人教A版高一数学必修四第二章 2.4.1向量在平面几何中的应用课件 (共12张PPT)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.4.1 向量在平面几何中的应用
平面几何中的向量方法
向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2
a
2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
例5 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条 对角线相交于M，设 AM xAC, BM yBD
则 AM xAC xAB xAD,
AM AB BM
AB yBD
D C
M
AB y( AD AB)
A
B
(1 y) AB y AD
根据平面向量基本定理知，这两个分解
式是相同的，所以
x 1 y
x y
解得
x
1 2
y
1 2
所以点M是AC、BD的中点，即两条对 角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意 一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接 DP、EF，求证DP ⊥EF。
证明：选择正交基底{ AB, AD }
D
在这个基底下
AB (1,0), AD (0,1)
1b 2
b)
m(a 1 b)
1
b
2
m(a
A
1
b
)
B
2
2
即(n
m)a
(n
m
1 )b
0
2
n m 0
由于向量a, b不共线，
解得：n= m = 1n
m 1 2
0
3
所以AR 1 AC,同理TC 1 AC,于是RT 1 AC
3
3
3
故AT=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
例1.如图，已知平行四边形ABCD中，E、F在 对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平 行四边形。
证明：由已知设 AB DC a, BE FD b
AE AB BE a b FC FD DC b a
AE FC
A
a bE
B
Fb D a
C
即边AE、FC平行且相等，AECF是平行四边形
设 AP (a, a)
A
C
P
F
EB
EB (1 a,0), BF (0, a (a, a 1)
DP EF (1 a, a) (a, a 1)
D
(1 a)a a(a 1)
0
所以DP EF
因此DP⊥EF.
A
C
P
F
EB
例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
猜想： AR=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
解：设 AB a, AD b , AR r , 则 AC a b
由于 AR与 A共C线，故设 r n(a b ), n R
又因为 ER与E共B线，
所以设ER m EB m(a 1 b)
D
F
C
2
因为 AR AE ER E R
T
所以 r 因此n(a
已知：平行四边形ABCD。
D
求证：AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A
量用它们表示。
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
用向量方法解决平面几何问题的“三步 曲（”1）：建立平面几何与向量的联系，用向量表
示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
例2. 求证平行四边形对角线互相平分．
平面几何中的向量方法
向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2
a
2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
例5 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条 对角线相交于M，设 AM xAC, BM yBD
则 AM xAC xAB xAD,
AM AB BM
AB yBD
D C
M
AB y( AD AB)
A
B
(1 y) AB y AD
根据平面向量基本定理知，这两个分解
式是相同的，所以
x 1 y
x y
解得
x
1 2
y
1 2
所以点M是AC、BD的中点，即两条对 角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意 一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接 DP、EF，求证DP ⊥EF。
证明：选择正交基底{ AB, AD }
D
在这个基底下
AB (1,0), AD (0,1)
1b 2
b)
m(a 1 b)
1
b
2
m(a
A
1
b
)
B
2
2
即(n
m)a
(n
m
1 )b
0
2
n m 0
由于向量a, b不共线，
解得：n= m = 1n
m 1 2
0
3
所以AR 1 AC,同理TC 1 AC,于是RT 1 AC
3
3
3
故AT=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
例1.如图，已知平行四边形ABCD中，E、F在 对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平 行四边形。
证明：由已知设 AB DC a, BE FD b
AE AB BE a b FC FD DC b a
AE FC
A
a bE
B
Fb D a
C
即边AE、FC平行且相等，AECF是平行四边形
设 AP (a, a)
A
C
P
F
EB
EB (1 a,0), BF (0, a (a, a 1)
DP EF (1 a, a) (a, a 1)
D
(1 a)a a(a 1)
0
所以DP EF
因此DP⊥EF.
A
C
P
F
EB
例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
猜想： AR=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
解：设 AB a, AD b , AR r , 则 AC a b
由于 AR与 A共C线，故设 r n(a b ), n R
又因为 ER与E共B线，
所以设ER m EB m(a 1 b)
D
F
C
2
因为 AR AE ER E R
T
所以 r 因此n(a
已知：平行四边形ABCD。
D
求证：AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A
量用它们表示。
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
用向量方法解决平面几何问题的“三步 曲（”1）：建立平面几何与向量的联系，用向量表
示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
例2. 求证平行四边形对角线互相平分．