人教版七年级下册第五章《相交线与平行线》同步练习(含)

第五章相交线与平行线
5．1 相交线
5．相交线
根底题
知识点 1认识邻补角和对顶角
(1)有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角．
(2)有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
1．(2021 ·贺州 ) 如图，以下各组角中，互为对顶角的是( A )
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠2和∠4 D．∠2和∠5 2．下面四个图形中，∠1与∠2是
邻补角的是 ( D )
3．如图， AB与 CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是∠ 2，∠ 4，∠1 的对顶角是∠ 3．
知识点 2邻补角和对顶角的性质
(1)互为邻补角的两个角相加等于180°．
(2)对顶角相等．
4．(2021 ·河池 ) 如图，点O在直线 AB上，假设∠ BOC＝60°，那么∠ AOC 的大小是 ( C )
A．60°B．90°C．120°D．150°5．(2021 ·钦州期末 ) 如图，∠ 1＝120°，那么∠2的度数是 ( A )
A．120°6．( 教材P9 复习题B．90°C．60°
T9 变式 ) 如图，测角器测得工件( 圆台 ) 的角度是
D．30°
40 度，其测量角的原理是对顶角相等．
7．在括号内填写依据：
如图，因为直线a，b 相交于点O，
所以∠ 1＋∠ 3＝180°( 邻补角互补) ，
∠1＝∠ 2( 对顶角相等) ．
8．如图，直线AB， CD相交于点O，∠ EOC＝70°， OA平分∠ EOC，求∠ BOD 的度数．
解：因为OA平分∠ EOC，∠ EOC＝70°，
1
所以∠ AOC＝2∠EOC＝35°.
所以∠ BOD＝∠ AOC＝ 35°.
易错点 1对对顶角的性质理解不透彻而判断失误
9．以下说法正确的有( B )
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③假设两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角；④假设两个角不是对顶角，那么这两个角不相等．
A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个
易错点 2未给出图形，考虑不全而致错
10．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x －10) °和(110 －x) °，那
么
x＝ 40 或80．
中档题
11．如图，三条直线l
1， l 2，l 3 相交于一点，那么
∠
1＋∠ 2＋∠ 3＝( C )
A．90°B．120°C．180°D．360°
12．如图，直线AB和 CD相交于点O.假设∠ AOD与∠ BOC的和为 236°，那么∠ AOC 的度数为 ( A )
A．62°B．118°C．72°D．59°
13．(2021 ·揭阳揭西县期末 ) 如下图，直线 AB 与 CD相交于点 O，OE平分∠ BOC假设.∠ BOE＝60°，那么∠ AOC 的度数为 ( A )
A．60°B．30°C．120°D．45°
14．如图，直线AB， CD， EF相交于点O.
(1)∠AOD的对顶角是∠ BOC，
∠EOC的对顶角是∠ DOF；
(2)∠AOC的邻补角是∠ AOD 和∠ BOC，
∠EOB的邻补角是∠ EOA 和∠ BOF．
15．如图，直线a， b，c 两两相交，∠ 1＝80°，∠ 2＝2∠3，那么∠ 4＝140°．
16．如图，直线a， b 相交于点O， 3∠1－∠ 2＝100°，那么∠ 3＝130°．
17．如图，直线AB， CD相交于点O，∠ AOE＝∠ BOE， OB平分∠ DOF.假设∠ DOE＝50°，求∠ DOF 的度数．解：因为∠ AOE＝∠ BOE，且∠ AOE＋∠ BOE＝180°，
所以∠ AOE＝∠ BOE＝90°.
因为∠ DOE＝50°，
所以∠ DOB＝∠ BOE－∠ DOE＝40°.
因为 OB平分∠ DOF，
所以∠ DOF＝2∠DOB＝80°.
18．如图， l 1， l 2， l 3交于点 O，∠ 1＝∠ 2，∠ 3∶∠ 1＝8∶1，求∠4的度数．
解：设∠ 1＝∠ 2＝x°，那么∠ 3＝8x°.
由∠ 1＋∠ 2＋∠ 3＝180°，得
10x＝ 180. 解得 x＝ 18.
所以∠ 1＝∠ 2＝18°.
所以∠ 4＝∠ 1＋∠ 2＝36°.
综合题
19．探究题：
(1) 三条直线相交，最少有 1 个交点，最多有 3 个交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的对数；
(2) 四条直线相交，最少有 1 个交点，最多有 6 个交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的对数；
(3) 依次类推， n 条直线相交，最少有 1 个交点，最多有n〔 n－ 1〕
个交点，对顶角有 n(n － 1) 对，邻补角有 2n(n －2
1) 对．
解： (1) 图略，对顶角有 6 对，邻补角有 12 对．(2) 图略，对顶角有 12 对，邻补角有 24 对．
垂线
根底题
知识点 1认识垂直
如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于 90°，那么这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
1．如图， OA⊥OB，假设∠ 1＝55°，那么∠ 2＝( A )
A． 35°B．40°C．45°D．60°
2．(2021 ·来宾期末) 如图， AB⊥CD 于点 O， EF 为经过点 O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是( C )
A．互为对顶角B．互补C．互余D．相等
3．如图，直线AB， CD， EF相交于点O，AB⊥CD，∠ DOE＝127°，求∠ AOF 的大小．
解：因为AB⊥CD，
所以∠ DOB＝90°.
又因为∠ DOE＝127°，
所以∠ BOE＝∠ DOE－∠ DOB
＝127°－ 90°＝ 37°.
所以∠ AOF＝∠ BOE＝37°.
知识点 2画垂线
4．以下各图中，过直线l 外一点 P 画 l 的垂线 CD，三角板操作正确的选项是( D )
知识点 3垂线的性质
(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直．
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
5．(2021 ·柳州 ) 如图，经过直线l 外一点 A 画 l 的垂线，能画出( A )
A． 1 条B． 2 条C． 3 条D． 4 条
6．(2021 ·佛山顺德区期末) 如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点
至起跳线l 的点 B 处，然后记录AB的长度，这样做的理由是( C )
A 处垂直拉
A．两点之间线段最短
B．过两点有且只有一条直线
C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线
7．下面可以得到在如下图的直角三角形中斜边最长的原理是( D )
A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短
C．过一点有且只有一条直线和直线垂直D．垂线段最短
8．以下说法正确的有( C )
①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于直线；
②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于直线；
③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于直线；
④在平面内，有且只有一条直线垂直于直线．
A． 1 个B． 2 个C． 3 个
D． 4 个
知识点
4 点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
9．(2021 ·北京 ) 如下图，点P 到直线 l 的距离是 ( B )
A．线段
PA的长度B．线段PB 的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度
易错点10．未给出图形，考虑不周全致错
OA⊥OC，过点O作射线 OB，且∠ AOB＝30°，那么∠
BOC
的度数为120°或60°．
中档题
11．在数学课上，同学们在练习过点 B 作线段AC所在直线的垂线段时，有一局部同学画出以下四种图形，请你数
一数，错误的有( D )
A． 1 个B． 2 个C． 3 个D．4 个
12．直线AB，CB，l 在同一平面内，假设 AB⊥l ，垂足为 B，CB⊥l ，垂足也为 B，那么符合题意的图形可以是
( C )
13．如下图，以下说法不正确的选项是( C )
A．点 B 到 AC的垂线段是线段ABB．点 C 到 AB 的垂线段是线段AC
PA＝ 4 cm， PB＝ 5 cm， PC＝ 2 cm，C．线段 AD是点 D 到 BC的垂线段D．线段 BD是点 B 到 AD的垂线段
14．(2021 ·贵港港南区期末) 点 P 是直线 l 外一点， A， B，C 为直线 l 上的三点，
那么点 P 到直线 l 的距离 ( C )
A．小于 2 cmB．等于 2 cmC．不大于 2 cm D．等于 4 cm
15．如图，当∠1与∠2满足条件∠ 1＋∠ 2＝90°时， OA⊥OB.
16．如图，直线AB， CD相交于点O，射线 OM平分∠ AOC，ON⊥OM假设.∠ AOM＝35°，那么∠ CON的度数为55°．17．如图，DO⊥CO，∠ 1＝36°，∠ 3＝36°.
(1)求∠2的度数；
(2)AO 与 BO垂直吗？说明理由．
解： (1) 因为 DO⊥CO，所以∠ DOC＝90°.
因为∠ 1＝36°，所以∠ 2＝90°－ 36°＝ 54°.
(2)AO⊥BO.理由如下：
因为∠ 3＝36°，∠ 2＝54°，
所以∠ 3＋∠ 2＝90°.
所以 AO⊥BO.
18．如图，两直线AB，CD相交于点 O， OE平分∠ BOD，∠ AOC∶∠ AOD＝7∶11.
(1)求∠ COE 的度数；
(2)假设 OF⊥OE，求∠ COF 的度数．
解： (1) 因为∠ AOC∶∠ AOD＝7∶11，∠ AOC＋∠ AOD＝180°，所以∠ AOC＝70°，∠ AOD＝110°.
所以∠ BOD＝∠ AOC＝70°，
∠BOC＝∠ AOD＝110°.
又因为 OE平分∠ BOD，
1
所以∠ BOE＝∠ DOE＝2∠BOD＝35°.
所以∠ COE＝∠ BOC＋∠ BOE＝110°＋ 35°＝ 145°. (2)因为 OF⊥OE，所以∠ FOE＝90°.
所以∠ FOD＝∠ FOE－∠ DOE＝90°－ 35°＝ 55°.
所以∠ COF＝180°－∠ FOD＝180°－ 55°＝ 125°.
同位角、内错角、同旁内角
根底题
知识点认识同位角、内错角、同旁内角
如图，直线AB， CD与 EF 相交．
(1)图中∠1 和∠2 分别在直线 AB，CD的同一方 ( 或上方 ) ，并且都在直线 EF 的同侧 ( 或右侧 ) ，具有这样位置关系的一对角叫做同位角；
(2)图中∠2 和∠8 都在直线 AB， CD之间，并且分别在直线 EF 的两侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；
(3)图中∠2 和∠7 都在直线 AB，CD之间，且都在直线 EF 的同一旁 ( 或右侧 ) ，具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角．
1．(2021 ·玉林 ) 如图，直线a，b 被 c 所截，那么∠1 与∠2 是 ( B )
A．同位角
B．内错角C．同旁内角D．邻补角
2．(2021 ·柳州期末) 如图，与∠1 是同位角的是( C )
A．∠ 2B．∠3C．∠ 4D．∠5
3．如图，与∠1是同旁内角的是( D )
A．∠ 2B．∠3C．∠ 4D．∠5
4．(2021 ·广州 ) 如图，直线AD， BE 被直线 BF 和 AC所截，那么∠1 的同位角和∠5 的内错角分别是( B )
A．∠ 4，∠2B．∠ 2，∠ 6C．∠ 5，∠4D．∠ 2，∠4
5．如图，以下说法错误的选项是( D )
A．∠A与∠ EDC是同位角B．∠A与∠ ABF 是内错角
C．∠A与∠ ADC是同旁内角D．∠A与∠C是同旁内角
6．如图，假设∠ 1＝∠ 2，那么在①∠3和∠ 2；②∠4 和∠ 2；③∠3 和∠ 6；④∠4 和∠8 中，相等的有( C ) A． 1 对B． 2 对C． 3 对D． 4 对
7．看图填空：
(1)∠1和∠3是直线 AB， BC被直线 AC所截得的同旁内角；
(2)∠1和∠4是直线 AB， BC被直线 AC所截得的同位角；
(3)∠B和∠2是直线 AB， AC被直线 BC所截得的同位角；
(4)∠B和∠4是直线 AC， BC被直线 AB所截得的内错角．
8．如图，如果∠ 2＝100°，那么∠1的同位角等于80°，∠1的内错角等于80°，∠1的同旁内角等于100°．中档题
9．(2021 ·华南师大附中月考) 在以下四个图中，∠1与∠2是同位角的图是( B )
图①图②图③图④
A．①②B．①③C．②③D．③④
10．如图，属于内错角的是( D )
A．∠1和∠ 2B．∠2和∠3C．∠1和∠ 4D．∠3和∠4
11．如图，以下说法错误的选项是( B )
A．∠A和∠C是同旁内角B．∠1和∠3是同位角
C．∠2和∠3是内错角D．∠3和∠B是同旁内角
12．如图，∠ ABC 与∠ EAD是同位角；∠ ADB 与∠ DBC，∠ EAD 是内错角；∠ ABC 与∠ DAB，∠ BCD 是同旁内角．
13．根据图形填空：
(1)假设直线 ED， BC被直线 AB所截，那么∠1 和∠2是同位角；
(2)假设直线 ED， BC被直线 AF 所截，那么∠3 和∠4是内错角；
(3)∠1和∠3是直线 AB， AF 被直线 ED所截构成的内错角；
(4)∠2和∠4是直线 AB， AF 被直线 BC所截构成的同位角．
14．根据图形说出以下各对角是什么位置关系？
(1)∠1和∠ 2；(2) ∠1和∠ 7；(3) ∠3和∠ 4；
(4)∠4和∠ 6；(5) ∠5和∠ 7.
解： (1) ∠1和∠2 是同旁内角；
(2)∠1和∠7是同位角；
(3)∠3和∠4是内错角；
(4)∠4和∠6是同旁内角；
(5)∠5和∠7是内错角．
15．如图，如果内错角∠1与∠5相等，那么与∠1 相等的角还有吗？与∠1 互补的角有吗？如果有，请写出来，并说明你的理由．
解：∠ 1＝∠ 2，与∠1 互补的角有∠3 和∠ 4.
理由：因为∠ 1＝∠ 5，∠ 5＝∠ 2，所以∠ 1＝∠ 2.
因为∠ 1＝∠ 5，且∠5 与∠3 或∠4互补，
所以与∠1 互补的角有∠3 和∠ 4.
综合题
4 对，内错角有 2 对，同旁内角有 2 对；16．探究题：
(1) 如图 1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有
图 1 图 2
(2) 如图 2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12 对，内错角有 6 对，同旁内角有 6 对；
(3) 根据以上探究的结果，n(n 为大于 1 的整数 ) 条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n(n － 1) 对，内错角有n(n － 1) 对，同旁内角有n(n － 1) 对． ( 用含 n 的式子表示 )
平行线及其判定
5．平行线
根底题
知识点 1认识平行
在同一平面内，两条不相交的直线互相平行．
1．以下说法中，正确的选项是( D )
A．平面内，没有公共点的两条线段平行B．平面内，没有公共点的两条射线平行
C．没有公共点的两条直线互相平行D．互相平行的两条直线没有公共点
2．在同一平面内的两条不重合的直线的位置关系( C )
A．有两种：垂直或相交B．有三种：平行，垂直或相交
C．有两种：平行或相交D．有两种：平行或垂直
3．在同一平面内，直线 a 与 b 满足以下条件，把它们的位置关系填在后面的横线上．
(1)a 与 b 没有公共点，那
么 a 与 b 平行；
(2)a 与 b 有且只有一个公共点，那
么 a 与 b 相交；
(3)a 与 b 有两个及以上公共点，那
么 a 与 b 重合．
4．如图，完成以下各题：
(1)用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过点 C 画直线垂直于 CD；
(2)用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系．
解： (1) 如下图．
(2)EF ∥AB，MC⊥CD.
知识点 2平行公理及其推论
(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
(2) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即：如果a∥b，b∥c，那么 a∥ c.
5．假设直线 a∥b，b∥c，那么 a∥c的依据是 ( D )
A．平行公理B．等量代换C．等式的性质D．平行于同一条直线的两条直线平行6．点 P， Q都是直线 l 外的点，以下说法正确的选项是 ( D )
A．连接 PQ，那么 PQ一定与直线 l 垂直B．连接 PQ，那么 PQ一定与直线 l 平行
C．连接 PQ，那么 PQ一定与直线 l 相交D．过点 P只能画一条直线与直线l 平行
7．如图， PC∥AB，QC∥AB，那么
点P，C， Q 在一条直线上．理由是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
8．如图， P， Q分别是直线EF 外两点．
(1)过点 P 画直线 AB∥EF，过点 Q画直线 CD∥EF；
(2)AB 与 CD有怎样的位置关系？为什么？
解： (1) 如图．
(2)AB ∥CD.
理由：因为AB∥EF， CD∥EF，
所以 AB∥CD.
易错点对平行线的有关概念及公理理解不清
9．(2021 ·玉林北流市期中) 以下说法中，正确的有( A )
①过一点有无数条直线与直线平行；
②经过直线外一点有且只有一条直线与直线平行；
③如果两条线段不相交，那么它们就平行；
④如果两条直线不相交，那么它们就平行．
A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个
中档题
10．如图， AB∥CD，EF∥AB，AE∥MN，BF∥MN，由图中字母标出的互相平行的直线共有( C )
A． 4 组B． 5 组C． 6 组D． 7 组
11．如图，因为直线 AB， CD相交于点 P，AB∥EF，所以 CD不平行于 EF. 理由是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
12．在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交．13．( 教材 P17 习题 T11 变式 ) 观察以下图所示的长方体，答复以下问题．
(1)用符号表示两棱的位置关系： A1B1∥ AB， AA1⊥ AB，A1D1⊥ C1D1， AD∥ BC；
(2)AB 与 B1C1所在的直线不相交，它们不是平行线( 填“是〞或“不是〞 ) ．由此可知，在同一平面内，两条不相交
的直线才是平行线．
14．如图，在∠ AOB 内有一点P.
(1)过点 P 画 l 1∥OA；
(2)过点 P 画 l 2∥OB；
(3)用量角器量一量 l 1与 l 2相交的角与∠O 的大小有怎样的关系．
解： (1)(2)如下图．
(3)l1 与l 2的夹角有两个：∠ 1，∠ 2.
量得∠ 1＝∠ O，∠ 2＋∠ O＝180°，
所以 l 1与 l 2的夹角与∠O 相等或互补．
15．如图，取一张长方形的硬纸板 ABCD，将硬纸板 ABCD对折使 CD与 AB重合， EF 为折痕．把长方形 ABFE平放在桌面上，另一个面 CDEF无论怎么改变位置总有 CD∥AB 存在，你知道为什么吗？
解：因为AB∥EF，CD∥EF，
所以 CD∥AB.
综合题
16．利用直尺画图：
(1)利用图 1 中的网格，过点 P 画直线 AB的平行线和垂线；
(2)在图 2 的网格中画一个四边形，满足：①两组对边互相平行；②任意两个顶点都不在一条网格线上；③四个顶
点都在格点上．
解： (1) 如下图． CD∥AB，PQ⊥AB.
(2) 如下图．四边形ABCD是符合条件的四边形．
平行线的判定
根底题
知识点 1同位角相等，两直线平行
1．(2021 ·玉林陆川县期末) 如图，给出了过直线外一点画直线的平行线的方法，其依据是
( A )
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行2．(2021 ·绥化 ) 如图，直线AB， CD被直
线
D．两直线平行，同位角相等
EF 所截，∠ 1＝55°，以下条件中能判定
AB∥CD的是 ( C )
A．∠ 2＝35°B．∠ 2＝45°C．∠ 2＝55°
D．∠ 2＝125°
3．( 教材 P21 例 2 变式 ) a，b， c 为平面内三条不同的直线，假设a⊥b，c⊥b，那
么
a 与 c 的位置关系是平行．
4．如图，∠3与∠1互余，∠3 与∠2 互余．试说明： AB∥CD.
解：∵∠3 与∠1 互余，∠3 与∠2 互余，
∴∠ 1＝∠ 2.
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行) ．
知识点 2内错角相等，两直线平行
5．(2021 ·深圳龙岗区一模) 如图，能判定AB∥CD的条件是 ( A )
A．∠ A＝∠ ACDB．∠ A＝∠ DCEC．∠ B＝∠ ACB D．∠ B＝∠ ACD
6．如图，请在括号内填上正确的理由：
∵∠ DAC＝∠ C( ) ，
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行) ．
7．如图，∠ BAD＝∠ DCB，∠ BAC＝∠ DCA，试说明： AD∥BC.
解：∵∠ BAD＝∠ DCB，∠ BAC＝∠ DCA() ，
∴∠ BAD－∠ BAC＝∠ DCB－∠ DCA ( 等式的性质 ) ，
即∠ DAC＝∠ BCA．
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行) ．
知识点 3同旁内角互补，两直线平行
8．如图，∠ 1＝70°，要使AB∥CD，那么须具备的另一个条件是( C )
A．∠ 2＝70°B．∠ 2＝100°C．∠ 2＝110°D．∠ 3＝110°
9．如图，装修工人向墙上钉木条．假设∠ 2＝100°，要使木条b 与 a 平行，那么∠1 的度数等于80°．
10．如图，∠ ACD＝70°，∠ ACB＝60°，∠ ABC＝50°. 试说明： AB∥CD.
解：∵∠ ACD＝70°，∠ ACB＝60°，
∴∠ BCD＝130°.
∵∠ ABC＝50°，
∴∠ BCD＋∠ ABC＝180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行) ．
易错点不能准确识别截线与被截线，从而误判两直线平行
11．( 教材 P36 复习题 T8(1) 变式 )(2021 ·贵港桂平期末) 如图，点 E 在 AC的延长线上，有以下条件：①∠1＝∠ 2；
②∠ 3＝∠ 4；③∠ A＝∠ DCE；④∠ D＝∠DCE；
⑤∠ A＋∠ ABD＝180°；⑥∠ A＋∠ ACD＝180°，其中能判定AB∥CD
的是①③⑥．
中档题
12．(2021 ·郴州 ) 如图，直线a， b 被直线 c 所截，以下条件中，不能判定a∥b的是 ( D )
A．∠ 2＝∠ 4B．∠ 1＋∠ 4＝180°C．∠ 5＝∠ 4D．∠ 1＝∠3
13．如图，以下说法错误的选项是( C )
A．假设 a∥b，b∥c，那么a∥c B．假设∠ 1＝∠ 2，那么a∥c
C．假设∠ 3＝∠ 2，那么b∥c D．假设∠ 3＋∠ 5＝180°，那么a∥c
14．(2021 ·湘潭 ) 如图，点 E 是 AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，那么可添加的条件为答案不唯一，如：∠ C＝∠ CDE． ( 任意添加一个符合题意的条件即可)
15．如图，用几何语言表示以下句子．
(1) 因为∠1 和∠B 相等，根据“同位角相等，两直线平行〞，所以DE和 BC平行；
(2) 因为∠1 和∠2 相等，根据“内错角相等，两直线平行〞，所以AB和 EF 平行；
(3) 因为∠ BDE 和∠B互补，根据“同旁内角互补，两直线平行〞，所以DE和 BC平行．
解： (1) ∵∠ 1＝∠ B() ，
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行) ．
(2)∵∠ 1＝∠ 2( ) ，
∴EF∥AB(内错角相等，两直线平行) ．
(3)∵∠ BDE＋∠ B＝180°( ) ，
∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行) ．
16．(2021 ·湛江廉江市期末) 完成下面的推理．
如图， BE平分∠ ABD， DE平分∠ BDC，且∠α＋∠β＝90°，试说明： AB∥CD.
完成推理过程：
∵BE 平分∠ ABD( ) ，
∴∠ ABD＝2∠ α ( 角平分线的定义) ．
∵DE平分∠ BDC( ) ，
∴∠ BDC＝2∠ β ( 角平分线的定义) ．
∴∠ ABD＋∠ BDC＝2∠ α＋2∠ β＝2( ∠ α＋∠β)( 等量代换 ) ．
∵∠ α＋∠β＝90°( ) ，
∴∠ ABD＋∠ BDC＝180°( 等量代换) ．
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行) ．
17．如图，点B 在 AC上， BD⊥BE，∠ 1＋∠ C＝90°，问射线
CF 与BD平行吗？试用两种方法说明理由．
解： CF∥BD.
方法一：∵ BD⊥BE，
∴∠ DBE＝90°.
∴∠ 1＋∠ 2＝90°.
∵∠ 1＋∠ C＝90°，
∴∠ 2＝∠ C.
∴CF∥BD(同位角相等，两直线平行) ．
方法二：∵ BD⊥BE，∴∠ DBE＝90°.
∵∠ 1＋∠ C＝90°，
∴∠ C＋∠ DBC＝∠ 1＋∠ DBE＋∠ C＝90°＋ 90°＝ 180°.
∴CF∥BD(同旁内角互补，两直线平行) ．
18．如图，直线 EF 分别与直线 AB，CD相交于点 P 和点 Q，PG平分∠ APQ，QH平分∠ DQP，并且∠ 1＝∠ 2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．
解： PG∥QH，AB∥CD.
∵PG平分∠ APQ， QH平分∠ DQP，
11
∴∠ 1＝∠ GPQ＝2∠APQ，∠ PQH＝∠ 2＝2∠PQD.
又∵∠ 1＝∠ 2，
∴∠ GPQ＝∠ PQH，∠ APQ＝∠ PQD.
∴PG∥QH，AB∥CD(内错角相等，两直线平行) ．
综合题
19．如图， AB⊥BD 于点B，CD⊥BD 于点D，∠ 1＋∠ 2＝180°，试问CD
EF 平行吗？为什么？
与
解： CD∥EF.理由如下：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ ABD＝∠ BDC＝90°.
∴∠ ABD＋∠ BDC＝180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行) ．
∵∠ 1＋∠ 2＝180°，
∴AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行) ．
∴CD∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行) ．
周周练
( 时间： 45 分钟～ 5.2)
总分值： 100 分 )
一、选择题 ( 每题 4 分，共
1．邻补角是指 ( D )
A．和为 180°的两个角
32 分 ) B．有一条公共边且相等的两个角
C．有公共顶点且互补的两个角D．有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角
2．如图，∠1和∠2是对顶角的是( B )
3．如图，直线AB， CD被 EF 所截，以下说法正确的有( C )
①∠3 与∠5是内错角；②∠2 与∠7是同位角；③∠4 与∠5是同旁内角；④图中有
4 对同位角， 2 对内错角， 2 对同旁内角；⑤∠1 与∠7是内错角．
A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个
4．以下说法错误的选项是( C )
A．两条直线相交，有一个角是直角，那么两条直线互相垂直
B．假设互为对顶角的两角之和为180°，那么两直线互相垂直
C．两直线相交，所构成的四个角中，假设有两个角相等，那么两直线互相垂直
D．在同一平面上，过点A 作直线 l 的垂线，这样的垂线只有一条
5．如图，直线AB⊥CD于点 O，直线 EF经过点 O，假设∠ 1＝26°，那么∠2的度数是 ( B )
A．26°B．64°C．54°D．以上都不对
6．以下说法错误的选项是( A )
A．过一点有且只有一条直线与直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．假设 a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d
D．同一平面内，假设一条直线与两平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交
7．如图，∠ ACB＝90°， CD⊥AB，垂足为D，那么下面的结论中，不正确的选项是( D )
A．线段 AC的长度是点 A 到 BC的距离C． AC与 BC互相垂直
8．(2021 ·深圳 ) 以下选项中，哪个不可以得到B． CD与 AB互相垂直
D．点 B 到 AC的垂线段是线
段
l 1∥l2？ ( C )
CA
A．∠ 1＝∠ 2B．∠ 2＝∠3C．∠ 3＝∠ 5D．∠ 3＋∠ 4＝180°
二、填空题 ( 每题 4 分，共 24 分 )
9．如图，∠ 1＋∠ 2＝100°，那么∠ 3＝130°．
10．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，∠ AOC＝27°，那么∠ BOD的度数是153°．
11．如图，把小河里的水引到田地A 处就作 AB⊥l ，垂足为B，沿 AB挖水沟，水沟最短．理由是垂线段最短．
12．如图，在同一平面内， OA⊥l ，OB⊥l ，垂足为 O，那么 OA与 OB重合的理由是同一平面内，过一点有且只有一条
直线与直线垂直．
13．如图，∠C＝105°，增加一个条件答案不唯一，如∠BEC＝75°或∠ AEC＝105°，使得AB∥CD.
14．如图， AB 与 BC被 AD所截得的内错角是∠1 和∠ 3； DE与 AC被直线 AD所截得的内错角是∠2 和∠ 4；图中∠4的内错角是∠5 和∠ 2．
三、解答题 ( 共 44 分 )
15．(6 分 ) 完成下面的推理过程：
如图， CB平分∠ ACD，∠ 1＝∠ 3. 试说明： AB∥CD.
解：∵ CB 平分∠ ACD，
∴∠ 1＝∠ 2( 角平分线的定义) ．
∵∠ 1＝∠ 3，
∴∠ 2＝∠ 3．
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行) ．
16．(6 分 ) 如图，直线AO， BO交于点 O，过点 P作 PC⊥AO于点 C，PD⊥BO 于点 D，画出图形．
解：作∠ ACP＝90°，作∠ PDB＝90°，那么直线PC， PD即为所求．
17．(6 分 ) 如图，∠ OEB＝130°，∠ FOD＝25°，OF平分∠ EOD，试说明： AB∥CD.
解：∵ OF 平分∠ EOD，∠ FOD＝25°，
∴∠ EOD＝2∠FOD＝50°.
又∵∠ OEB＝130°，
∴∠ OEB＋∠ EOD＝180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行) ．
18．(8 分 ) 如图，直线 l 1，l 2， l 3被直线 l 所截，∠α＝105°，∠ β＝75°，∠ γ＝75°，运用条件，你能找出哪两条直线是平行的吗？假设能，请写出理由．
解： l 1∥l2∥l3. 理由：
∵∠ 1＝∠β，∠β＝75°，
∴∠ 1＝75°.
∵∠ α＝105°，
∴∠ α＋∠ 1＝ 180°.
∴l1∥l2(同旁内角互补，两直线平行) ．
∵∠ β＝75°，∠ γ＝75°，
∴∠ β＝∠γ .
∴l2∥l3(内错角相等，两直线平行) ．
∴l1∥l2∥l3.
19．(8 分 ) 如图， AB 和 CD交于点 O， OD平分∠ BOF，OE⊥CD 于点 O，∠ AOC＝40°，求∠ EOF 的度数．
解：∵ AB， CD相交于点 O，
∴∠ BOD＝∠ AOC＝40°.
∵OD平分∠ BOF，
∴∠ DOF＝∠ BOD＝40°.
∵OE⊥CD，
∴∠ EOD＝90°.
∴∠ EOF＝∠ EOD＋∠ DOF＝130°.
20．(10 分 ) 如图，要判定AB∥CD，需要哪些条件？根据是什么？
解：①假设考虑截线AD，那么需∠ D＋∠ DAB＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行．
②假设考虑截线 AE，那么需∠ CEA＋∠ EAB＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行或∠ DEA＝∠ EAB，根据是内错角相等，两直线平行．
③假设考虑截线AC，那么需∠ DCA＝∠ CAB，根据是内错角相等，两直线平行．
④假设考虑截线 FC，那么需∠ DCF＋∠ AFC＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行或∠ DCF＝∠ BFC，根据是内错角相等，两直线平行．
⑤假设考虑截线BC，那么需∠ DCB＋∠ B＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行．
平行线的性质
5．平行线的性质
根底题
知识点 1平行线的性质
平行线的性质：
性质 1：两直线平行，同位角相等；
性质 2：两直线平行，内错角相等；
性质 3：两直线平行，同旁内角互补．
1．(2021 ·桂林 ) 如图，直线a，b 被直线 c 所截， a∥b，∠ 1＝60°，那么∠2的度数是( B )
A．120°
B．60°C．45°D．30°
2．(2021 ·绵阳) 如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠2＝44°，那么∠1的度数是 ( C )
A．14°
3．如图，在三角形B．15°
ABC中，∠ B＝40°，过
点C．16°D．17°
C 作 CD∥AB，∠ ACD＝65°，那么∠
ACB
的度数为 ( D )
A．60°B．65°C．70°D．75°
4．如图，平行线AB， CD被直线 AE所截，∠ 1＝50°，那么∠ A＝50°．
5．如图， AB∥CD，∠ BAF＝115°，那么∠ ECF的度数为65°．6．如图， EF∥BC， AC平分∠ BAF，∠ B＝80°. 求∠C 的度数．解：∵ EF∥BC，
∴∠ BAF＝180°－∠ B＝100°( 两直线平行，同旁内角互补) ．
∵AC平分∠ BAF，
1
∴∠ CAF＝2∠BAF＝50°.
∵E F∥BC，
∴∠ C＝∠ CAF＝50°( 两直线平行，内错角相等) ．
知识点 2平行线性质的应用
7．某商品的商标可以抽象为如下图的三条线段，假设AB∥CD，∠ EAB＝45°，那么∠
FDC
的度数是( B )
A．30°B．45°C．60°D．75°
8．一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如下图，其中两组对边的平行关系没有发生变化．假设∠ 1＝76°，那么∠2 的度数是 ( C )
A．76°B．86°C．104°D．114°
9．如图，在 A， B 两地挖一条笔直的水渠，从 A 地测得水渠的走向是北偏西42°， A，B 两地同时开工， B 地所挖水渠走向应为南偏东42°．
10．如图，某次考古开掘出的一块梯形残缺玉片，工作人员从玉片上量得∠ A＝115°，∠ D＝100°，梯形的两底
AD∥BC，请你帮助工作人员求出另外两个角的度数，并说明理由．
解：∵ AD∥BC，∠ A＝115°，∠ D＝100°，
∴∠ B＝180°－∠ A＝180°－ 115°＝ 65°，
∠C＝ 180°－∠ D＝180°－ 100°＝ 80°.
易错点误用平行线的性质
11．∠1与∠2 是同旁内角，假设∠A．60° B．120°1＝60°，那么∠2的度数是( D )
C．60°或 120°
D．不能确定
中档题
12．(2021 ·汕头澄海区一模 ) 如图，点 P 是∠ AOB的边 OA上一点， PC⊥OB 于点 C，PD∥OB，∠ OPC＝35°，那么∠APD 的度数是 ( B )
A．60°B．55°C．45°D．35°
13．将一直角三角板与两边平行的纸条如下图放置，以下结论：①∠ 1＝∠ 2；②∠ 3＝∠ 4；③∠ 2＋∠ 4＝90°；④∠4＋∠ 5＝180°. 其中正确的有 ( D )
A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个
14．(2021 ·梧州岑溪市期末) 如图是一汽车探照灯的纵剖面，从位于O 点的灯泡发出的两束光线反射以后平行射出．假设∠ABO＝α ，∠ DCO＝β ，那么∠ BOC的度数是( A ) OB， OC经过灯碗
1
A．α＋βB．180°－α C. 2( α＋β ) D．90°＋( α＋β )
15．(2021 ·柳州期末) 如图，AB∥CD∥EF，那么以下四个等式中一定成立的有( A )
①∠ 2＋∠ 3＝180°；②∠ 2＝∠ 3；③∠ 1＋∠ 3＝180°；④∠ 2＋∠ 3－∠ 1＝180°.
A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个
16．(2021 ·柳州期末 ) 如图，AB∥CD，BC∥ED，请你猜测∠B与∠D 之间具有什么数量关系，并说明理由．解：猜测：∠ B＋∠ D＝180°.
理由如下：∵ AB∥CD，
∴∠ B＝∠ C(两直线平行，内错角相等) ．
∵BC∥ED，
∴∠ C＋∠ D＝180°( 两直线平行，同旁内角互补) ．
∴∠ B＋∠ D＝180°.
17．(2021 ·南宁马山县期末) 如图， CD∥AB， OE平分∠ AOD，OF⊥OE，∠ D＝50°，求∠BOF的度数．解：∵ CD∥AB，
∴∠ AOD＝180°－∠ D＝180°－ 50°＝ 130°.
∵OE平分∠ AOD，
11
∴∠ EOD＝2∠AOD＝2×130°＝ 65°.
∵OF⊥OE，
∴∠ DOF＝90°－∠ EOD＝90°－ 65°＝ 25°.
∴∠ BOF＝180°－∠ AOD－∠ DOF＝180°－ 130°－ 25°＝ 25°.
综合题
18．阅读以下解答过程：如图甲，AB∥CD，探索∠P与∠ A，∠C 之间的关系．
解：过点P 作 PE∥AB.
与∠ A，∠C 之间的关系．∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行) ．
∴∠ 1＋∠ A＝180°( 两直线平行，同旁内角互补) ，
∠2＋∠ C＝180°( 两直线平行，同旁内角互补) ．
∴∠ 1＋∠ A＋∠ 2＋∠ C＝360°.
又∵∠ APC＝∠ 1＋∠ 2，
∴∠ APC＋∠ A＋∠ C＝360°.
如图乙和图丙， AB∥CD，请根据上述方法分别探索两图中∠P
解：如图乙，过点P 作 PE∥AB.
∵AB∥CD( ) ，
∴PE∥AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行) ．
∴∠ A＝∠ EPA，∠ EPC＝∠ C(两直线平行，内错角相等) ．
∵∠ APC＝∠ EPA＋∠ EPC，
∴∠ APC＝∠ A＋∠ C(等量代换) ．
如图丙，过点P 作 PF∥AB.
∴∠ FPA＝∠ A(两直线平行，内错角相等) ．
∵AB∥CD( ) ，
∴PF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行) ．
∴∠ FPC＝∠ C(两直线平行，内错角相等) ．
∵∠ FPC－∠ FPA＝∠ APC，
∴∠ C－∠ A＝∠ APC(等量代换) ．
命、定理、明
基
知点 1命的定及构
判断一件事情的句叫做命，
命常可以写成“如果⋯⋯那么⋯⋯〞的形式，“如果〞后面接的局部是，“那么〞后面接的局部是．
1．(2021 ·玉林川期末A．画两条相交直) 以下句不是命的是( A )
B．互的两个角之和是
180°
C．两点之段最短D．相等的两个角是角
2．把“垂直于同一条直的两条直平行〞改写成“如果⋯⋯那么⋯⋯〞的形式是如果两条直垂直于同一条直
，那么两条直平行．
3．把以下命改写成“如果⋯⋯那么⋯⋯〞的形式，并分指出它的和：
(1)两点确定一条直；
(2)同角的角相等；
(3)两个角互余．
解： (1) 如果在平面上有两个点，那么两个点确定一条直．
：在平面上有两个点；
：两个点确定一条直．
(2)如果两个角是同一个角的角，那么它相等．
：两个角是同一个角的角；：两个角相等．
(3)如果两个角是角，那么两个角互余．：两
个角是角；：两个角互余．
知点 2真假命及其明
(1)成立，并且一定成立的命叫做真命；成立，不能保一定成立的命叫做假命．
(2)推理正确并可以作推理的依据的真命叫做定理．很多情况下，一个命的正确性需要推理，才能做出判断，个推理的程叫做明．
4．(2021 ·柳州期末) 以下命是真命的是( C )
A．同位角相等B．有且只有一条直与直垂直
C．垂段最短D．直外一点到条直的垂段，叫做点到直的距离
5．以下命中，是假命的是( A )
A．相等的角是角
B．假设 |x| ＝3， x＝±3
C．同一平面内，两条直的位置关系只有相交和平行两种
D．两点确定一条直
6．如， BD平分∠ ABC，假设∠ BCD＝70°，∠ ABD＝55°. 求： CD∥AB.
明：∵ BD 平分∠ ABC，∠ ABD＝55°，
∴∠ ABC＝2∠ABD＝110°.
又∵∠ BCD＝70°，
∴∠ ABC＋∠ BCD＝180°.
∴CD∥AB(同旁内角互，两直平行) ．
7．如，如果∠ 1＝∠ 2，那么 AB∥CD，个命是真命？假设不是，你再添加一个条件，使命成真命，并明理由．解：假命，添加BE∥DF.
∵BE∥DF，
∴∠ EBD＝∠ FDN(两直平行，同位角相等) ．
∵∠ 1＝∠ 2，
∴∠ EBD－∠ 1＝∠ FDN－∠ 2.
∴∠ ABD＝∠ CDN.
∴AB∥CD(同位角相等，两直平行) ．
中档
8．(2021 ·无 ) 于命“假设
2 2
a >
b ， a>b. 〞下面四关于 a，b 的中，能明个命是假命的是( B )
A． a＝ 3， b＝ 2 B． a＝－ 3， b＝2 C． a＝ 3， b＝－ 1 D．a＝－ 1，b＝ 3 9．以下命是假命的是 ( B )
A．角小于它的角B．内角相等
C．两点之段最短D．同旁内角互，两直平行
10．以下法正确的选项是 ( C )
A．“作段 CD＝AB〞是一个命B．一点作直的平行有一条且只有一条
2 a
C．命“假设 x＝ 1， x ＝1〞是真命D．命“假设b>1， a>b〞是真命
11．“直角都相等〞的是两个角是直角，是两个角相等．
12．于以下假命，各一个反例写在横上．
(1)“如果 ac＝ bc，那么 a＝b〞是一个假命．反例：
3×0＝ ( －2) ×0；
(2)“如果 a2＝ b2， a＝b〞是一个假命．
22
反例： 3 ＝ ( － 3) ．
13．以下命中：①假设|a| ＝ b， a＝ b；②假设直l 1∥l2， l 1∥l3， l 2∥l3；③同角的角相等；④同位角相等，是真命的有②③( 填序号 ) ．
14．把以下命写成“如果⋯⋯那么⋯⋯〞的形式，并判断其真假．
(1)等角的角相等；
(2)不相等的角不是角；
(3)相等的角是内角．
解： (1) 如果两个角是两个相等的角的角，那么两个角相等．是真命．
(2)如果两个角不相等，那么两个角不是角．是真命．
(3)如果两个角相等，那么两个角是内角．是假命．
15．如，AB∥CD，∠ B＝∠ D.求： BC∥AD.
明：∵ AB∥CD，
∴∠ B＋∠ C＝180°( 两直平行，同旁内角互) ．。