2021-2022年高考数学二轮复习 第一部分 专题七 选修选考专题跟踪训练24 文

2021年高考数学二轮复习第一部分专题七选修选考专题跟踪训
练24 文
1．(xx·新课标全国卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.
(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．
[解](1)证明：连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.
连接OE，则∠OBE＝∠OEB.
又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，
故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．
(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.
由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.
可得x＝3，所以∠ACB＝60°.
2．(xx·天星教育二次联考)如图，梯形ABCD满足AB∥CD，∠ADC＋∠ABC＝180°，E在AB的延长线上，EC2＝AE·BE.
(1)求证：∠ACD＝∠BCE；
(2)若AC ＝22，DC ＝EC ＝2，求BE 的长．
[解] (1)证明：由∠ADC＋∠ABC＝180°，可知A ，B ，C ，D 四点共圆，记为圆O ， 由EC 2＝AE ·BE 可知CE 是圆O 的切线．
由弦切角定理得∠ECB＝∠CAB，
又AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∴∠ACD＝∠BCE.
(2)∵∠ADC＋∠ABC＝180°＝∠DCB＋∠ABC，
∴∠ADC＝∠DCB＝∠ACD＋∠ACB，
又∠ACD＝∠BCE，
∴∠ADC＝∠BCE＋∠ACB＝∠ACE，
又∠ACD＝∠CAB，故△ACE∽△CDA，∴AC CD ＝AE AC
， ∴AC 2＝CD·AE，又AC ＝22，DC ＝2，∴AE＝4，
又EC 2＝AE·BE，EC ＝2，∴BE＝1.
3．(xx·辽宁沈阳质量监测一)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的两个点，CE⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG.
(1)求证：C 是劣弧BD ︵
的中点；
(2)求证：BF ＝FG.
[证明] (1)∵CF＝FG ，∴∠CGF＝∠FCG.
∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝π2. ∵CE⊥AB，∴∠CEA＝π2. ∵∠CBA＝π2－∠CAB，∠ACE＝π2
－∠CAB， ∴∠CBA＝∠ACE.
∵∠CGF＝∠DGA，∠DGA＝∠ABC， ∴π2－∠DGA＝π2
－∠ABC， ∴∠CAB＝∠DAC，∴C 为劣弧BD ︵
的中点． (2)∵∠GBC＝π2－∠CGB，∠FCB＝π2
－∠GCF， ∴∠GBC＝∠FCB，∴CF＝FB ，∵CF＝FG ，∴BF＝FG.
4．(xx·辽宁大连双基)如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，P 是⊙O 1上一点，
PB 的延长线交⊙O 2于点C ，PA 交⊙O 2于点D ，CD 的延长线交⊙O 1于点N.
(1)点E 是AN ︵
上异于A ，N 的任意一点，PE 交CN 于点M ，求证：A ，D ，M ，E 四点共圆；
(2)求证：PN 2＝PB·PC.
[证明] (1)连接AB ，∵A，B ，P ，E 四点共圆，∴∠ABC＝∠E.
又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC＝∠E，∴A，D ，M ，E 四点共圆．
(2)解法一：连接BN ，∵∠PNB＝∠PAB＝∠C，∠BPN＝∠NPC，
∴△PNB∽△PCN，PB PN ＝PN PC
，∴PN 2＝PB·PC. 解法二：连接AN.由(1)知∠PDN＝∠E，
∴∠PDN＝∠E＝∠PNA，
又∵∠APN＝∠NPD，∴△PDN∽△PNA，
∴PD
PN
＝
PN
PA
，∴PN2＝PD·PA，
PB·PC＝PD·PA，∴PN2＝PB·PC.。