(新)高中数学第二章参数方程单元检测北师大版选修4-41

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北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(答案解析)

一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l ：230x y -+=的距离的最小值为（）A ．23B ．223C ．233D ．22．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（） A ．6B ．5C ．8D ．73．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（）A ．31,31⎡⎤---⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1-- 4．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ． B ．C ．D ．5．直线122x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数）被圆229x y +=截得的弦长等于（）A ．125B 910C 92D 1256．已知点A ，B 是曲线2241x y +=上两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则2211OAOB+=（）A ．34 B ．1C ．54D ．57．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（）A ．)621B ．()621C ．125D ．2458．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x +-的取值范围是（） A ．30,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．31,13⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（） A ．27B ．60C ．72D ．3010．曲线C 的参数方程为{2x sin cos y sin cos αααα=-=（α为参数），则它的普通方程为（）A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．21y x =-+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦D ．21y x =+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦11．直线（为参数）与圆(为参数)的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．过圆心D ．相交不过圆心 12．直线320{20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．160二、填空题13．若曲线22sin sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),与直线y a =有两个公共点则实数a 的取值范围是__________.14．在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，设为曲线上一动点，则的取值范围为_____________15．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.16．直线122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长为_________.17．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5,4x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数），圆C 的参数方程是cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 与圆C 交于两个不同的点A 、B ，当点P 在圆C 上运动时，PAB ∆面积的最大值为__________.19．已知曲线C ：2x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，与直线l ：1324x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，交于A B ，两点，则AB =___________．20．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩[]0,πθ∈，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos bρθθ=-．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_______．三、解答题21．已知直线l的参数方程为2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，()2,0P ，曲线C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 中点为Q ，求弦长AB 以及PQ . 22．将圆224x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得曲线C ．（1）求出C 的参数方程;（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设P 是曲线C 上的一个动点，求点P到直线:20l x y +-=距离的最小值． 23．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为(0)6πθρ=>.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程；（2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积.24．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l的参数方程为：2242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），两曲线相较于M ，N 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若()2,4P --，求PM PN +的值. 25．在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为4x ty kt=-⎧⎨=⎩，(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1yx k，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线1C . 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线3l的方程为:sin()4πρθ-=（1）求曲线1C 的普通方程；（2）设点A 在3l 上，点B 在1C 上，若直线AB 与3l 的夹角为4π，求AB 的最大值. 26．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的极坐标方程；（2）已知点()1,0M ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求MA MB -的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ，则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1的距离的最小值为3．故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，直线2413x ty t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=，可得圆心(2,1)C ，半径为=5r，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为4d ==，由圆的弦长公式可得，弦长6L ===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3． B解析：B 【分析】将曲线C 的方程22312sin ρθ化为直角坐标形式，可得2213x y +=，设x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程22312sin ρθ，可得：2222sin 3ρρθ+=，即2233x y +=，2213x y +=设3cos x α=，sin y α=，可得313cos sin 12(cos sin )12sin()12213x y πααααα+-=-=+++--=，可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-，故选：B. 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.4．D解析：D 【解析】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(含答案解析)(4)

一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（）A B 5C ．3D 3+2．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（） A ．6B ．5C ．8D ．73．在平面直角坐标系xOy 中，曲线3cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线84:1x t l y t=+⎧⎨=-⎩的距离的最大值为（）A BC D 4．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 5．直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数）被圆229x y +=截得的弦长等于（）A ．125B C D 6．已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 4cos ()sin x y 为参数ααα=⎧⎨=⎩，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到点T 的距离的最大值为（）A ．2+BC ．4+D ．7．直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2212x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]39，C ．D ．8．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) A ．74B ．73C ．72D ．759．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-10．直线22{x ty t=+=-（t 为参数）被曲线4cos p θ=所截的弦长为( )A ．4B ．855C ．1655D ．811．极坐标系中，由三条曲线围成的图形的面积是（）A ．B ．C ．D ．12．参数方程22sin {12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈二、填空题13．已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=，l 与圆224x y +=相交与两点,A B ，则点P 到,A B 两点的距离之积为____.14．点P 在椭圆7x 2+4y 2=28上，则点P 到直线3x －2y －16=0的距离的最大值为________ 15．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______． 16．直线170{?270x tsin y tcos =+=+（t 为参数）的倾斜角为_________17．直线12232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长为_________.18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C 的直角坐标方程为__________19．已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,曲线1C 、曲线2C 的交点为,,A B 则弦AB 的长为______.20．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>．过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2{4x ty t=-+=-+（t 为参数）．设直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．若,,PM MN PN 成等比数列，则a 的值为________．三、解答题21．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，0），（32π，），圆C的参数方程222x cos y sin θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．()1写出曲线C 的极坐标方程； ()2设点M的极坐标为4π⎫⎪⎭，过点M 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若2MA MB =，求AB 的弦长．23．极坐标系中椭圆C 的方程为2222cos 2sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．（Ⅰ）求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为(),P x y，求x 的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦AB ，CD 交于点Q ，且直线AB 与CD 的倾斜角互补，求证：QA QB QC QD ⋅=⋅．24．在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为4x ty kt=-⎧⎨=⎩，(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1yx k，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线1C . 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线3l的方程为:sin()4πρθ-=（1）求曲线1C 的普通方程；（2）设点A 在3l 上，点B 在1C 上，若直线AB 与3l 的夹角为4π，求AB 的最大值. 25．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若曲线C 上两点,M N ，有OM ON ⊥，求OMN 面积最小值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()3,0P，倾斜角为6π，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．A解析：A【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，直线2413x ty t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=，可得圆心(2,1)C ，半径为=5r ，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为4d ==，由圆的弦长公式可得，弦长6L ===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．B解析：B 【分析】将直线84:1x tl y t =+⎧⎨=-⎩，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值. 【详解】84:1x tl y t=+⎧⎨=-⎩ 可得：4120x y +-=根据点到直线距离公式，可得C 上的点到直线l 的距离为=≤=【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.4．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.5．D解析：D 【分析】先消参数得直线普通方程，再根据垂径定理得弦长. 【详解】直线122x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数），消去参数化为普通方程：230x y -+=．圆心()0,0O 到直线的距离d =，∴直线被圆229x y +=截得的弦长==.故选D ．【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及垂径定理，考查基本分析求解能力，属基础题.6．A解析：A 【分析】首先求出曲线T 的直角坐标系方程，设点(4cos ,sin )M αα，求出点M 到直线T 的距离，利用三角函数即可求出点M 到直线T 的距离的最大值．【详解】由曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，可得曲线T 的直角坐标方程为2200x y +-=，由于点M 为曲线C 的一个动点，故设点(4cos ,sin )M αα，则点M 到直线T 的距离：2sin()d αϕ===+-所以当sin()1αϕ+=-时，距离最大max 2d =+，点M 到直线T的距离的最大值为2+故答案选A 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的相关知识，考查推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．7．B解析：B 【解析】分析：求出A （﹣3，0），B （0，﹣3），=P （α，α），点P 到直线x+y+2=0的距离：=，∈，由此能求出△ABP 面积的取值范围．详解：∵直线x+y+3=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，∴A （﹣3，0），B （0，﹣3），=，∵点P 在圆（x ﹣1）2+y 2=2上，∴设P （αα）， ∴点P 到直线x+y+3=0的距离：=， ∵sin ()4πα+∈[﹣1，1]，∴， ∴△ABP面积的最小值为13,2⨯= △ABP面积的最大值为19,2⨯= 故答案为：B ．点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P （αα），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.8．A解析：A【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以c=7.所以e ＝74. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=9．B解析：B 【解析】设直线参数方程12,()322x t t y t 为参数⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线，得2122(33)160,16,t t t t -++==由参数t 的几何意义可知，PA PB ⋅1216t t ==．选B.【点睛】对于过定点P 且知道倾斜角（或斜率）的直线，与曲线交于两点A,B,求22,,PB PA PB PA PB PA +⋅+等式子的值时，我们常设直线的参数方程，再利用参数t 的几何意义解题．10．A解析：A 【解析】由直线的参数方程可得，直线的普通方程为220x y +-=，又由24cos 4cos ρθρρθ=⇒=，可得2240x y x +-=表示以(2,0)为圆心，半径为2的圆，此时圆心在直线220x y +-=上，所以截得的弦长为4，故选A. 考点：参数方程与普通方程的互化；极坐标方程与直角坐标方程的互化.11．A解析：A 【解析】试题分析：将极坐标方程化为直角坐标方程为，，，直线与轴的交点为（1,0），与的交点为（，），所以这三条曲线围成图形为顶点为（0,0），（，），（1,0）的三角形，其的面积为=，故选A.考点：极坐标方程与直角坐标方程互化；两直线的交点；三角形面积公式12．D解析：D 【解析】试题分析：2cos212sin θθ=-,22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2y θ∴=-,代入22sin x θ=+可得22yx =-,整理可得240x y +-=.[]2sin 0,1θ∈,[]22sin 2,3θ∴+∈,即[]2,3x ∈.所以此参数方程化为普通方程为[]240,2,3x y x +-=∈.故D 正确. 考点：参数方程与普通方程间的互化.【易错点睛】本题主要考查参数方程与普通方程间的互化,属容易题.在参数方程与普通方程间的互化中一定要注意x 的取值范围,否则极易出错.二、填空题13．2【分析】由题意可得出直线的参数方程再代入圆的方程利用根与系数的关系及直线参数方程的几何意义即可求出【详解】因为直线经过点倾斜角所以直线的参数方程为：（为参数）代入圆得到：设对应的参数分别为则所以故解析：2 【分析】由题意可得出直线的参数方程，再代入圆的方程，利用根与系数的关系及直线参数方程的几何意义即可求出. 【详解】因为直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=，所以直线l 的参数方程为：31112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入圆224x y +=得到：2(13)20t t +-=，设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则(1213t t +=-+，122t t =-，所以122PA PB t t ⋅=⋅= 故答案为：2 【点睛】本题考查了直线的参数方程以及几何意义，属于一般题.14．【分析】可设点坐标是点到直线的距离由此能求出点到直线的距离的最大值【详解】在椭圆上椭圆的标准方程是可设点坐标是点到直线的距离故答案为【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用以及点到直线的距离公式辅助角公式解析：2413【分析】可设P点坐标是()2cosαα，点P到直线32160x y--=的距离()16d sinαθ==+-，由此能求出点P到直线32160x y--=的距离的最大值.【详解】P在椭圆227428x y+=上，椭圆227428x y+=的标准方程是22147x y+=，可设P点坐标是()()2cos,0360ααα≤<，∴点P到直线32160x y--=的距离d=()()16,0360sinαθθ=+-≤<，maxd∴=.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用以及点到直线的距离公式、辅助角公式的应用，属于中档题. 利用辅助角公式()sin cos)f x a x b x xωωωϕ=+=+可以求出:①()f x的周期2πω;②单调区间（利用正弦函数的单调区间通过解不等式求得）；③值域⎡⎣；④对称轴及对称中心，由2x kπωϕπ+=+可得对称轴方程，由x kωϕπ+=可得对称中心横坐标.15．【分析】设B（4cosθ4sinθ）M（xy）又A（22）结合可得消去参数得答案【详解】如图设且则即到的距离为定长点N的坐标是故答案为【点睛】本题考查平面向量的坐标运算考查圆的参数方程是中档题解析：()2,2【分析】设B （4cosθ，4sinθ），M （x ，y ），又A （2，2），结合OM OA OB =+可得4242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩，消去参数得答案．【详解】如图，设()4cos ,4sin B θθ，(),M x y ，()2,2A ，且OM OA OB =+，()(),4cos 2,4sin 2x y θθ∴=++，则{4cos 24sin 2x y θθ=+=+，即22(2)(2)16x y -+-=． M ∴到()2,2N 的距离为定长，∴点N 的坐标是()2,2．故答案为()2,2．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查圆的参数方程，是中档题．16．【解析】试题分析;利用直线的参数方程求出直线的普通方程求出直线的斜率然后求出直线的倾斜角详解：直线的普通方程为：y-2=（x-1）cot70°直线的斜率为：cot70°=tan20°所以直线的倾斜角解析：20【解析】试题分析;利用直线的参数方程求出直线的普通方程，求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角．详解：直线170{270x tsin y tcos =+=+的普通方程为：y-2=（x-1）cot70°，直线的斜率为：cot70°=tan20°．所以直线的倾斜角为：20°．故答案为20°．点睛：本题是基础题，考查直线的参数方程与普通方程的互化，直线的倾斜角的求法，考查计算能力．其次这个题目也考查到直线的倾斜角和直线的斜率的关系，由直线倾斜角的值即为直线的斜率，当直线的倾斜角为九十度时，斜率不存在，一般求角的值直接由正切值可得到结果，求角的范围可结合正切函数的图像得到.17．【分析】将直线的参数方程代入双曲线方程利用根与系数关系结合弦长公式求得弦长【详解】将直线代入得即所以所以弦长为故填：【点睛】本小题主要考查利用直线参数方程中参数的几何意义求弦长考查直线和双曲线的位置解析：【分析】将直线的参数方程代入双曲线方程，利用根与系数关系，结合弦长公式，求得弦长.【详解】将直线1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y -=得2212122t ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即212302t t -++=，2460t t --=，所以12124,6t t t t +=⋅=-，所以弦长为==. 故填：.【点睛】本小题主要考查利用直线参数方程中参数的几何意义求弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于基础题.18．【解析】分析：利用同角三角函数关系式中的平方关系消去参数求曲线C 的直角坐标方程详解：由线的参数方程为（为参数）利用可得曲线C 的直角坐标方程为点睛：该题考查的是有关曲线的参数方程向普通方程的转化在解题解析：221416x y +=. 【解析】分析：利用同角三角函数关系式中的平方关系，消去参数求曲线C 的直角坐标方程.详解：由线C 的参数方程为2,4x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），利用22cos sin 1θθ+=可得曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=. 点睛：该题考查的是有关曲线的参数方程向普通方程的转化，在解题的过程中，对应的关键步骤就是消参，用到的知识点就是三角函数的平方关系.19．【解析】分析：根就极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线的直角坐标方程联立方程组求得点的坐标利用两点间的距离公式即可求解的长详解：由将曲线与的极坐标方程转化为直角坐标方程为:即故为圆心为半径为的圆:即表解析：32 【解析】分析：根就极坐标与直角坐标的互化公式，求得曲线12,C C 的直角坐标方程，联立方程组，求得点的坐标，利用两点间的距离公式，即可求解AB 的长.详解：由222x y ρ=+,tan =y x θ,将曲线1C 与2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为 1C :226x y x +=,即()2239x y -+=,故1C 为圆心为(3,0),半径为3的圆,2C :=4πθ,即y x =,表示过原点倾斜角为4π的直线，因为226y x x y x =⎧⎨+=⎩的解为1100x y =⎧⎨=⎩，2233x y =⎧⎨=⎩，所以32AB =. 点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及直线与圆的弦长的求解，其中熟记极坐标与直角的坐标互化，以及直线与圆的位置关系的应用是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及推理与计算能力.20．1【解析】试题分析：曲线则所以可得直角坐标系方程为将直线的参数方程代入抛物线方程得：若成等比数列所以化简得又因为所以考点：化极坐标和参数方程化为普通方程解决问题解析：1【解析】试题分析：曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，则，所以可得直角坐标系方程为22y ax ，将直线的参数方程代入抛物线方程得：2t (82)1640a t a -+++=121282,164t t a t t a +=+⋅=+若,,PM MN PN 成等比数列，所以22212121212||,()()4MN PM PN t t t t t t t t =∴-=+-=，化简得2(4)5(4)a a +=+又因为04a a ><-或，所以1a =．考点：化极坐标和参数方程化为普通方程解决问题．三、解答题21．见解析【分析】（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l 与圆C 的位置关系．【详解】解：（Ⅰ）M ，N 的极坐标分别为（2，02π，），所以M 、N 的直角坐标分别为：M （2，0），N （0，3），P 为线段MN 的中点（1，直线OP 的平面直角坐标方程y x =；（Ⅱ）圆C的参数方程222x cos y sin θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x ﹣2）2+（y 2＝4，圆的圆心坐标为（2，2，直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，02π，），方程为y 32=-（x ﹣2）=（x ﹣2+3y ﹣=0．32==＜2，所以，直线l 与圆C 相交．【点睛】本题考查圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．22．（1）4sin ρθ=；（2）3【分析】()1将参数方程转化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．()2设直线l 的参数方程是11x t cos y t sin θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(θ为参数)，与圆的方程联立可得()2220t cos sin t θθ+--=，结合题意和直线参数的几何意义可得弦长123AB t t =-=．【详解】()1曲线C 的参数方程为222x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)．∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=，∴曲线C 的极坐标方程为240sin ρρθ-=，即曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．()2设直线l 的参数方程是11x t cos y t sin θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(θ为参数)①，曲线C 的直角坐标方程是2240x y y +-=，②，①②联立，得()2220t cos sin t θθ+--=，122t t ∴=-，且2MA NB =，122t t ∴=-，则12t =，21t =-或12t =-，21t =，AB ∴的弦长123AB t t =-=．【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程的转化方法，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．（Ⅰ）[]22-,；（Ⅱ）证明见解析【分析】（Ⅰ）将椭圆的极坐标方程化为直角坐标方程,即可设x θ=,y θ=,则x θθ=,进而求解；（Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α,直线CD 的倾斜角为πα-,()00,Q x y ,将直线AB 的参数方程代入椭圆的直角坐标方程中,由韦达定理可得12t t ,设A 、B 对应参数分别为1t 、2t ,则12QA QB t t ⋅=,同理可求得QC QD ⋅,即可得证.【详解】(Ⅰ)由已知，2222cos 2sin 2ρθρθ+=，即2222x y +=，所以该椭圆的直角坐标方程为2212x y +=,设x θ=,y θ,所以2sin 4x πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以x 的取值范围是[]22-,（Ⅱ）证明:设直线AB 的倾斜角为α,直线CD 的倾斜角为πα-,()00,Q x y则直线AB 的参数方程为00cos sin x x t x y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,代入2222x y +=得()()2200cos 2sin 20x t y t αα+++-=,即()()()222220000cos 2sin 2cos 4sin 220t x y t x y αααα+++++-=, 设A 、B 对应参数分别为1t 、2t ,则2200122222cos 2sin x y QA QB t t αα+-⋅==+, 同理()()2222000022222222cos 2sin cos 2sin x y x y QC QD παπααα+-+-⋅==-+-+, 所以QA QB QC QD ⋅=⋅【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查参数方程的几何意义的应用,考查运算能力.24．（1）2240(0)x y x y +-=≠.（2）4+【分析】（1）将直线1l 的参数方程转化为普通方程，联立2l 的方程并消去k ，再根据直线12,l l 斜率存在且不为零，即可得到曲线1C 的普通方程；（2）先求出直线3l 的普通方程，点B 到直线3l 的距离为d ，由题意可得AB =，求出B 到直线3l 的距离的最大值，即可求出AB 的最大值.【详解】（1）直线1l 可化为：(4)y k x =--，代入2l ，消去k 可得：2(4)y x x =--，整理得：2240x y x +-=；由直线12,l l 斜率存在且不为零，则0y ≠，曲线1C 的普通方程为：2240(0)x y x y +-=≠.（2）由sin()4πρθ-=sin cos 2ρθρθ-=，所以直线3l 的普通方程为：2y x =+，设点B 到直线3l 的距离为d ，由AB 与3l 的夹角为4π，可得AB =，求AB 的最大值可转化为点B 到直线3l 的距离d 的最大值，d 的最大值即圆心()12,0C 到直线3l 的距离加上半径，所以max 22d =+=+，即max max 4AB ==+.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的转化，考查了轨迹方程的求法以及直线与圆位置关系，考查学生分析转化能力，属于中档题.25．（1）()2213sin 4ρθ+=（2）45 【分析】（1）将曲线C 的参数方程消去参数，可得曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可得解；（2）设出M ，N 两点的坐标，代入曲线C 的极坐标方程，求出2212ρρ，化简得221221694sin 24ρρθ=+，再根据三角函数的范围即可求出2212ρρ的范围，从而得解. 【详解】（1）由曲线C 的参数方程2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得曲线C 的普通方程为：2244x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2244x y +=，得曲线C 的极坐标方程为：()2213sin 4ρθ+=. （2）设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入曲线得： ()22113sin 4ρθ+=，()22213cos 4ρθ+=，则()()221222222161616166492549sin cos 2513sin 13cos 4sin 244ρρθθθθθ===≥=++++，当4πθ=，34π，54π，74π时可以取到等号，所以OMN 面积为121425S ρρ=≥. 故OMN 面积最小值为45【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识，属于中档题.参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；普通方程化为极坐标方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可化为极坐标方程；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程.26．(1):cos sin 30l ρθθ-=；22:143x y C +=；. 【分析】(1)首先根据直线l 经过点()3,0P 以及倾斜角为6π得出直线l 的直角坐标方程，然后根据直角坐标方程与极坐标方程的转化得出直线l 的极坐标方程，最后根据曲线C 的参数方程得出曲线C 的直角坐标方程；(2)本题首先可以根据直线l 的直角坐标方程得出直线l 的参数方程，然后将直线l 的参数方程代入曲线C中得213600t ++=，最后借助韦达定理即可得出结果.【详解】(1)因为直线l 经过点()3,0P ，倾斜角为6π，所以直线l的直角坐标方程)3y x =-，则其极坐标方程为cos sin 30ρθθ-=，因为曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以曲线C 的直角坐标方程22143x y +=． (2)因为直线l的直角坐标方程为)3y x =-，所以直线l的参数方程为3:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将3:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C中得213600t ++=，因为直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，所以0∆>，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t所以12t t +=1260013t t =>，10t <，20t <，故()1212PA PB t t t t +=+=-+=. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程以及直角坐标方程的相互转化，直角坐标方程转化为极坐标方程有cos x ρθ=以及sin y ρθ=，考查化归与转化思想，考查参数方程的应用，是中档题.。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(含答案解析)(5)

一、选择题1．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]2．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（）A．)61B．)61C ．125D ．2453．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（） ABCD4．已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（） A ．(3,3)-B．3)-C．(D．3(,5．已知椭圆C 的参数方程为3cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 的两个焦点坐标是（）A ．(4,0)±B ．(0,4)±C．(D．(0,6．已知椭圆()222210,x y a b M a b+=>>为椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点则线段1MF 的中点P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．线段7．已知M 为曲线3sin :cos x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，设O 为原点，则OM 的最大值是A ．1B ．2C ．3D ．48．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A．6+B ．16C ．8D．6-9．直线34x t y t =-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P( )A ．()4,3B ．()4,5-或()0,1C ．()2,5D ．()4,3或()2,510．曲线C 的参数方程为{2x sin cos y sin cos αααα=-=（α为参数），则它的普通方程为（）A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．21y x =-+，x ⎡∈⎣D ．21y x =+，x ⎡∈⎣11．已知圆()22:11M x y -+=,圆()22:11N x y ++=,直线12,l l 分别过圆心,M N ,且1l 与圆M 相交于,A B 两点,2l 与圆N 相交于,C D 两点,点P 是椭圆22149x y+=上任意一点,则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为（） A ．7B ．8C ．9D ．1012．已知两条曲线的参数方程1C ：5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和2C ：4cos 453sin 45x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数），则这两条曲线的交点为端点的线段的长度是（） A ．5B．C ．7D．二、填空题13．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________．14．已知圆C 的参数方程{ 1x cos y sin αα==+（α为参数），以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为__________．15．已知圆22:1O x y +=和点()2,0A -，若定点()(),02B b b ≠-和常数λ满足，对圆O 上任意一点M ，都有MB MA λ=，则λ= _____ .16．无论k 取任何实数，直线2y kx =+与椭圆()2 θx cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数恒有交点，则实数m 的取值范围是_____。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测卷(答案解析)

一、选择题1．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C ：3cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，则PQ 的最小值是（） A ．522B ．22C ．2D ．3222．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（） A ．6 B ．5 C ．8 D ．73．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心4．参数方程（为参数）所表示的图象是A ．B ．C ．D ．5．参数方程21,11x ty t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）所表示的曲线是（）A ．B ．C ．D ．6．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ) A 22B ．22C 6D ．47．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)228．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．49．在极坐标系中，点()M 1,0关于极点的对称点为( ) A ．()1,0B ．()1,π-C ．()1,πD ．()1,2π10．曲线的参数方程为2211x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），则曲线是（）．A ．抛物线B ．双曲线的一支C ．圆D ．直线11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为12x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ （t 为参数）和22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．012．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（）A ．B ．2C ．D ．2二、填空题13．已知曲线C 参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 方程为：250x y -+=，将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线1C ，则曲线1C 上的点到直线l 距离的最小值为______.14．已知直线l 的普通方程为x+y+1=0，点P 是曲线3(x cos C y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩：为参数）上的任意一点，则点P 到直线l 的距离的最大值为______．15．点P 在椭圆7x 2+4y 2=28上，则点P 到直线3x －2y －16=0的距离的最大值为________ 16．点(),M x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2m x y =+的最大值为______ 17．已知曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线:350l x y +=-上的动点，则PQ 的最小值为________．18．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨ ⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.19．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：3sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），P 为曲线C 上的动点，直线的方程：4x y +=，则点P 到直线的距离d 的最小值为____ 20．已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=，则直线l 与圆C 的公共点的直角坐标为．三、解答题21．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为(0)6πθρ=>. （1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程；（2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积.22．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB的长度为l 的普通方程．23．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，（α为参数），直线l的参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求MP MQ +的值．24．已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.25．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为6cos 1sin x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 是圆C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最小值．26．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 过点P （2，2）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ﹣ρcos 2θ﹣4cos θ＝0. （1）求C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 交于A ，B 两点，求PA PB PA PB-⋅的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设点,sin )Q θθ，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数，设点,sin )Q θθ，则点Q 到直线:40l x y +-=的距离为d ==，当2,6k k Z πθπ=+∈时，min d ==故选：C. 【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.2．A解析：A 【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，直线2413x ty t=-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=，可得圆心(2,1)C ，半径为=5r ，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为4d ==，由圆的弦长公式可得，弦长6L ===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.4．D解析：D 【解析】【分析】由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测(含答案解析)(1)

一、选择题1．设直线1l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为34y x =+，则1l 与2l 的距离为（）A ．1BCD ．22．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（） AB5C ．3D3+3．已知直线l的参数方程为2x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则FA FB ⋅的值等于（） A ．1BCD ．24．已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 4cos ()sin x y 为参数ααα=⎧⎨=⎩，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到点T 的距离的最大值为（） A．2+BC．4+D．5．已知点()1,2A -，()2,0B ，P为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（） A ．[]1,7B ．[]1,7-C．1,3⎡+⎣D．1,3⎡-+⎣6．已知12,F F 椭圆22184x y +=的左右焦点,Q ，P 是椭圆上的动点,则1PQ PF ⋅的最大值为( )A ．4B ．92C ．5D．47．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．578．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) A．4B．3C．2D．59．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°10．直线320{ 20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．16011．已知圆()22:11M x y -+=,圆()22:11N x y ++=,直线12,l l 分别过圆心,M N ,且1l 与圆M 相交于,A B 两点,2l 与圆N 相交于,C D 两点,点P 是椭圆22149x y+=上任意一点,则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为（） A ．7B ．8C ．9D ．1012．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A到直线sin()6πρθ+=的距离的最大值是（）A．2BCD．二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．已知直线l 的普通方程为x+y+1=0，点P是曲线(x C y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩：为参数）上的任意一点，则点P 到直线l 的距离的最大值为______．15．直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.16．已知曲线C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 的极坐标分别为(2,)A π，4(2,)3B π．设M 为曲线C 上的动点，过点M 作一条与直线AB 夹角为30︒的直线l 交直线AB 于点N ，则MN 的最大值是_________． 17．直线被圆所截得的弦长为．18．无论k 取任何实数，直线2y kx =+与椭圆()2 θm x cos y sin θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数恒有交点，则实数m 的取值范围是_____。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(答案解析)(6)

一、选择题1．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（） A ．(3,4)B．⎝ C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭2．已知12,F F 椭圆22184x y +=的左右焦点,Q ，P 是椭圆上的动点,则1PQ PF ⋅的最大值为( )A ．4B ．92C ．5D．43．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个4．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ) AB ．22CD ．45．直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2212x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]39，C． D．6．曲线的参数方程为2211x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），则曲线是（）．A ．抛物线B ．双曲线的一支C ．圆D ．直线7．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x+-的取值范围是（）A．⎡⎢⎣⎦B．1,1⎡+⎢⎣⎦C．1,1⎡+⎢⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC（sin θ+cos θ）=rD（sin θ+cos θ）=-r9．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b10．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（）A ．2404424b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．2402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b11．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A到直线sin()6πρθ+=的距离的最大值是（）ABCD．12．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（） A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0二、填空题13．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______．14．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭F 到直线l 的距离为______．15．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________．16．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程是1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0θπ≤≤），直线l 的极坐标方程是sin 24a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若曲线C 与直线l 有交点，则a 的取值范围是_______. 17．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________．18．在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,点A(2,1),B(0,2),点P 在圆()2211x y -+=上运动,若OA xOB yOP =+，则2x y +的最小值为________.19．变量,x y 满足21x t y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数），则代数式22y x ++的最小值是__________．20．直线3,423x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），点C 在椭圆2214x y +=上运动，则椭圆上点C 到直线l 的最大距离为______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2343x aty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点)3,0P作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE-的值．22．在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程是1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求||AB 的值. 23．已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数).（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.24．已知直线l的参数方程为12{2x ty ==(t 为参数)，曲线C 的参数方程为4cos {4sin x y θθ==(θ为参数)． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长． 25．已知曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=.（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值.26．平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为212x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.且曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程；（2）若点M 的极坐标为(1,)2π，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.2．B解析：B 【分析】利用椭圆的参数方程设出椭圆上的点(),2P sin αα，利用平面向量的数量积公式求得1PQ PF ⋅的表达式为244sin αα--,然后根据二次函数的性质求解最值即可. 【详解】椭圆22184x y +=左、右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，设()(,2,P sin Q αα，()()1222cos ,22,2,2PQ sin PF sin αααα=--=---， ()()1222,2PQ PF sin sin αααα⋅=-⋅---2248cos 4sin ααα=-+-+22944sin 42sin ααα⎛=--=-+ ⎝⎭，当24sin α=-时，1PQ PF ⋅的最大值为92，故选B. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质、参数方程的应用,三角函数结合配方法求解最值,考查转化思想以及计算能力.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.3．B解析：B 【分析】首先，将给定的参数方程和极坐标方程化为普通方程，然后，利用直线与圆的位置关系, 圆心到直线的距离为224222d -+==,进行判断．【详解】∵直线l 的参数方程为(4x tt y t=⎧⎨=+⎩ 为参数．所以它的普通方程为：40x y -+=， ∵曲线C 的极坐标方程为42sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()42sin 4sin cos 4πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，两边同乘ρ，得2244x y x y +=+，所以直角坐标方程为()()22228x y -+-=，所以圆C 它的半径为22，圆心为()2,2，圆心到直线的距离为224222d -+==，所以直线l 和曲线C 的公共点有1个．故选B ．【点睛】这个题目考查了参数方程和极坐标方程化为普通方程，直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.4．A解析：A 【解析】【分析】设(6,2sin )P θθ，由此264sin 22)x y θθθϕ++=+，根据三角函数的有界性可得结果. 【详解】椭圆方程为22164x y +=,设,2sin )P θθ,则24sin )x y θθθϕ++=+ (其中tan ϕ=),故2x y +≤2x y +A. 【点睛】本题主要考查椭圆参数方程的应用，辅助角公式的应用，属于中档题. 利用公式()sin cos )f x a x b x x ωωωϕ=+=+ 可以求出:①()f x 的周期2πω;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域⎡⎣；④对称轴及对称中心（由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程，由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标. 5．B解析：B 【解析】分析：求出A （﹣3，0），B （0，﹣3），=P （α，α），点P 到直线x+y+2=0的距离：=，∈，由此能求出△ABP 面积的取值范围．详解：∵直线x+y+3=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，∴A （﹣3，0），B （0，﹣3），=，∵点P 在圆（x ﹣1）2+y 2=2上，∴设P （αα）， ∴点P 到直线x+y+3=0的距离：=， ∵sin ()4πα+∈[﹣1，1]，∴， ∴△ABP面积的最小值为13,2⨯=△ABP 面积的最大值为132329,2⨯⨯= 故答案为：B ．点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P （1+2cos α，2sin α），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.6．A解析：A 【解析】分析：根据平方关系22211()2t t t t -=+-消参数，再根据曲线方程确定曲线形状. 详解：参数方程为221{1x t t y t t=-=+，则222122x t y t=+-=-，整理得：22y x =+是抛物线．故选A ．点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．7．C解析：C 【解析】分析：由题意得曲线C 是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子111y x y x x +--=+，1y x-的形式可以联想成在单位圆上动点P 与点C （0，1）构成的直线的斜率，进而求解．详解：∵21x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩即21x cos y sin θθ-=⎧⎨-=⎩22211x y ∴-+-=（）（），其中[12]y ∈，由题意作出图形，111y x y x x+--=+，令11y k x-=+，则k 可看作圆22211x y ∴-+-=（）（），上的动点P 到点01C （，）的连线的斜率而相切时的斜率，由于此时直线与圆相切，在直角三角形ACB 中，303ACB k ∠=︒⇒=，由图形知，k 的取值范围是[0．则1y x x +-的取值范围是1,1⎡+⎢⎣⎦．故选C ．点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．8．D解析：D 【解析】分别出圆ρ=r 的直角坐标方程222x y r += 和圆ρ=-2r sin （θ+4π）（r ＞0）直角坐标方程22()x y x y +=+ ，从而求出两圆的公共弦所在直线的方程2())x y r x y r +=+=-．再化为极坐标方程为（sin θ+cos θ）=-r ，选D. 9．A解析：A 【分析】用参数表示出,x y ，由此化简22x y +，结合三角函数、二次函数的性质，求得22x y +的最大值. 【详解】记2cos x θ=，sin y b θ=，2224cos 2sin ()x y b f θθθ+=+=，222()4sin 2sin 44(sin )444b b f b θθθθ=-++=--++，[]sin 1,1θ∈-.若01044b b <⇒<，则当sin 4b θ=时()f θ取得最大值244b +；若144bb >⇒>，则当sin 1θ=时()f θ取得最大值2b . 故选：A 【点睛】本题考查的是椭圆的性质及椭圆的参数方程，可以从不同角度寻求方法求解，本题用了椭圆的参数方程结合三角函数的最值进行求解.10．A解析：A 【分析】设动点的坐标为(2cos ,sin )b θθ，将2cos ,sin x y b θθ==代入22x y +中整理化简求最值．【详解】解：设动点的坐标为(2cos ,sin )b θθ，则222224cos 2sin 2sin 424b b x y b θθθ⎛⎫+=+=--++ ⎪⎝⎭．当04b <时，()22max244b x y +=+；当4b >时，()222max224224b b x y b ⎛⎫+=--++= ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】本题考查与圆锥曲线有关的最值问题，可通过参数方程转化为三角函数求最值，是中档题．11．C解析：C 【分析】先将直线sin()6πρθ+=A 的坐标，利用点到直线的距离求解. 【详解】由直线sin()6πρθ+=1cos 2ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭0x +-=. 又点A 是曲线2213x y +=上任意一点，设),sin Aαα则点A0x +-=的距离为：d ==≤ 当sin 14πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时取得等号. 故选：C 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离,属于中档题.12．B解析：B【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】设B （4cosθ4sinθ）M （xy ）又A （22）结合可得消去参数得答案【详解】如图设且则即到的距离为定长点N 的坐标是故答案为【点睛】本题考查平面向量的坐标运算考查圆的参数方程是中档题解析：()2,2【分析】设B （4cosθ，4sinθ），M （x ，y ），又A （2，2），结合OM OA OB =+可得4242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩，消去参数得答案．【详解】如图，设()4cos ,4sin B θθ，(),M x y ，()2,2A ，且OM OA OB =+，()(),4cos 2,4sin 2x y θθ∴=++，则{4cos 24sin 2x y θθ=+=+，即22(2)(2)16x y -+-=． M ∴到()2,2N 的距离为定长，∴点N 的坐标是()2,2．故答案为()2,2．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查圆的参数方程，是中档题．14．【解析】【分析】求出抛物线直角坐标方程为直线的直角坐标方程为由此能求出点F 到直线l 的距离【详解】抛物线参数方程为为参数焦点为F 抛物线直角坐标方程为直线l 的极坐标方程为直线的直角坐标方程为点F 到直线l 2【解析】【分析】求出抛物线直角坐标方程为24y x =，()1,0F ，直线的直角坐标方程为10x y -+=，由此能求出点F 到直线l 的距离．【详解】抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ， ∴抛物线直角坐标方程为2y 4x =，()F 1,0，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ24⎛⎫-= ⎪⎝⎭222ρθθ222⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭∴直线的直角坐标方程为x y 10-+=，∴点F 到直线l 的距离为：d ==【点睛】本题考查点到直线的距离的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．【解析】分析：直接化参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程求出椭圆的左顶点代入直线的方程即可求得的值详解：由已知可得圆（为参数）化为普通方程可得故左顶点为直线（为参数）化为普通方程可得又点在直线解析：4-.【解析】分析：直接化参数方程为普通方程，得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的左顶点，代入直线的方程，即可求得a 的值.详解：由已知可得圆4cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程，可得22116x y +=，故左顶点为(4,0)-，直线x t y t a=⎧⎨=-⎩（t 为参数）化为普通方程，可得y x a =-，又点(4,0)-在直线上，故04a =--，解得4a =-，故答案是4-.点睛：该题考查的是有关直线的参数方程与椭圆的参数方程的问题，在解题的过程中，需要将参数方程化为普通方程，所以就需要掌握参数方程向普通方程的转化-----消参，之后要明确椭圆的左顶点的坐标，以及点在直线上的条件，从而求得参数的值.16．【分析】化参数方程为普通方程化极坐标方程为直角坐标方程根据图像判断有交点的情况即可求出的范围【详解】解：曲线的参数方程是（为参数）则曲线的普通方程为：直线的极坐标方程是则直线的直角坐标方程为：若直线解析：1,22⎡-⎢⎣⎦【分析】化参数方程为普通方程，化极坐标方程为直角坐标方程，根据图像判断有交点的情况，即可求出a 的范围.【详解】解：曲线C 的参数方程是1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0θπ≤≤），则曲线C 的普通方程为：()()22111x y -+-=()1y ≥ ，直线l 的极坐标方程是sin 24a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则直线l 的直角坐标方程为：20x y a -+=. 若直线l 和曲线C 有交点，则如图所示：当直线l 和曲线C 相切时，112212ad a -+===，则22a =±，由图可知，22a = 当直线过点()2,1时，2120a -+=，则12a =- 故a 的范围为：12,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：12,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是注意参数方程中参数的范围，本题属于中档题.17．【分析】连接则当面积最大时最大；设椭圆的参数方程为（为参数）那么利用点到线距离公式求解三角形的高得出的表达式并分析最值【详解】如图所示连接由椭圆的性质可知则且设椭圆的参数方程为（为参数）则点又直线的解析：32【分析】连接BF ，则OBPF OBF BPF S S S ∆∆=+，当BPF S ∆面积最大时，OBPF S 最大；设椭圆的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），那么()2,sin 02P πααα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，利用点到线距离公式求解三角形BPF 的高，得出BPF S ∆的表达式并分析最值.【详解】如图所示，连接BF ，由椭圆的性质可知()1,0F ，()0,1B ，则OBPF OBF BPF S S S ∆∆=+，且111122OBF S ∆=⨯⨯=，设椭圆2212x y +=的参数方程为2cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则点()2cos ,sin 02P πααα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，又直线BF 的方程为10x y +-=，则点P 到直线BF 的距离为：()2cos sin 13sin 131,tan 2222d αααϕϕ+-+--==≤=，所以11313122222BPF S BF d ∆--=⋅⋅≤⨯⨯=，所以OBPF S 的最大值为32OBPF OBF BPF S S S ∆∆=+=. 故答案为：32.【点睛】本题考查椭圆中的面积最值问题，难度一般，解答时要将问题灵活转化，可采用椭圆的参数方程求解.18．【分析】由圆的参数方程可设（为参数）再结合向量相等的坐标表示可得则=再结合三角函数的有界性即可得解【详解】解：因为点P 在圆上运动设（为参数）又则则所以==令则则即解得故即当时的最小值为故答案为：【点解析：1【分析】由圆的参数方程可设1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），再结合向量相等的坐标表示可得 ()2,1=()cos ,2sin y y x y θθ++，则2x y +=1sin 121cos θθ-++，再结合三角函数的有界性即可得解.【详解】解：因为点P 在圆()2211x y -+=上运动,设1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），又OA xOB yOP =+，则()()2,1(0,2)cos ,sin x y y y θθ=++()cos ,2sin y y x y θθ=++，则21cos y θ=+ ，2sin 11cos x θθ=-+，所以2x y +=4sin 21cos θθ-+21cos θ++=1sin 121cos θθ-++，令1sin 1cos t θθ-=+，则sin cos 1t t θθ+=-，则)1t θϕ+=-1t ≥-，解得0t ≥，故1sin 01cos θθ-≥+，即当1sin 01cos θθ-=+时，2x y +的最小值为1201+⨯=，故答案为：1.【点睛】本题考查了圆的参数方程、向量相等的坐标表示及三角函数的有界性，重点考查了运算能力，属中档题.19．【解析】（为参数）化为直角坐标方程为为四分之一椭圆如图所以的最小值是解析：23【解析】x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数）化为直角坐标方程为221(0,0)4y x x y +=≥≥ ，为四分之一椭圆，如图，所以22y x ++的最小值是022123PA k +==+20．【分析】将直线的参数方程改为直线的一般方程设椭圆上点坐标利用点到直线的距离公式进行计算可得最大值【详解】由得得设则点到的距离其中即椭圆上点到直线的最大距离为故答案为：【点睛】本题考查椭圆的参数方程的 91313【分析】将直线的参数方程改为直线的一般方程，设椭圆上点C 坐标()2cos ,sin C θθ，利用点到直线的距离公式进行计算可得最大值.【详解】由3,423x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩得4233x y =⨯+，得2340x y -+=，设()2cos ,sin C θθ，则点C 到AB 的距离()5sin 44cos 3sin 491313131313d θϕθθ++-+==≤=4tan 3ϕ=-.即椭圆上点C 到直线l 91313 91313【点睛】本题考查椭圆的参数方程的应用，考查点到直线距离公式的应用，考查正弦函数的性质，属于基础题.三、解答题21．（1）直线l 的普通方程为32y x =-，曲线C 的直角坐标方程为24y x =；（2）12．【分析】（1）将点A 的直角坐标代入直线的参数方程，求出a 的值，再转化成普通方程；在曲线方程两边同时乘以ρ，即可得到答案；（2）设直线DE的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），再利用参数的几何意义，即可得到答案；【详解】解：（1）由题意得点A的直角坐标为)，将点A代入4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 则直线l的普通方程为2y =-．由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =．故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（2）设直线DE的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =得20t +-=．设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t ．则12t t +=-12t t =-10t >，20t <． ∴1212121211111112t t PD PE t t t t t t +-=-=+==．【点睛】本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程的互化、直线方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.22．（Ⅰ）2220x y x +--=；（Ⅱ.【分析】（Ⅰ）曲线2C 的极坐标方程l转化为22cos sin ρρθθ=+，由此能求出曲线2C 的直角坐标方程．（Ⅱ）将曲线1C 的参数方程代入曲线2C的直角坐标方程，可得210t -=，设,A B对应的t 值分别为12t t 、，利用韦达定理可得12121t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩ 【详解】解：（Ⅰ）21:4cos 4cos 32C πρθθθ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos 23sin ρρθρθ=+即222230x y x x +--=（Ⅱ）由题意，联立22212022230x y x y x x ⎧=+⎪⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+--=⎪⎪⎩得2610t t -=设,A B 对应的t 值分别为12t t 、，则121261t t t t ⎧+=⎪∴⎨⋅=-⎪⎩ 1212||AB t t t t ∴=+=-()()221212124t t t t t t =-=+-⋅()26410=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.23．（1）220x y a --=；2216x y +=；（2）552,2-⎡⎣【分析】（1）利用所给参数方程消去参数即可求得普通方程；（2）首先求得圆心到直线的距离，据此得到关于实数a 的不等式，求解不等式即可求得最终结果．【详解】解：（1）直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩，消去t 可得220x y a --=；圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，两式平方相加可得2216x y +=；（2）因为2216x y +=，所以圆心(0,0)C ，半径4r =．由点到直线的距离公式可得圆心(0,0)C 到直线l 的距离d =直线l 与圆C 有公共点，4d ∴4，解得525a -，即a ⎡∈-⎣．【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．24．（1）x 2＋y 2＝16.(2)【分析】(1)根据三角函数平方关系消参数得结果，(2) 将直线l 的参数方程代入曲线C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理求弦长.【详解】解：(1)由曲线C ：44x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩得x 2＋y 2＝16，所以曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝16，整理，得t 2＋－9＝0.设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－t 1t 2＝－9.|AB |＝|t 1－t 2|【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及利用直线参数几何意义求弦长，考查基本求解能力. 属于基础题.25．（1）2213x y +=；40x y --=（2）【分析】（1）利用平方关系消参得出出曲线C 的普通方程，将cos()4πρθ+=展开得出cos sin 4ρθρθ-=，即可得出直线l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程设出点P 的坐标，由点到直线的距离公式结合余弦函数的性质，即可得出点P 到直线l 距离的最大值.【详解】（1）因为2222cos sin 1+=+=y θθ，所以曲线C ：2213x y +=；因为cos()4πρθ+=，所以cos sin 4ρθρθ-=，即直线l ：40x y --=.（2）设点,sin )P θθ则点P 到直线l距离d == 当cos()16πθ+=-，即56πθ=时，d=故点P 到直线l距离的最大值为【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，利用圆锥曲线的参数方程解决点到直线的距离问题，属于中档题.26．（1）10x y +-=；224x y x +=（2）【分析】（1）消去参数t ，得到直线的普通方程，再由cos x ρθ=，sin y ρθ=化成曲线C 的直角坐标方程；()2直线化为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），设A ，B 两点对应的参数为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，由参数的几何意义得1AM t =，2AN t =，代入求值．【详解】（1）由212x t y t =-⎧⎨=+⎩消去参数t ，得直线l 方程：10x y +-=，由4cos ρθ=，方程两边分别乘以ρ，cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩将代入得曲线C 的方程：224x y x +=. （2）因为M 的极坐标为(1,)2π，所以在直角坐标系中(0,1)M ，且M 在直线l 上，将直线10x y +-=，化成直线参数方程标准式1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设A ，B 两点对应的参数为1t ，2t代入224x y x +=得：210t ++=则12121t t t t +=-=，可知120,0t t <<1212121111||||t t MA MB t t t t +∴+=+== 【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程的转化、直线参数方程的几何意义，属于中档题．。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测卷(答案解析)(1)

一、选择题1．椭圆22:1169x y C +=上的点P 到直线:34180l x y ++=的距离的最小值为( )ABCD2．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为：24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知22451x y +=，则2x 的最大值是（） AB ．1C ．3D ．94．直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2212x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]39，C． D．5．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A．6+B ．16C ．8D．6-6．点M的直角坐标是()1-，则点M 的极坐标为（）A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭7．直线22{x ty t=+=-（t 为参数）被曲线4cos p θ=所截的弦长为( )A ．4BCD ．88．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t为参数），则直线与圆的位置关系是（） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心 C ．相切 D ．相离9．曲线1cos {2sin x y θθ=-+=+，（θ为参数）的对称中心（）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上10．动点1293cos 4sin 1,cos sin 2(55M θθθθθ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭为参数）的轨迹的普通方程为（）A ．22(1)(2)1259x y +-+=B ．22(1)(2)1259x y -++=C ．22(1)(2)1925x y +-+=D ．22(1)(2)1925x y -++=11．在平面直角坐标系中，参数方程2211x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 是参数）表示的曲线是（） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一条线段D ．一条射线12．已知圆()22:11M x y -+=,圆()22:11N x y ++=,直线12,l l 分别过圆心,M N ,且1l 与圆M 相交于,A B 两点,2l 与圆N 相交于,C D 两点,点P 是椭圆22149x y+=上任意一点,则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为（） A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题13．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ24⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则点F 到直线l 的距离为______．14．设,P Q 分别为直线,62x t y t =⎧⎨=-⎩（为参数）和曲线C ：15,25x y θθ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数）的点，则PQ 的最小值为_________．15．直线415{315x ty t =+=--（t 为参数）被曲线24πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截得的弦长为 .16．椭圆2219x y +=上的点P 到点(2,0)A 的最小距离为___________17．直线122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长为_________.18．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），P 为曲线C 上的动点，直线的方程：4x y +=，则点P 到直线的距离d 的最小值为____19．变量,x y满足x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数），则代数式22y x ++的最小值是__________． 20．曲线,1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）与曲线22cos 0ρρθ-=的直角坐标方程分别为_____，_____，两条曲线的交点个数为_____个. 三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点P的极坐标是23π⎫⎪⎪⎝⎭．（1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求PMN 的面积．23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.24．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆C 2的极坐标方程为28sin 150ρρθ++=.（1）求曲线C 1的方程普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）过圆C 2的圆心，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点，则求22+C A C B 的值.25．在直角坐标系xOy 中直线l 的参数方程为21222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．26．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩ (α为参数),以直角坐标系原点为极点,以x轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹；（2）若直线l 的极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=,求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，再利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可得答案. 【详解】设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，则点P 到直线l的距离12cos 12sin 185d θθ++==1818455πθ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=≥，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，等号成立. 因为[)0,2θ∈π，所以54πθ=. 所以当54πθ=时，d. 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意点的参数设法及三角函数的有界性运用.2．A解析：A 【分析】本题首先可以求出曲线C 的直角坐标方程，然后将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，根据韦达定理得出12t t +以及12t t 的值，再然后根据PM 、MN 、PN 成等比数列得出21212t t t t -=，最后将12t t +以及12t t 的值带入21212t t t t -=中，通过计算即可得出结果. 【详解】因为曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>所以曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>将直线l的参数方程2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线C 的直角坐标方程得：()2116402t t a -++=，设交点M 、N 对应的参数分别为1t 、2t ，则()122t t +=，()122164t t a =+，因为PM 、MN 、PN 成等比数列，所以21212t t t t -=，即212125t t t t =+，()()2410164a =+，解得1a =或4a =-（舍取），故满足条件的1a =，故选：A. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程的几何意义，考查韦达定理以及等比中项的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.3．A解析：A 【分析】设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值. 【详解】22451x y +=，则设1cos 2sin 5x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 4．B解析：B 【解析】分析：求出A （﹣3，0），B （0，﹣3），=P （α，α），点P 到直线x+y+2=0的距离：=，∈，由此能求出△ABP 面积的取值范围．详解：∵直线x+y+3=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，﹣3），=，∵点P在圆（x﹣1）2+y2=2上，∴设P（αα），∴点P到直线x+y+3=0的距离：=，∵sin()4πα+∈[﹣1，1]，∴，∴△ABP面积的最小值为13,2⨯=△ABP面积的最大值为19,2⨯=故答案为：B．点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P（αα），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.5．B解析：B【解析】设直线参数方程12,()2x tty为参数⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入曲线，得2122(3160,16,t t t t-+==由参数t的几何意义可知，PA PB⋅1216t t==．选B.【点睛】对于过定点P且知道倾斜角（或斜率）的直线，与曲线交于两点A,B,求22,,PBPA PB PA PB PA+⋅+等式子的值时，我们常设直线的参数方程，再利用参数t的几何意义解题．6．B解析：B【解析】3π7π2,tan(π,)26ρθθθ===∈⇒=，故选：B．点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.7．A解析：A 【解析】由直线的参数方程可得，直线的普通方程为220x y +-=，又由24cos 4cos ρθρρθ=⇒=，可得2240x y x +-=表示以(2,0)为圆心，半径为2的圆，此时圆心在直线220x y +-=上，所以截得的弦长为4，故选A. 考点：参数方程与普通方程的互化；极坐标方程与直角坐标方程的互化.8．B解析：B 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交．【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为25d ==<，即直线与圆相交. 故选B. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.9．B解析：B 【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.10．A解析：A 【分析】先设1293cos 4sin 1,cos sin 255x y θθθθ=--=++，再利用三角函数的同角关系消去参数即可得解. 【详解】设1293cos 4sin 1,cos sin 255x y θθθθ=--=++ 可得2222(1)(3cos 4sin )9cos 16sin 24sin cos x θθθθθθ+=-=+-，（1）22225(2)16cos 9sin 24sin cos 9y θθθθ-=++，（2）（1）+（2）可得：2225(2)(1)916259y x -++=+=，化简得：22(1)(2)1259x y +-+=.故选A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，属于基础题.11．D解析：D 【分析】参数方程2211x t y t⎧=-⎨=+⎩，消去参数t ，由于20t ≥，得到方程20x y +-=，1,1x y ≤≥，故表示的曲线是射线. 【详解】将参数方程2211x t y t⎧=-⎨=+⎩，消去参数t ，由于20t ≥，得到方程20x y +-=，其中1,1x y ≤≥，又点(1,1)在直线上，故表示的曲线是以(1,1)为起点的一条射线故选：D. 【点睛】易错点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，但互化时一定要注意消去参数，得到的普通方程中x, y 的范围，本题中20t ≥，所以消去参数得到的方程为一条射线，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.12．B解析：B 【分析】根据圆和椭圆的参数方程可假设出,,A C P 点坐标；根据,A B 共线、,C D 共线可得,B D 坐标；写出向量后,根据向量数量积运算法则可求得210sin 8PA PB PC PD θ⋅+⋅=+,从而可知当2sin 0θ=时,取得最小值,代入求得结果. 【详解】由题意可设：()1cos ,sin A αα+,()1cos ,sin C ββ-+,()2cos 3sin P θθ,则()1cos ,sin B αα--,()1cos ,sin D ββ---()1cos 2cos ,sin 3sin PA αθαθ∴=+--,()1cos 2cos ,sin 3sin PB αθαθ=----()2222212cos cos 9sin sin 5sin 4cos 4PA PB θαθαθθ∴⋅=--+-=-+同理可得：25sin 4cos 4PC PD θθ⋅=++210sin 8PA PB PC PD θ∴⋅+⋅=+当2sin 0θ=时,()min8PA PB PC PD ⋅+⋅=故选：B 【点睛】本题考查向量数量积的最值的求解问题,关键是能够灵活应用圆和椭圆的参数方程的形式,表示出所需的点的坐标,从而将问题转化为三角函数最值的求解问题.属于中档题.二、填空题13．【解析】【分析】求出抛物线直角坐标方程为直线的直角坐标方程为由此能求出点F 到直线l 的距离【详解】抛物线参数方程为为参数焦点为F 抛物线直角坐标方程为直线l 的极坐标方程为直线的直角坐标方程为点F 到直线l【解析】【分析】求出抛物线直角坐标方程为24y x =，()1,0F ，直线的直角坐标方程为10x y -+=，由此能求出点F 到直线l 的距离．【详解】抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，∴抛物线直角坐标方程为2y 4x =，()F 1,0，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ρθθ⎫∴-=⎪⎪⎝⎭∴直线的直角坐标方程为x y 10-+=， ∴点F 到直线l 的距离为：d ==【点睛】本题考查点到直线的距离的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．【解析】由题意曲线C ：消去参数θ：可得曲线C 的普通方程为：（x ﹣1）2+（y+2）2=5直线（t 为参数）消去参数t 可得直线的普通方程为：2x+y ﹣6=0由曲线C 的普通方程为：（x ﹣1）2+（y+2）【解析】由题意，曲线C：1,2x y θθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去参数θ：可得曲线C 的普通方程为：（x ﹣1）2+（y+2）2=5．直线,62x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），消去参数t ，可得直线的普通方程为：2x+y ﹣6=0．由曲线C 的普通方程为：（x ﹣1）2+（y+2）2=5．可知圆心为（1，﹣2），半径那么：圆心到直线的距离可得|PQ|的最小值为：d ﹣15．【解析】：试题分析：将直线的参数方程和曲线的极坐标方程化为普通方程求解圆心坐标和半径即圆心到直线的距离即可利用圆的弦长公式曲解弦长试题解析：75【解析】：试题分析：将直线的参数方程和曲线的极坐标方程化为普通方程，求解圆心坐标和半径，即圆心到直线的距离，即可利用圆的弦长公式，曲解弦长．试题将方程ρ＝cos分别化为普通方程3x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，圆心C ，半径为，圆心到直线的距离d ＝，弦长＝2＝2＝.16．【分析】根据点P 在椭圆上设然后利用两点间的距离公式求出|PA|再根据二次函数的图象与性质求出|PA|的最小值【详解】解:由点P 在椭圆上设其中则因为所以当时故答案为:【点睛】本题考查了利用参数法求两点解析：22【分析】根据点P 在椭圆2219x y +=上,设(3cos ,sin )P αα,然后利用两点间的距离公式求出|PA |,再根据二次函数的图象与性质求出|PA |的最小值. 【详解】解:由点P 在椭圆2219x y +=上,设(3cos ,sin )P αα,其中[0,2)απ∈,则222231||(32)()8cos 12cos 58(cos )42PA cos sin ααααα=-+=-+=-+ 因为[0,2)απ∈,所以当3cos 4α=时,2||2min PA =. 故答案为2【点睛】本题考查了利用参数法求两点间的距离,两点间的距离公式和二次函数的图象与性质,考查了转化思想和整体思想,属中档题.17．【分析】将直线的参数方程代入双曲线方程利用根与系数关系结合弦长公式求得弦长【详解】将直线代入得即所以所以弦长为故填：【点睛】本小题主要考查利用直线参数方程中参数的几何意义求弦长考查直线和双曲线的位置解析：210【分析】将直线的参数方程代入双曲线方程，利用根与系数关系，结合弦长公式，求得弦长.【详解】将直线122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y -=得221212t ⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即212302t t -++=，2460t t --=，所以12124,6t t t t +=⋅=-，所以弦长为==.故填：.【点睛】本小题主要考查利用直线参数方程中参数的几何意义求弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于基础题.18．【分析】点P 用参数表示把问题转化为求三角函数的最值来解决【详解】设点则点P 到直线的距离当时d 取最小值【点睛】本题主要考查用三角函数解决最值问题要重点掌握【分析】点P 用参数θ表示，把问题转化为求三角函数的最值来解决。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(答案解析)(3)

一、选择题1．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C ：3cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，则PQ 的最小值是（） A ．522B ．22C ．2D ．3222．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( ) A ．1B ．1-C ．21-D ．21--3．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,350,x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩点(43,31)Q m m +-，则||PQ 的最小值为( ) A ．2B ．115C ．95D ．14．直线l ：30x y ++=被圆C ：1424x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为（）A ．22B ．42C ．43D ．85．已知椭圆C 的参数方程为3cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 的两个焦点坐标是（）A ．(4,0)±B ．(0,4)±C ．(34,0)±D ．(0,34)±6．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC ．2ρ（sin θ+cos θ）=rD ．2ρ（sin θ+cos θ）=-r7．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（）A ．14B ．214C ．2D ．228．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（）A ．B ．2C ．D ．29．参数方程22sin {12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈10．在平面直角坐标系中，参数方程2211x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 是参数）表示的曲线是（） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一条线段D ．一条射线11．在极坐标系中，已知A （3，3π），B(4，23π), O 为极点，则AOB ∆的面积为（） A ．3B ．23C ．33D ．212．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（）A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0二、填空题13．已知直线l 的参数方程为：21x aty a t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为：1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若它们总有公共点，则a 取值范围是___________． 14．设,P Q 分别为直线,62x t y t =⎧⎨=-⎩（为参数）和曲线C ：15cos ,25sin x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（θ为参数）的点，则PQ 的最小值为_________． 15．直线被圆所截得的弦长为．16．P 是直线l ：40x y +-=上的动点，Q 是曲线C ：3sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，PQ 的最小值是______.17．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：3sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），P 为曲线C 上的动点，直线的方程：4x y +=，则点P 到直线的距离d 的最小值为____18．将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数），转化成普通方程为_______．19．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5,4x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数），圆C 的参数方程是cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 与圆C 交于两个不同的点A 、B ，当点P 在圆C 上运动时，PAB ∆面积的最大值为__________. 20．在直角坐标系中，点()2,1-到直线2:x tl y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数）的距离是__________．三、解答题21．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为π4cos 4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知(2,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11||||PA PB -的值. 22．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为22(12x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），求直线l 被圆C 截得的弦长．23．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点()1,0P 作倾斜角为45的直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值． 24．已知直线l的参数方程为2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=.（参考公式22cos sin cos 2θθθ-=）（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 截得的弦长.25．曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是曲线1C 上的动点，且M是线段OP 的中点，P 点的轨迹为曲线2C ，直线l的极坐标方程为sin()4x πρ+=，直线l 与曲线2C 交于,A B 两点.（1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）写出过点(2,4)M -的直线l 的参数方程，并求11MA MB+的值. 26．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求AB .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设点,sin )Q θθ，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数，设点,sin )Q θθ，则点Q 到直线:40l x y +-=的距离为d ==，当2,6k k Z πθπ=+∈时，min d ==故选：C.【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论【详解】设22(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,则2312sin 1214x y cos sin sin cos πααααα⎛⎫+=++-=+-=+-≤- ⎪⎝⎭,故选：C 【点睛】本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值3．A解析：A 【分析】根据Q 点坐标得到点Q 满足的参数方程，从而得到Q 点所在的直线方程l ，因此将求PQ 最小值问题转化为求可行域上的点(,)P x y 到直线l 的最小距离，然后运用数形结合得到可行域内点B （1，0）到直线l 距离最小，从而求出PQ 的最小值. 【详解】因为(43,31)Q m m +-，则点Q 满足的参数方程为43{31x m y m =+=-（m 为参数），消去参数得到普通方程为l ：34130x y --=，则问题转化为求可行域上的点(,)P x y 到直线l 的最小距离，如图：由图可知当P 点与B 点重合时到直线l 的距离最小，而B 点为（1，0），B 到l 的距离为d ，所以min 223013102534PQ d --====+，答案为A. 【点睛】主要考查线性规划问题，同时也考查了参数方程与普通方程的互化．这类型题的关键在于寻找出目标函数的几何意义，然后利用数形结合的方法寻找出最优解，求出最值，属于中档题.4．B解析：B 【解析】分析：圆1424x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程，求出圆心到直线的距离d ，即可得出直线被圆截得的弦长．详解：圆1424x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），消去参数化为：()()22+1216x y +-=，圆心到直线的距离d ==∴直线被圆截得的弦长== B.点睛：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．B解析：B 【解析】分析：将参数方程化为普通方程，判断出焦点在y 轴上，利用222c a b =-即可得结果.详解：椭圆的参数方程为3cos (5x y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数）， ∴椭圆的标准方程是221925+=x y ，∴椭圆的焦点在y 轴上，且2225,9a b ==，22216c a b ∴=-=，4c ∴=，∴椭圆的两个焦点坐标是()0,4±，故选B.点睛：本题主要考查椭圆的参数方程以及椭圆的简单性质，属于中档题. 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程.6．D解析：D 【解析】分别出圆ρ=r 的直角坐标方程222x y r += 和圆ρ=-2r sin （θ+4π）（r ＞0）直角坐标方程22()x y x y +=+ ，从而求出两圆的公共弦所在直线的方程2())x y r x y r +=+=-．再化为极坐标方程为（sin θ+cos θ）=-r ，选D.解析：D 【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝20422--=，直线l 被圆C 截得的弦长为2222(2)22-=. 【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式22||2AB r d =-求解. 8．D解析：D 【解析】试题分析：首先将直线（为参数）代入曲线方程中得，，整理得，所以．设直线与双曲线的交点分别为A 、B ，由直线参数方程的几何意义知，即为所求.考点：直线的参数方程；弦长公式.9．D解析：D 【解析】试题分析：2cos212sin θθ=-,22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2y θ∴=-,代入22sin x θ=+可得22y x =-,整理可得240x y +-=.[]2sin 0,1θ∈,[]22sin 2,3θ∴+∈,即[]2,3x ∈.所以此参数方程化为普通方程为[]240,2,3x y x +-=∈.故D 正确. 考点：参数方程与普通方程间的互化.【易错点睛】本题主要考查参数方程与普通方程间的互化,属容易题.在参数方程与普通方程间的互化中一定要注意x 的取值范围,否则极易出错.解析：D 【分析】参数方程2211x t y t ⎧=-⎨=+⎩，消去参数t ，由于20t ≥，得到方程20x y +-=，1,1x y ≤≥，故表示的曲线是射线. 【详解】将参数方程2211x t y t⎧=-⎨=+⎩，消去参数t ，由于20t ≥，得到方程20x y +-=，其中1,1x y ≤≥，又点(1,1)在直线上，故表示的曲线是以(1,1)为起点的一条射线故选：D. 【点睛】易错点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，但互化时一定要注意消去参数，得到的普通方程中x, y 的范围，本题中20t ≥，所以消去参数得到的方程为一条射线，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.11．C解析：C 【分析】由点2(3,),(4,)33A B ππ，得到3,4OA OB ==，且3AOB π∠=，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意知，点2(3,),(4,)33A B ππ，可得3,4OA OB ==，且3AOB π∠=，所以AOB ∆的面积为11sin 34sin 223S OA OB AOB π=∠=⨯⨯⨯= 故选C. 【点睛】本题主要考查了极坐标的应用，以及三角形的面积公式，其中解答中熟练应用点的极坐标和三角形的面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．B解析：B 【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】把参数方程化为普通方程若直线与椭圆有公共点对判别式进行计算即可【详解】直线l 的参数方程为（t 为参数）消去t 化为普通方程为ax ﹣y ﹣1＝0且椭圆C 的参数方程为：（θ为参数）消去参数化为联立直线解析：3[,0)(0,)2-+∞【分析】把参数方程化为普通方程，若直线与椭圆有公共点，对判别式0∆≥进行计算即可. 【详解】直线l 的参数方程为21x aty a t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），消去t 化为普通方程为a x ﹣y ﹣1＝0，且a 0≠,椭圆C 的参数方程为：12x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），消去参数化为()22114y x -+=．联立直线与椭圆()2210114ax y y x --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消y 整理得()()224+8210a x a x -++=，若它们总有公共点，则()()22=8+24416(23)0a a a ∆-+=+≥，解得32a ≥-且a 0≠, 故答案为()3,00,2⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的互化，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．14．【解析】由题意曲线C ：消去参数θ：可得曲线C 的普通方程为：（x ﹣1）2+（y+2）2=5直线（t为参数）消去参数t可得直线的普通方程为：2x+y﹣6=0由曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+（y+2）解析：55【解析】由题意，曲线C ：15,25x cosy sinθθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，消去参数θ：可得曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=5．直线,62x ty t=⎧⎨=-⎩（t为参数），消去参数t，可得直线的普通方程为：2x+y﹣6=0．由曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=5．可知圆心为（1，﹣2），半径r=5．那么：圆心到直线的距离d=21265⨯--=655可得|PQ|的最小值为：d﹣r=6555-=55；故答案为5 515．【解析】试题分析：由题意得直线与圆的普通方程分别为与则弦心距则弦长为考点：曲线的参数方程；直线与圆的位置关系【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数方程与普通方程的互化直线与圆的位置关系的判定与应用其中解析：．【解析】试题分析：由题意，得直线与圆的普通方程分别为与，则弦心距，则弦长为．考点：曲线的参数方程；直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系的判定与应用，其中把曲线的参数方程化为普通方程和牢记直线与圆的弦长公式是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及推理、运算能力，属于基础题，本题的解答中，先把直线与圆的参数化为普通方程与，利用直线与圆的弦长公式，即可求解．16．【分析】设则到的距离最小利用点到直线的距离公式计算再结合三角函数的性质可求最小值【详解】设则当时取得最小当时取得最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点之间的距离最值问题用参数设点求距离是解决问题的关【分析】设),sin Qθθ，则Q 到l 的距离最小，利用点到直线的距离公式计算PQ ，再结合三角函数的性质可求最小值. 【详解】设),sin Qθθ，则当PQ l ⊥时，取得最小，2sin 43cos sin 43=22PQ θθθ，当sin 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，PQ【点睛】本题考查动点之间的距离最值问题，用参数设点求距离是解决问题的关键，属于中档题.17．【分析】点P 用参数表示把问题转化为求三角函数的最值来解决【详解】设点则点P 到直线的距离当时d 取最小值【点睛】本题主要考查用三角函数解决最值问题要重点掌握【分析】点P 用参数θ表示，把问题转化为求三角函数的最值来解决。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．椭圆22:1169x y C +=上的点P 到直线:34180l x y ++=的距离的最小值为( )ABCD2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(2,0)C 直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，当ABC ∆的面积最大时，tan α=( )ABCD3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（） AB C ．1 D．24．过椭圆C ：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为（） A ．23B ．43C ．83D ．不能确定5．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（） A．BC．D ．26．已知(,)P x y 是椭圆sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P 到40x -=的距离的最大值为（） A．42+B．2C．42- D ．27．曲线的参数方程为2211x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），则曲线是（）．A ．抛物线B ．双曲线的一支C ．圆D ．直线8．在直角坐标系xOy 中，过点()1,2P -的直线l 的参数方程为212222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，直线l 与抛物线2y x 交于点,A B ，则PA PB ⋅的值是( )A ．2B ．2C ．32D ．109．点M 的直角坐标是()3,1--，则点M 的极坐标为（） A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为12x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ （t 为参数）和22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点个数为（） A ．3 B ．2C ．1D ．011．直线22{x ty t=+=-（t 为参数）被曲线4cos p θ=所截的弦长为( )A ．4B ．855C ．1655D ．812．直线（为参数）与圆(为参数)的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．过圆心D ．相交不过圆心二、填空题13．曲线:C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）上的任意一点P 到直线:4l x y +=的最短距离为______.14．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C 的极坐标方程为2cos 4s 0()in ρθθρ≥＝，直线l 的参数方程为31x ty t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．设直线l 与抛物线C 的两个交点为A 、B ，点F 为抛物线C 的焦点，则||||AF BF 的值为________．15．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______． 16．直线1{2x t y t =-=-（t 为参数）与曲线3{2x cos y sin θθ==（θ为参数）的交点个数是_______．17．已知曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线:350l x y +=-上的动点，则PQ 的最小值为________．18．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线220x y +-=的最大距离为__________．19．与参数方程为（t 为参数）等价的普通方程为_____．20．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>．过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2{4x ty t=-+=-+（t 为参数）．设直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．若,,PM MN PN 成等比数列，则a 的值为________．三、解答题21．已知曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy . （1）若曲线2C ：12x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线1C 相交于两点A ，B ，求AB ；（2）若M 是曲线1C 上的动点，且点M 的直角坐标为(,)x y ，求2x y +的最大值.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点()0,2M -.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为424πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状；（2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，若1117||||MA MB +=，求sin α的值.23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点P的极坐标是23π⎫⎪⎪⎝⎭．（1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求PMN 的面积．24．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为213x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，曲线2C 的参数方程为212x m y m⎧=-⎨=⎩ (m 为参数). （1）求曲线1C ，2C 的普通方程；（2）已知点(2,1)M ，若曲线1C ，2C 交于A ，B 两点，求||MA MB -‖‖的值.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，再利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可得答案. 【详解】设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，则点P 到直线l的距离12cos 12sin 185d θθ++==1818455πθ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=≥，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，等号成立. 因为[)0,2θ∈π，所以54πθ=. 所以当54πθ=时，d. 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意点的参数设法及三角函数的有界性运用.2．D解析：D 【分析】先将直线直线l 与曲线C 转化为普通方程，结合图形分析可得，要使ABC ∆的面积最大，即要ACB ∠为直角，从而求解出tan α．【详解】解：因为曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边同时乘以ρ，可得24cos ρρθ=，所以曲线C 的普通方程为22(2)4(02)x y y -+=，曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的上半个圆.因为直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），所以直线l 的普通方程为tan tan 0x y αα-+=，因为1sin 2sin 2ABCS CA CB ACB ACB ∆，所以当ACB ∠为直角时ABC ∆的面积最大，此时C 到直线l 的距离22222AB CA CB d +=== ，因为直线l 与x 轴交于()1,0D -，所以3CD =，于是7DE = 所以214tan 7α==，故选D ．【点睛】本题考查了曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时考查了直线与圆的位置关系，数形结合是本题的核心思想．3．B解析：B 【分析】设曲线C 上任意一点的坐标为)3,sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】设曲线C 上任意一点的坐标为)3,sin θθ，所以，曲线C 上的一点到直线l 的距离为2sin 43cos sin 4322d πθθθ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==42sin 2πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=当()232k k Z ππθπ+=+∈时，d取最小值，且min d == B. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.4．B解析：B 【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=1212t t t t -===⋅43.故选B. 【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．B解析：B 【分析】根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论．【详解】曲线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-，将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=，∴BC ==B ．【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．6．A【分析】设点,sin )P αα，求得点P到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，设点,sin )P αα，则点P到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离dA. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．A解析：A 【解析】分析：根据平方关系22211()2t t t t -=+-消参数，再根据曲线方程确定曲线形状. 详解：参数方程为221{1x t t y t t=-=+，则222122x t y t=+-=-，整理得：22y x =+是抛物线．故选A ．点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．8．B【解析】设,A B对应的参数分别为12,t t，把l的参数方程12xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2y x=中得：221⎛+=--⎝⎭，整理得：220t-=，()242100∴∆=-⨯-=>，1212?2,?t t t t PA PB+==-∴1212··2t t t t===，故选B.9．B解析：B【解析】3π7π2,tan(π,)26ρθθθ===∈⇒=，故选：B．点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cosxρθ=及sinyρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos,sin,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.10．D解析：D【解析】在12x tty⎧=+⎪⎨⎪=⎩中，原方程化为2(22)y x x=≥≤-或①方程22x cosy sinθθ=⎧⎨=⎩的普通方程为224x y+=将①式中的代入得0x=，显然不满足①式，所以曲线C1与C2的交点个数为0．故选D．11．A解析：A【解析】由直线的参数方程可得，直线的普通方程为220x y+-=，又由24cos 4cos ρθρρθ=⇒=，可得2240x y x +-=表示以(2,0)为圆心，半径为2的圆，此时圆心在直线220x y +-=上，所以截得的弦长为4，故选A. 考点：参数方程与普通方程的互化；极坐标方程与直角坐标方程的互化.12．A解析：A 【解析】试题分析：即3x-4y-36="0;"即，由圆心到直线的距离，所以，直线与圆相离，选A 。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(答案解析)(1)

一、选择题1．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．2．已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 4cos ()sin x y 为参数ααα=⎧⎨=⎩，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到点T 的距离的最大值为（） A ．245+B ．1345+C ．445+D ．653．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,350,x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩点(43,31)Q m m +-，则||PQ 的最小值为( ) A ．2B ．115C ．95D ．14．曲线的离心率是（）A ．B ．C ．2D ．5．已知12,F F 椭圆22184x y +=的左右焦点,2)Q ，P 是椭圆上的动点,则1PQ PF ⋅的最大值为( )A ．4B ．92C ．5D ．426．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=424πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个7．已知椭圆C 的参数方程为3cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 的两个焦点坐标是（）A ．(4,0)±B ．(0,4)±C ．(34,0)±D ．(0,34)±8．直线21{(1x t t y t =-=+为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（）A ．125B．5C．5D．59．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t为参数），则直线与圆的位置关系是（） A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离10．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线1:15x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值为（）A ．2BC1D11．已知圆()22:11M x y -+=,圆()22:11N x y ++=,直线12,l l 分别过圆心,M N ,且1l 与圆M 相交于,A B 两点,2l 与圆N 相交于,C D 两点,点P 是椭圆22149x y+=上任意一点,则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为（） A ．7B ．8C ．9D ．1012．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A到直线sin()6πρθ+=的距离的最大值是（）A．2BCD．二、填空题13．直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A B ，分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为______.14．在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________.15．若实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是__________；16．在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(02)-，且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．则α的取值范围为_________17．已知直线l 的参数方程为22212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________． 18．已知变量，则的最小值为__.19．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5,4x t y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数），圆C 的参数方程是cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 与圆C 交于两个不同的点A 、B ，当点P 在圆C 上运动时，PAB ∆面积的最大值为__________.20．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>．过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2{4x ty t=-+=-+（t 为参数）．设直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．若,,PM MN PN 成等比数列，则a 的值为________．三、解答题21．选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知曲线1C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的极坐标方程为()cos 2sin 20ρθθ++=.曲线2C 的图象与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点.（1）判断,A B 两点与曲线1C 的位置关系；（2）点M 是曲线1C 上异于,A B 两点的动点，求MAB ∆面积的最大值.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为213x ty t=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，曲线2C 的参数方程为212x m y m ⎧=-⎨=⎩(m 为参数). （1）求曲线1C ，2C 的普通方程；（2）已知点(2,1)M ，若曲线1C ，2C 交于A ，B 两点，求||MA MB -‖‖的值.23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若射线4πθ=（0ρ>）与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求||AB 的值.24．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的方程，()222cos4sin 4ρθθ+=，过点(2,1)的直线l的参数方程为2212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求||AB 的值.25．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 过点P （2，2）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ﹣ρcos 2θ﹣4cos θ＝0. （1）求C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 交于A ，B 两点，求PA PB PA PB-⋅的最大值.26．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若83MA MB ⋅=，求点M 的轨迹及其直角坐标方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(有答案解析)(4)

一、选择题1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为：2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值（）A ．1B ．2C ．3D ．42．直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数）被圆229x y +=截得的弦长等于（）A ．125BCD3．已知12,F F 椭圆22184x y +=的左右焦点,Q ，P 是椭圆上的动点,则1PQ PF ⋅的最大值为( )A ．4B ．92C ．5D．44．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．575．曲线的参数方程为2211x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），则曲线是（）．A ．抛物线B ．双曲线的一支C ．圆D ．直线6．直线1sin 702cos70x t y t ⎧=+⎨=+⎩（t 为参数）的倾斜角为( )A ．70 B ．20C ．160D ．1107．直线22{x ty t=+=-（t 为参数）被曲线4cos p θ=所截的弦长为( )A ．4B ．855C ．1655D ．88．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是（）A ．B ．C ．D ．9．动点1293cos 4sin 1,cos sin 2(55M θθθθθ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭为参数）的轨迹的普通方程为（）A ．22(1)(2)1259x y +-+=B ．22(1)(2)1259x y -++=C ．22(1)(2)1925x y +-+=D ．22(1)(2)1925x y -++=10．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（）A ．2404424b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．2402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b11．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线2515:51x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值为（）A ．2B 63+C 31D 10 12．若动点P (x ,y )在曲线22149x y +=上变化，则22x y +的最大值为（）A ．254B ．6C ．174D ．3二、填空题13．已知曲线C 参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 方程为：250x y -+=，将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线1C ，则曲线1C 上的点到直线l 距离的最小值为______.14．曲线C 的参数方程为4cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），M 是曲线C 上的动点，若曲线T极坐标方程2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到T 的距离的最大值为__________．15．点(),M x y 为此曲线()2234x y ++=上任意一点，则x y +的最大值是______．16．坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为___________17．在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,点A(2,1),B(0,2),点P 在圆()2211x y -+=上运动,若OA xOB yOP =+，则2x y +的最小值为________.18．若直线{1232(x ty t t =+=+为参数)与直线41x ky +=垂直，则常数k =______19．已知曲线C ：2x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，与直线l ：1324x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，交于A B ，两点，则AB =___________．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，动点P 在抛物线上，动点Q 在圆3cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）上，则PF PQ +的最小值为__________．三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=+⎩，（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线:22cos 4C πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.22．已知直线11cos ,:sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数），圆2cos ,:sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标.(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为,A P 为OA 的中点.当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？ 23．极坐标系中椭圆C 的方程为2222cos 2sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．（Ⅰ）求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为(),P x y ，求x 的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦AB ，CD 交于点Q ，且直线AB 与CD 的倾斜角互补，求证：QA QB QC QD ⋅=⋅．24．在直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，已知直线的极坐标方程为:cos 2sin 5l ρθρθ+=，曲线22:143x yC +=（1）写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上求一点P ，使它到直线l 的距离最小，并求出最小值. 25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin cos m ρθθ=+.（Ⅰ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 交于P ，Q 两点，求11OQ OPkk +的值.26．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：4cos ρθ=. （1）当4πα=时，求C 与l 的交点的极坐标；（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为(1,1)M ，求||AB 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】本题首先可以求出曲线C 的直角坐标方程，然后将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，根据韦达定理得出12t t +以及12t t 的值，再然后根据PM 、MN 、PN 成等比数列得出21212t t t t -=，最后将12t t +以及12t t 的值带入21212t t t t -=中，通过计算即可得出结果. 【详解】因为曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>所以曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>将直线l的参数方程24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线C 的直角坐标方程得：()2116402t t a -++=，设交点M 、N 对应的参数分别为1t 、2t ，则()122t t +=，()122164t t a =+，因为PM 、MN 、PN 成等比数列，所以21212t t t t -=，即212125t t t t =+，()()2410164a =+，解得1a =或4a =-（舍取），故满足条件的1a =，故选：A. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程的几何意义，考查韦达定理以及等比中项的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.2．D解析：D 【分析】先消参数得直线普通方程，再根据垂径定理得弦长. 【详解】直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数），消去参数化为普通方程：230x y -+=．圆心()0,0O到直线的距离d =，∴直线被圆229x y +=截得的弦长==.故选D ．【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及垂径定理，考查基本分析求解能力，属基础题.3．B解析：B 【分析】利用椭圆的参数方程设出椭圆上的点(),2P sin αα，利用平面向量的数量积公式求得1PQ PF ⋅的表达式为244sin αα--,然后根据二次函数的性质求解最值即可. 【详解】椭圆22184x y +=左、右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，设()(,2,P sin Q αα，()()1222cos ,22,2,2PQ sin PF sin αααα=--=---， ()()1222,2PQ PF sin sin αααα⋅=-⋅---2248cos 4sin ααα=-+-+22944sin 42sin ααα⎛=--=-+ ⎝⎭，当sin α=1PQ PF ⋅的最大值为92，故选B. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质、参数方程的应用,三角函数结合配方法求解最值,考查转化思想以及计算能力.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.4．C解析：C 【解析】【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：l =l ．详解：直线415(t 315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，，化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝， ∴圆心11()222C r -，，＝圆心C到直线距离110d == ， ∴直线被圆所截的弦长75l =．故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：l =是解题的关键．5．A解析：A 【解析】分析：根据平方关系22211()2t t t t -=+-消参数，再根据曲线方程确定曲线形状. 详解：参数方程为221{1x t t y t t=-=+，则222122x t y t =+-=-，整理得：22y x =+是抛物线．故选A ．点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．6．B解析：B 【解析】根据题意，设直线的倾斜角为θ，直线的参数方程为170270x tsin y tcos ⎧=+⎨=+⎩，则直线的普通方程为：y−2=tan20∘(x−1)，则有tanθ=tan20∘,且0∘⩽θ<180∘，则直线的倾斜角为20∘，本题选择B 选项.7．A解析：A 【解析】由直线的参数方程可得，直线的普通方程为220x y +-=，又由24cos 4cos ρθρρθ=⇒=，可得2240x y x +-=表示以(2,0)为圆心，半径为2的圆，此时圆心在直线220x y +-=上，所以截得的弦长为4，故选A. 考点：参数方程与普通方程的互化；极坐标方程与直角坐标方程的互化.8．A解析：A 【解析】试题分析：把各个点的坐标代入圆的方程进行检验，因为，所以选项中的点在圆上；因为，所以选项中的点在圆上；因为，所以选项中的点在圆上；因为，所以选项中的点在圆上；故答案选．考点：圆的极坐标方程．9．A解析：A 【分析】先设1293cos 4sin 1,cos sin 255x y θθθθ=--=++，再利用三角函数的同角关系消去参数即可得解. 【详解】设1293cos 4sin 1,cos sin 255x y θθθθ=--=++ 可得2222(1)(3cos 4sin )9cos 16sin 24sin cos x θθθθθθ+=-=+-，（1）22225(2)16cos 9sin 24sin cos 9y θθθθ-=++，（2）（1）+（2）可得：2225(2)(1)916259y x -++=+=，化简得：22(1)(2)1259x y +-+=.故选A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，属于基础题.10．A解析：A 【分析】设动点的坐标为(2cos ,sin )b θθ，将2cos ,sin x y b θθ==代入22x y +中整理化简求最值．【详解】解：设动点的坐标为(2cos ,sin )b θθ，则222224cos 2sin 2sin 424b b x y b θθθ⎛⎫+=+=--++ ⎪⎝⎭．当04b <时，()22max244b x y +=+；当4b >时，()222max224224b b x y b ⎛⎫+=--++= ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】本题考查与圆锥曲线有关的最值问题，可通过参数方程转化为三角函数求最值，是中档题．11．D解析：D 【分析】根据题意，先求出点P 的直角坐标，设出点Q 的坐标，得出M 坐标，再由点到直线距离公式求解，即可得出结果. 【详解】将4πθ=代入4cos ρθ=得4cos4πρ==P 的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以其直角坐标为,44P ππ⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,2P ，又曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，Q 为曲线2C 上的动点，所以可设()2cos ,sin Q αα，因此PQ 的中点M 的坐标为11cos ,1sin 2M αα⎛⎫++⎪⎝⎭，由1:1x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数可得：230x y +-=，因此点M 到直线l 距离为：d ===，因为1sin 14πα⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以max 5d ==. 故选：D. 【点睛】本题主要考查参数的方法求点到直线距离的最值，涉及极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化等，属于常考题型.12．A解析：A 【分析】先设出2cos x θ=，3sin =y θ，再利用三角函数以及二次函数的性质，从而得到答案．【详解】解：设2cos x θ=，3sin =y θ，22x y ∴+24cos 6sin θθ=+24(1sin )6sin θθ=-+2325254(sin )444θ=--+，当且仅当3sin 4θ=时取等号．故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了三角函数以及二次函数的性质，属于中档题．二、填空题13．【分析】根据坐标变换求出曲线的直角坐标方程后利用其参数方程设点根据点到直线的距离公式以及三角函数的性质可得【详解】解：曲线消去参数后得到将曲线的横坐标缩短为原来的再向左平移1个单位得到曲线即设上的点【分析】根据坐标变换求出曲线1C 的直角坐标方程后，利用其参数方程设点，根据点到直线的距离公式以及三角函数的性质可得．【详解】解：曲线22cos 2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ 消去参数θ后得到22(2)4x y -+=，将曲线C 的横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线221:44C x y +=，即2214y x +=，设1C 上的点(cos ,2sin )P αα，则P 点到直线0x y -+=的距离d =≥=，【点睛】本题主要考查参数方程化成普通方程，考查图象变换，属于中档题．14．2【解析】分析：先把曲线的极坐标方程化成直角方程再算出动点到直线的距离最后利用三角函数的知识求最大值详解：曲线的直角方程为曲线上的动点到直线的距离为故填点睛：一般地曲线是椭圆则椭圆上的动点的坐标可用解析：2+【解析】分析：先把曲线T 的极坐标方程化成直角方程，再算出动点到直线的距离，最后利用三角函数的知识求最大值．详解：曲线T 的直角方程为220x y +=，曲线C 上的动点P 到直线T 的距离为204cos 2sin 20d αα-+-==()2sin αϕ=+，max 2d =+，故填2+点睛：一般地，曲线C 是椭圆()222210x y a b a b+=>> ，则椭圆上的动点P 的坐标可用参数θ表示成()cos ,sin P a b θθ，这样就把距离的最值问题转化为三角函数的最值问题．15．【解析】分析：设x=y=2则3+2sin （+）利用正弦型函数的图象与性质求最值即可详解：设x=y=2则x+y==3+2sin （+）∴sin （+）=1时x+y 的最大值为故答案为点睛：本题重点考查了圆的解析：22-3【解析】分析：设x=32cos α-+，y=2sin α，则x y +=-3+22sin （α+4π），利用正弦型函数的图象与性质求最值即可.详解：设x=32cos α-+，y=2sin α，则 x+y=32cos α2?sin α-++=-3+22sin （α+4π）， ∴sin （α+4π）=1时，x+y 的最大值为22-3．故答案为22-3．点睛：本题重点考查了圆的参数方程的应用，把一次型mx ny +函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.16．曲线可化为x2+(y-1)2=1圆心到直线的距离d=|0+4-7|9+16=35则弦长l=2r2-d2=85【解析】曲线消参后得到普通方程为x2+(y-1)2=1由圆心（01）到直线3x+4y-7=解析：曲线可化为，圆心到直线的距离，则弦长【解析】曲线消参后得到普通方程为,由圆心（0，1）到直线3x+4y-7=0的距离,所以弦长.17．【分析】由圆的参数方程可设（为参数）再结合向量相等的坐标表示可得则=再结合三角函数的有界性即可得解【详解】解：因为点P 在圆上运动设（为参数）又则则所以==令则则即解得故即当时的最小值为故答案为：【点解析：1【分析】由圆的参数方程可设1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），再结合向量相等的坐标表示可得()2,1=()cos ,2sin y y x y θθ++，则2x y +=1sin 121cos θθ-++，再结合三角函数的有界性即可得解. 【详解】解：因为点P 在圆()2211x y -+=上运动,设1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），又OA xOB yOP =+，则()()2,1(0,2)cos ,sin x y y y θθ=++()cos ,2sin y y x y θθ=++，则21cos y θ=+ ，2sin 11cos x θθ=-+，所以2x y +=4sin 21cos θθ-+21cos θ++=1sin 121cos θθ-++，令1sin 1cos t θθ-=+，则sin cos 1t t θθ+=-，则)1t θϕ+=-1t ≥-，解得0t ≥，故1sin 01cos θθ-≥+，即当1sin 01cos θθ-=+时，2x y +的最小值为1201+⨯=，故答案为：1. 【点睛】本题考查了圆的参数方程、向量相等的坐标表示及三角函数的有界性，重点考查了运算能力，属中档题.18．【解析】分析：根据题意将直线的参数方程变形为普通方程结合直线垂直的判定定理分析可得答案详解：根据题意直线为参数的普通方程为即若其与直线垂直则有则有故答案为：4点睛：本题考查直线的参数方程涉及直线垂直解析：【解析】分析：根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，结合直线垂直的判定定理，分析可得答案．详解：根据题意，直线{1232(x ty t t =+=+为参数)的普通方程为()31y x -=-，即20y x --=，若其与直线41x ky +=垂直，则有40k -=，则有4k =，故答案为：4．点睛：本题考查直线的参数方程，涉及直线垂直的判定，注意将直线的参数方程变形为普通方程．19．【解析】曲线C ：(t 为参数)的普通方程为表示圆心为半径的圆直线：(t 为参数)的普通方程为∴圆心到直线的距离为∴答案：【解析】曲线C ：2x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩(t 为参数)的普通方程为22(2)1x y -+=，表示圆心为(2,0)，半径1r =的圆．直线l ：1324x ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)的普通方程为43100x y +-=．∴圆心(2,0)到直线l 的距离为2242102543d ⨯-==+， ∴2222221221()55AB r d =-=-=．答案：221520．3【解析】根据题意抛物线参数方程为其普通方程为y2=4x 其焦点坐标为（10）准线方程为x=﹣1动点P 在抛物线上设P 到准线的距离为d 则d=|PF|圆的参数方程为（α为参数）其普通方程为（x ﹣3）2+y解析：3 【解析】根据题意，抛物线参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩，其普通方程为y 2=4x ，其焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，动点P 在抛物线上，设P 到准线的距离为d ，则d=|PF|，圆的参数方程为3x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），其普通方程为（x ﹣3）2+y 2=1，动点Q 在圆上，则|PF|+|PQ|=d+|PQ|，分析可得：当P 为抛物线的顶点时，|PF|+|PQ|取得最小值，且其最小值为3，故答案为：3．三、解答题21．（1）40x y +-=，(1)(1)2x y -+-=２２（2）【解析】分析：（1）消去t 得直线方程为40x y +-=，极坐标化为直角坐标可得曲线C 的直角坐标方程为：()()112x y -+-=２２；（2）设曲线C上的点为()11P αα+，，由点到直线距离公式可得d =，则曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为详解：（1）由31x ty t =-⎧⎨=+⎩，消去t 得：40x y +-=，曲线C 的直角坐标方程为：()()112x y -+-=２２；（2）设曲线C上的点为()11P αα+，，则点P 到直线l的距离为d ==，当1sin ４πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max d= 即曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为点睛：本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程转化为直角坐标方程的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．（1）(1，0)，1,2⎛ ⎝⎭（2）214x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为14的圆【解析】 (1)当α＝3π时，C 1的普通方程为y－1)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组221{1y x x y －），＋＝，解得C 1与C 2的交点为(1，0)，1,2⎛⎝⎭. (2)C 1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为212{12x sin y sin cos ααα＝，＝－(α为参数)． P 点轨迹的普通方程为214x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，半径为14的圆23．（Ⅰ）[]22-,；（Ⅱ）证明见解析【分析】（Ⅰ）将椭圆的极坐标方程化为直角坐标方程,即可设x θ=,y θ=,则x θθ=,进而求解；（Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α,直线CD 的倾斜角为πα-,()00,Q x y ,将直线AB 的参数方程代入椭圆的直角坐标方程中,由韦达定理可得12t t ,设A 、B 对应参数分别为1t 、2t ,则12QA QB t t ⋅=,同理可求得QC QD ⋅,即可得证.【详解】(Ⅰ)由已知，2222cos 2sin 2ρθρθ+=，即2222x y +=，所以该椭圆的直角坐标方程为2212x y +=,设x θ=,y θ,所以2sin 4x πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以x 的取值范围是[]22-,（Ⅱ）证明:设直线AB 的倾斜角为α,直线CD 的倾斜角为πα-,()00,Q x y则直线AB 的参数方程为00cos sin x x t x y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,代入2222x y +=得()()2200cos 2sin 20x t y t αα+++-=,即()()()222220000cos 2sin 2cos 4sin 220t x y t x y αααα+++++-=,设A 、B 对应参数分别为1t 、2t ,则2200122222cos 2sin x y QA QB t t αα+-⋅==+, 同理()()2222000022222222cos 2sin cos 2sin x y x y QC QD παπααα+-+-⋅==-+-+, 所以QA QB QC QD ⋅=⋅【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查参数方程的几何意义的应用,考查运算能力.24．（1）:250l x y +-=2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）（2）3(1,)2P，min 5d = 【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，由公式22cos sin 1αα+=可得曲线C 的参数方程．（2）利用曲线C 参数方程设P 点坐标，求出点到直线的距离，结合三角函数的性质得最大值．【详解】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得l 的直角坐标方程为25x y +=，即250x y +-=，由22cos sin 1αα+=得曲线22:143x y C +=的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）；（2）设(2cos )P αα，则P 到直线l的距离为d==，所以sin()16πα+=时，min 5d =． sin()16πα+=，2,62k k Z ππαπ+=+∈，所以sin 2α=，1cos 2α=，所以3(1,)2P ．【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查椭圆参数方程的应用，点到直线的距离公式，正弦函数的性质，属于中档题．25．（Ⅰ）1C 的普通方程为214x y =；2C 的直角坐标方程20x mx +-=；（Ⅱ）18. 【分析】（Ⅰ）消去参数t 即可求得1C 的普通方程，利用极坐标和直角坐标的互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=,即可求得2C 的直角坐标方程;（Ⅱ）理解参数t 的几何意义并利用其几何意义,联立直线和曲线方程,利用韦达定理进行运算求解即可. 【详解】（1）由24x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），消去参数t ，得214x y =，即1C 的普通方程为214x y =. 由2sin cos m ρθθ=+，得sin cos 2m ρθρθ+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得20my x +-=，即2C 的直角坐标方程20my x +-=.（2）由24x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），可得4yt x =（0x ≠），故4t 的几何意义是抛物线214x y =上的点（原点除外）与原点连线的斜率.由题意知，当0m =时，2:2C x =，则1C 与2C 只有一个交点()216,不符合题意，故0m ≠. 把24x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数）代入20x my +-=，得2420mt t +-=，设此方程的两根分别为1t ，2t ，由韦达定理可得，1214t t m +=-，1212t t m=-，所以12121211111141444842OPOQ t t m k k t t t t m -++=+===⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化、参数的几何意义;考查学生转化与化归能力、运算求解能力;属于中档题、常考题型. 26．（1）(0,0)，4π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）【分析】（1）依题意可知，直线l 的极坐标方程为4πθ=（ρ∈R ），再对ρ分三种情况考虑；（2）利用直线参数方程参数的几何意义，求弦长即可得到答案. 【详解】（1）依题意可知，直线l 的极坐标方程为4πθ=（ρ∈R ），当0ρ>时，联立,44cos ,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得交点4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，当0ρ=时，经检验(0,0)满足两方程，（易漏解之处忽略0ρ=的情况）当0ρ<时，无交点；综上，曲线C 与直线l 的点极坐标为(0,0)，4π⎛⎫⎪⎝⎭，（2）把直线l 的参数方程代入曲线C ，得22(sin cos )20t t αα+--=，可知120t t +=，122t t ⋅=-，所以12||AB t t =-==.【点睛】本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(有答案解析)(5)

一、选择题1．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，则PQ 的最小值是（） ABCD2．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]3．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( ) A ．1B ．1-C1D．1-4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（） A．2BC ．1D ．25．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） A．3B．CD．±6．已知点A ，B 是曲线2241x y +=上两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则2211OAOB+=（）A ．34 B ．1C ．54D ．57．已知直线l的参数方程为2112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（）A ．(3,3)-B．3)- C．( D．3(,8．椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +-=的最大距离是（）A ．3 BC．D9．直线21{(1x t t y t =-=+为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（）A ．125BC．5D10．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为原来的4，得到的曲线2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=11．曲线C 的参数方程为{2x sin cos y sin cos αααα=-=（α为参数），则它的普通方程为（）A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．21y x =-+，x ⎡∈⎣ D ．21y x =+，x ⎡∈⎣12．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b二、填空题13．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______． 14．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________．15．点(),M x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2m x y =+的最大值为______16．坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为___________ 17．直线170{?270x tsin y tcos =+=+（t 为参数）的倾斜角为_________18．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为_____________ 19．若点P （x ，y ）在曲线（θ为参数，θ∈R ）上，则的取值范围是_____．20．直线3,423x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），点C 在椭圆2214x y +=上运动，则椭圆上点C 到直线l 的最大距离为______.三、解答题21．已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），()2,0P ，曲线C 的极坐标方程为()2212sin 1ρθ-=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设A 、B 中点为Q ，求弦长AB 以及PQ .22．已知直线l 的参数方程为23x ty t=+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，()2,0P ，曲线C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 中点为Q ，求弦长AB 以及PQ . 23．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，直线l 的参数方程为1x ty t=⎧⎨=-+⎩，(t 为参数)，直线l 和圆C 交于A 、B 两点，P 是圆C 上异于A 、B 的任意一点. （1）求圆C 的参数方程；（2）求PAB 面积的最大值.24．已知在极坐标系中曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C 的参数方程为：13232x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点(3,0)A ．（1）求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）设曲线1C 与曲线2C 相交于,P Q 两点，求||||⋅AP AQ 的值． 25．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为213x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，曲线2C 的参数方程为212x m y m⎧=-⎨=⎩ (m 为参数). （1）求曲线1C ，2C 的普通方程；（2）已知点(2,1)M ，若曲线1C ，2C 交于A ，B 两点，求||MA MB -‖‖的值. 26．平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为212x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.且曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程；（2）若点M 的极坐标为(1,)2π，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设点,sin )Q θθ，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数，设点,sin )Q θθ，则点Q 到直线:40l x y +-=的距离为d ==，当2,6k k Z πθπ=+∈时，min d ==故选：C. 【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.2．A解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ，利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c，7,55E c ⎛-- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩，所以()12,0F -，()22,0F ，设()cos ,sin P θθ，则12PF PF ⋅==所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.3．C解析：C 【分析】设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论【详解】设22(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,则231114x y cos sin sin cos πααααα⎛⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝⎭,故选：C 【点睛】本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值4．B解析：B【分析】设曲线C上任意一点的坐标为),sinθθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C上的点到直线l的距离的最小值.【详解】设曲线C上任意一点的坐标为),sinθθ，所以，曲线C上的一点到直线l的距离为d==42sinπθ⎛⎫-+⎪=当()232k k Zππθπ+=+∈时，d取最小值，且mind== B.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题. 5．D解析：D【分析】根据题意，将曲线C的参数方程消去θ，得到曲线C的普通方程22(2)1x y-+=，可知曲线C为圆，又知圆C与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测(含答案解析)(4)

一、选择题1．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心2．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 3．参数方程21,11x ty t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）所表示的曲线是（）A ．B ．C ．D ．4．曲线的离心率是（）A ．B ．C ．2D ．5．直线l ：30x y ++=被圆C ：1424x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为（）A ．22B ．42C ．43D ．86．在极坐标系中，点()M 1,0关于极点的对称点为( ) A ．()1,0B ．()1,π-C ．()1,πD ．()1,2π7．已知椭圆C 的参数方程为3cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 的两个焦点坐标是（）A ．(4,0)±B ．(0,4)±C ．(34,0)±D ．(0,34)±8．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x+-的取值范围是（） A ．3⎡⎢⎣⎦B ．31,1⎡+⎢⎣⎦C ．31,1⎡+⎢⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )ABCD10．已知M 为曲线3sin :cos x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，设O 为原点，则OM 的最大值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．点M的直角坐标是()1-，则点M 的极坐标为（） A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭12．在极坐标系中，已知A （3，3π），B(4，23π), O 为极点，则AOB ∆的面积为（） A ．3B．C．D ．2二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．已知直线l 的普通方程为x+y+1=0，点P是曲线(x C y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩：为参数）上的任意一点，则点P 到直线l 的距离的最大值为______． 15．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4πρθ-=直线l被曲线C 截得的线段长为_______16．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭F 到直线l 的距离为______．17．已知曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q为直线:0l x y +=-上的动点，则PQ 的最小值为________．18．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________．19．在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,点A(2,1),B(0,2),点P 在圆()2211x y -+=上运动,若OA xOB yOP =+，则2x y +的最小值为________.20．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线220x y +=的最大距离为__________．三、解答题21．已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），()2,0P ，曲线C 的极坐标方程为()2212sin 1ρθ-=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设A 、B 中点为Q ，求弦长AB 以及PQ .22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(0,1)P -，其参数方程为12312x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线2C ：22(0)y px p =>过点(1,2). （1）求曲线2C 的方程；（2）若1C 和2C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值. 23．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x t y αα=⎧⎨=⎩，（0,t α>为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 2sin()34πρθ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围.25．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点()1,0P 作倾斜角为45的直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB +的值． 26．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 120ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B .（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设()1,2P ，求22PA PB +的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.2．D解析：D 【解析】【分析】根据参数的几何意义求解即可。

(新)高中数学第二章参数方程单元检测北师大版选修4-41

北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(答案解析)

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