四川成都高新区高2019高三10月统一检测-数学(文)
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四川成都高新区高2019高三10月统一检测-数学(文)
数学〔文〕
〔考试时间:10月9日下午2:00—4:00 总分:150分〕
第一卷〔选择题,共 50 分〕
【一】选择题〔本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1、 假设集合{}60≤<∈=x N x I |,{}的约数是6P x x |=,{}5431Q ,,,= 那么 =Q )(P C I
( )
〔A 〕{}3 〔B 〕{}54、 〔C 〕Q 〔D 〕{}541、、 〔A 〕
000≤∈∃x e R x ,〔B 〕202x R x x >∈∀,
〔C 〕0=+b a 的充要条件是1
-=b
a
〔D 〕11>>b a ,是1>ab 的充分条件
3、函数
)
(log 132
1-=x y 的定义域为〔〕
〔A 〕)
,(+∞3
1
〔B 〕],(3231〔C 〕),[+∞3
2
〔D 〕
]
,(3
2-∞ 4、以下函数中,既是偶函数,又是区间),(01-上的增函数的是〔〕 〔A 〕x y -=2〔B 〕
x
x y 4-
=〔C 〕x y 2log =〔D 〕62-=x y
5、设804.=a ,408.=b ,
512
1.)
(-=c 那么〔〕 〔A 〕b c a >>〔B 〕c a b >>〔C 〕b a c >>〔D 〕c b a >> 6、
⎪⎩
⎪⎨⎧<-≥-=01012
2x x x x
x f ,,)(,那么1≥)(x f 的解集是〔〕
〔A 〕φ〔B 〕
],[42-〔C 〕),[],(+∞--∞41 〔D 〕),[],(+∞--∞42
7、假设曲线x x x f 24-=)(在点P 处的切线与直线012=-+y x 垂直,那么点P 的坐标
是〔〕
〔A 〕),(01〔B 〕),(11-〔C 〕),(11-〔D 〕),(31-
8、设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,假设611821-=+-=a a a ,,那么当n
S 取最小值
时,=
n 〔〕
〔A 〕6〔B 〕7〔C 〕8〔D 〕9 9、当
210≤
<x 时,x a x log <4,那么a 的取值范围是〔〕
〔A 〕
),(220〔B 〕)
,(12
2〔C 〕),(21〔D 〕),(22 10、假设定义在R 上的函数)(x f y =满足)()(x f x f -=+1,且当],[11-∈x 时,
2x x f =)(,函数
⎩⎨⎧≤>-=1
21
13x x x x g x
,),(log )(,那么函数)()()(x g x f x h -=在区间
],[55-内的零点的个数为〔〕
〔A 〕6〔B 〕7〔C 〕8〔D 〕9
【二】填空题:本大题共5小题,每题5分,共25分,请把答案填在答题卷的横线上。
11、假设bi a i i +=++))((21,其中R b a ∈,,i 为虚数单位,那么=+b a ____________ 12、将容量为n 的样本中的数据分成6组,假设第1组至第6组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1,前三组数据的频数之和等于27,那么=n 13、ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且53=A cos ,13
5=
B cos ,,3=b
那么边=c
14、))(()(32++-=m x m x m x f ,22-=x x g )(,假设R x ∈∀,0<)(x f 或
0<)(x g ,那么m 的取值范围是
15、以下两题任选一题:〔假设两题都做,按第一题评分〕 〔1〕假设圆C 的参数方程为
⎩⎨
⎧=+=θ
θsin cos 313y x 为参数)θ(,那么圆心的坐标为,
圆C 与直线03=-+y x 的交点个数为。
〔2〕设函数
,)(x a x x f 3+-=其中0>a
(Ⅰ)当1=a 时,不等式23+≥x x f )(的解集为
A
B
D
F
C
(Ⅱ)假设不等式0≤)(x f 的解集为{}1-≤x x |,那么=a
【三】解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16、(此题总分值12分) 向量
)
,(cos ),,(sin 31x n x m =-=
〔1〕当//时,求x
x x x cos sin cos sin 23-+的值;
〔2〕在锐角ABC ∆中,c b a ,,分别为角C B A ,,的对边,
)s i n(B A a c +=23,函数
m
n m x f ⋅+=)()(,求
(8π+
B f 的取值范围。
17、(此题总分值12分)
对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M 名学生作为样本,得到这M
直方图如下:
⑶在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[)20,25内的概率。
18、〔此题总分值12分〕 等比数列{}n
a
的各项均为正数,且1621=+a a ,512
29a a a ⋅=
(1) 求数列{}n a 的通项公式;
(2) 设
n
b n a a a a 13213
=⋅⋅⋅⋅ ,求数列{}n
b
的前n 项和n S 。
19、〔此题总分值12分〕
如图,边长为2的正方形ABCD 垂直于△ABE 所在的平面,且AE=1,BE=3 〔1〕求证:平面ADE ⊥平面BCE ;
〔2〕设线段EC 的中点为F ,求二面角A -FB -E 的余弦值。
20、〔此题总分值13分〕 函数
)
,(log )(101
1
≠>-+=a a x x x f a 〔1〕求)(x f 的定义域,判断)(x f 的奇偶性并证明;
〔2〕对于],[42∈x ,
)
()(log )(x x m
x f a
-->712恒成立,求m 的取值范围。
21、〔此题总分值14分〕 函数
x
a x x f -
=ln )(,x ax x f x g ln 6)()(-+=,其中∈a R.
〔Ⅰ〕讨论)(x f 的单调性;
〔Ⅱ〕假设)(x g 在其定义域内为增函数,求正实数a 的取值范围; 〔Ⅲ〕设函数
4)(2+-=mx x x h ,当2=a 时,假设)1,0(1∈∃x ,]2,1[2∈∀x ,总有
)()(21x h x g ≥成立,求实数m 的取值范围。
成都高新区高2018届2018年第10学月统一检测
数学〔文〕答案
〔考试时间:10月9日下午2:00—4:00总分:150分〕
第一卷〔选择题,共50分〕
【一】选择题〔本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的〕 BDBDADCABC
【二】填空题:本大题共5小题,每题5分,共25分,请把答案填在答题卷的横线上。
11、412、6013、5
1414、〔-4,0〕
15、〔1〕〔1,0〕、2〔2〕{}13|-≤≥x x x 或、2
【三】解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16、(此题总分值12分) 解:〔I 〕由n m //,可得3sin x =-cos x ,于是tan x =3
1-
、…………………2分
∴
9
22)3
1(31
31
2tan 31tan cos 2sin 3cos sin -=--⋅+-=-+=-+x x x x x x 、…………………………4分 〔II 〕∵在△ABC 中,A +B =π-C ,于是C B A sin )sin(=+,
由正弦定理知:C A C sin sin 2sin 3⋅=, ∴2
3sin =
A ,可解得
3π=A 、………………………………………………6分
又△ABC 为锐角三角形,于是2
6
ππ
<
<B ,
∵)(x f =m
n m ⋅+)(
=(sin x +cos x ,2)·(sin x ,-1)
=sin 2
x +sin x cos x -2 =2
2sin 2
12
2cos 1-+-x x
=2
3)42sin(22--πx ,
∴
2
32sin 2223]4)8(2sin[22)8(-
=--+=+B B B f πππ
、……………………10分
由2
6ππ<
<B 得ππ
<<B 23, ∴0<sin2B ≤1,得23-<2
32sin 22-B ≤2322-、
即]
2
32223()8(--∈+,πB f 、………………………………………………12分 17、(此题总分值12分)
解:⑴由题可知10
0.25
M
=,25
n
M
=,m
p
M
=,2
0.05
M
=.
又10252m M +++=,解得40M =,0.625n =,3m =,0.075=p . 那么[15,20)组的频率与组距之比a 为0.125.
…………(5分)
⑵参加在社区服务次数在区间[15,20)内的人数为3600.625225⨯=人. …………(8
分)
⑶在样本中,处于[20,25)内的人数为3,可分别记为,,A B C ,处于[25,30)内的人数
为2,可分别记为,a b .从该5名同学中取出2人的取法有(,),(,),(,)A a A b B a
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)B b C a C b A B A C B C a b 共10种;至多一人在[20,25)内的情
况有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b B a B b C a C b a b 共7种,所以至多一人参加社区服务次数在区间
[)20,25内的概率为7
10
. ………… (12分)
18、〔此题总分值12分〕 解:〔Ⅰ〕设{a n }的公比为q ,那么q >0,
由有⎩⎨⎧⋅==+,
,)(9)(164
112111q a a q a q a a
可解得
31=q (31-=q 已舍去),3
11=
a 、 ∴n n n a )
3
1()31(311=⨯=-、 ……………………………………………………6分 〔Ⅱ〕∵
2
)1(-2)1(321321
3)3
1()31()31()31()31()31(3++++++===⋅⋅⋅⋅=n n n n n n b n
, ∴2)1(1+-=n n b n ,即)111(2)1(2+--=+-=n n n n b n 、………………………9分
∴n
n b b b b S ++++= 321
)
1113121211(2+-++-+--=n n
)
1
11(2+--=n
1
2+-
=n n 、………………………………………………………………12分 19、〔此题总分值12分〕
〔1〕证明:∵AE=1,BE=3,AB=2,∴
2
π=
∠AEB
又正方形ABCD ⊥平面ABE ,AD ⊥AB ,平面ABCD ∩平面ABE=AB ,∴AD ⊥平面ABE , ∴AD ⊥BE ∴BE ⊥平面ADE ,∴BE ⊂平面BCE ∴平面ADE ⊥平面BCE 。
……6分
〔2〕解:以A 为原点,AB 、AD 分别为y 、z 轴建立如下图的空间直角坐标系A-xyz , 那么B(0,2,0),C(0,2,2),
),,(02123E ,),,(14543F ∴),,(020=AB ,)
,,(14
543=
)
,,(021
23=AE 设平面ABF 的法向量为
)
,,(z y x =由
⎪
⎩⎪⎨⎧=++=045
4
302z y x y ,取
)
,,(4
301-=n
而平面BEF 的法
向
量
为
)
,,(02
1
23=AE ,
∴
19
57216
3123=
+=
>=
<n AE ,cos
结合图形可知,所求二面角的余弦值为
19
572…………12分 20、〔此题总分值13分〕
解:〔1〕∵0
1
1
>-+x x ∴11>-<x x 或∴定义域为)
,(),(∞+∞11-- ……2分 当)
,(),(∞+∞∈11-- x 时,=--+-=-1
1
x x x f a log )(=+-11log x x a
11log -+-x x a )(x f -=∴)(x f 为奇函数。
……6分
〔2〕由]4,2[∈x 时,
)
7()1(log )(2x x m
x f a
-->恒成立
①当1>a 时,
0)
7()1(112
>-->-+x x m
x x ∴)7)(1)(1(0x x x m --+<<
设77)7)(1)(1()(23-++-=--+=x x x x x x x g ∴
3
52)37(31143)(22
+
--=++-='x x x x g
当]4,2[∈x 时,0)(>'x g ,∴15)2()(min
==g x g ,∴150<<m ……10分
②当10<<a 时,]4,2[∈x ,
)
7()1(112x x m
x x --<
-+∴)7)(1)(1(x x x m --+> 77)7)(1)(1()(23-++-=--+=x x x x x x x g
∴
3
52)37(31143)(22
+
--=++-='x x x x g
由①知,)(x g 在]4,2[上为增函数,∴45)4()(max
==g x g ,∴45>m
∴m 的取值范围是),(),(∞+45150 ……13分 21、〔此题总分值14分〕
解:〔Ⅰ〕)(x f 的定义域为),0(+∞,且
2
)('x
a x x f +=,----------------1分 ①当0≥a 时,0)('>x f ,)(x f 在),0(+∞上单调递增;----------------2分 ②当0<a 时,由0)('>x f ,得a x ->;由0)('<x f ,得a x -<; 故)(x f 在),0(a -上单调递减,在),(+∞-a 上单调递增.----------------4分
〔Ⅱ〕
x
x
a
ax x g ln 5)(--=,)(x g 的定义域为),0(+∞ 2
2255)('x a x ax x x a a x g +-=
-+=----------------5分
因为)(x g 在其定义域内为增函数,所以),0(+∞∈∀x ,0)('≥x g
max
222
2
15155)1(05⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+≥⇔+≥⇔≥+⇔≥+-⇔x x a x x a x x a a x ax
而
2
5
15152≤+=+x
x x x ,当且仅当1=x 时取等号,所以
2
5≥
a -------8分 〔Ⅲ〕当2=a 时,
x x x x g ln 522)(--=,2
2252)('x x x x g +-=
由0)('=x g 得
2
1=
x 或2=x
当
)21,0(∈x 时,0)('≥x g ;当)
1,2
1(∈x 时,0)('<x g .
所以在)1,0(上,
2
ln 53)2
1
()(max +-==g x g ----------------10分 而“)1,0(1∈∃x ,]2,1[2∈∀x ,总有)()(21x h x g ≥成立”等价于
“)(x g 在)1,0(上的最大值不小于)(x h 在]2,1[上的最大值” 而)(x h 在]2,1[上的最大值为)}2(),1(max{h h 所以有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥)2()2
1()1()21
(h g h g ⎩⎨⎧-≥+--≥+-⇔m m 282ln 5352ln 53⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≥⇔)2ln 511(212ln 58m m 2ln 58-≥⇔m 所
以
实
数
m
的取值范围是
) ,2ln 58[∞+------------------------------------------------------------14分。