常开展一些有趣的活动，比如“看谁写得好”、“争
当小小书法家”等活动，让学生在活动中学习、锻炼和提高。

再次，教师的书写水平直接影响着学生的书写心态和情绪，因此要给学生树好榜样，让学生向老师学习、向老师看齐。

三、培养良好的复习习惯
孔子曰：“温故而知新，可以为师矣。

”语文学习要战胜遗忘，就不能忽视强化学习即复习的重要性。

学生是学习的主体，要想获得牢固的知识，不仅要靠课堂上老师的讲解和课堂上的练习，更关键的是还要培养学生主动积极复习的习惯。

因此，教师应该布置一些开放性的课外作业，如：让学生上网查阅资料，根据课文特点设计相应的填空，根据课文想象作画等等，让学生通过这些趣味性的、开放性的作业对旧知识有个整体的、及时的回顾，从而逐渐加深对旧知识的印象，另外，还要定期不定期地抽查学生对旧知识的掌握，以免学生遗忘，渐渐使学生养成良好的复习习惯。

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