重庆市涪陵区2019-2020学年高考数学第二次调研试卷含解析

重庆市涪陵区2019-2020学年高考数学第二次调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数
在
上的值域为
，则实数的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】 将
整理为
，根据的范围可求得
；根据
，结合
的
值域和的图象，可知，解不等式求得结果.
【详解】
当时，
又，，
由在上的值域为
解得：
本题正确选项： 【点睛】
本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.
2．设椭圆E ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，
直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ）
A ．
23
B ．
12
C ．
13
D ．
14
【答案】C 【解析】 【分析】
连接OM ，OM 为ABC ∆的中位线，从而OFM AFB ∆∆:，且12OF FA
=
，进而
1
2
c a c =-，由此能求出椭圆的离心率. 【详解】
如图，连接OM ，
Q 椭圆E ：()222210x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限， 直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点
∴OM 为ABC ∆的中位线， ∴OFM AFB ∆∆:，且
1
2
OF FA
=
， 12
c a c ∴
=-， 解得椭圆E 的离心率13
c e a ==. 故选：C 【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.
3．使得()3n
x n N x x +⎛
∈ ⎝
的展开式中含有常数项的最小的n 为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B 【解析】
二项式展开式的通项公式为r -n 3x n r
r C （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5
=2
n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B
【考点定位】本题考查二项式定理的应用．
4．集合{}2
|30A x x x =-≤，(){}
|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( )
A ．{}|02x x ≤<
B ．{}|13x x ≤<
C ．{}|23x x <≤
D ．{}|02x x <≤
【答案】A 【解析】 【分析】
解一元二次不等式化简集合A ，再根据对数的真数大于零化简集合B ，求交集运算即可. 【详解】
由230x x -≤可得03x ≤≤，所以{|03}A x x =≤≤，由20x ->可得2x <,所以{|2}B x x =<,所以
{|02}A B x x ⋂=≤<，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.
5．已知函数()2ln 2,0
3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在
1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】
可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，
当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，
()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；
当0x ≤时，()2
32
f x x
x =+
，()3
'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当
3
04
x -<<时，()f x 单增； 根据题意画出函数大致图像，如图：
当1y mx =-与()2
32
f x x x =+
（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；
当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x x
y mx m x =-⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
，
解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛
⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
故选：A 【点睛】
本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题 6．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．
1
4
B ．
15
C ．
25
D ．
35
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.
【详解】
由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.
则恰好第三次就停止摸球的概率为51204
p ==. 故选：A. 【点睛】
本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题. 7．已知函数()ln 1f x x =+，()12
2x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ） A ．1
ln 22
+ B ．2e -
C ．1ln 22
-
D ．12
e -
【答案】A 【解析】
分析：设()()f m g n t ==，则0t >，把,m n 用t 表示，然后令()h t m n =-，由导数求得()h t 的最小值．
详解：设()()f m g n t ==，则0t >，1t m e -=，11ln
ln ln 2222
t n t =+=-+， ∴11ln ln 22t m n e t --=-+-，令1
1()ln ln 22
t h t e t -=-+-，
则11'()t h t e t -=-，1
21"()0t h t e t
-=+>，∴'()h t 是(0,)+∞上的增函数，
又'(1)0h =，∴当(0,1)t ∈时，'()0h t <，当(1,)t ∈+∞时，'()0h t >， 即()h t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()h 1是极小值也是最小值，
1(1)ln 22
h =
+，∴m n -的最小值是1
ln 22+．
故选A ．
点睛：本题易错选B ，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求b a -的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数()h t 的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错． 8．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()2
10y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、
y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）
A ．
16
B ．
15
C ．
14
D ．
12
【答案】A 【解析】 【分析】
设所求切线的方程为y kx =，联立()2
01
y kx k y x ⎧=>⎨
=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的
值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】
设所求切线的方程为y kx =，则0k >， 联立()2
01
y kx k y x ⎧=>⎨
=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =，
方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ， 所以，阴影部分区域的面积为()1
2
32100
111233S x x dx x x x ⎛⎫=
+-=-+= ⎪⎝⎭⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为1
6
S P S =='. 故选：A. 【点睛】
本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.
9．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ） A ．1 B
．
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
设直线l 的方程为x ＝12y 2
p
+，与抛物线联立利用韦达定理可得p ． 【详解】 由已知得F （
2
p
，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0）， ∴y 1+y 2＝p ，
又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 01
2
=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2,
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．
10．已知向量(,1)a m =r ，(1,2)b =-r ，若(2)a b b -⊥r r r ，则a r 与b r
夹角的余弦值为（ ）
A
．13
-
B
．
13
C
．65
-
D
．
65
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用向量的坐标运算得到向量2a b -r r 的坐标，利用(2)=0a b b -⋅r r r 求得参数m ，再用cos ,||||
a b
a b a b ⋅〈〉=r r
r r r r
计算即可. 【详解】
依题意，2(2,3)a b m -=+-r r ， 而(2)=0a b b -⋅r r r
， 即260m ---=， 解得8m =-，
则cos ,13||||a b a b a b ⋅〈〉===r r
r r r r .
故选：B. 【点睛】
本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
11．设F 为抛物线2
4x y =的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r
，则
|||||FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r
（ ）.
A ．9
B ．6
C ．38
D ．
316
【答案】C 【解析】 【分析】
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r
可得1233
16
x x x ++=
，利用定义将|||||FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r
用123,,x x x 表示即可.
【详解】
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r
及1
(
,0)16
F ，
得111(,)16x y -+221
(,)16x y -331(,)(0,0)16x y +-=，故123316
x x x ++=，
所以123111|||||161616FA FB FC x x x ++=+++++=u u u r u u u r u u u r 3
8
. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.
12．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】B 【解析】 【分析】
根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果. 【详解】
输入10n =，1n =不成立，n 是偶数成立，则10
52
n =
=，011i =+=； 1n =不成立，n 是偶数不成立，则35116n =⨯+=，112i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则16
82n =
=，213i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则8
42
n ==，314i =+=；
1n =不成立，n 是偶数成立，则4
22n =
=，415i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则2
12
n ==，516i =+=；
1n =成立，跳出循环，输出i 的值为6.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面上，且AB CD a ==
，
AC AD BC BD ====，则a =__________．
【答案】【解析】
由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上， 设长方体的长宽高为,,x y z ，由题意可得：
222
222255
x y a y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩
，据此可得：()2
2222
1022a x y z R +++==， 则球的表面积：2
2
10492
a S R πππ+==⨯=，
结合0a >
解得：a =点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
14．函数2
1
4y x x
=+
的单调增区间为__________. 【答案】1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的x 的集合，从而可得函数的单调增区间. 【详解】
函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞.
322
181
8x y x x x
-'=-=， 令0y '>，则12x >
，故函数的单调增区间为：1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
. 故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题.
15．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，则C ∠=__________． 【答案】120︒ 【解析】
∵2cos 2c B a b =+，∴222
222a c b c a b ac +-⨯=+，即222a b c ab +-=-，
∴2221
cos 22
a b c C ab +-==-，∴120C =︒．
16．某种牛肉干每袋的质量()m kg 服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为(
)2
2,N σ
，
(1.9 2.1)0.98P m =剟.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于1.9kg 的袋数大约是
_____袋. 【答案】1 【解析】 【分析】
根据正态分布对称性，求得质量低于1.9kg 的袋数的估计值. 【详解】
由于2μ=，所以()10.98
1.90.012
P m -<=
=，所以100袋牛肉干中，质量低于1.9kg 的袋数大约是1000.011⨯=袋.
故答案为：1 【点睛】
本小题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设33()(4)log (01).11
a f x a x x a a a a =--
+>≠--且 （1）证明:当4a =时，()ln 0x f x +≤；
（2）当1x ≥时()0f x ≤，求整数a 的最大值.（参考数据：
20.69,3 1.10ln ln ≈≈，5 1.61,7 1.95ln ln ≈≈） 【答案】（1）证明见解析；（2）5a =. 【解析】 【分析】
（1）将4a =代入函数解析式可得()1f x x =-+，构造函数()ln 1g x x x =-+，求得()g x '并令
()0g x '=，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由()max 0g x =即可证明()0g x ≤恒成立，即
不等式得证.
（2）对函数求导，变形后讨论当1a >时的函数单调情况：当
()()413ln a a a
--≤时，可知满足题意；将不
等式化简后构造函数()2543ln ,1g a a a a a =-+->，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为()3g ，分别依次代入检验()()()()3,4,5,6g g g g ⋅⋅⋅的符号，即可确定整数a 的最大值；当
()()413ln a a a
-->时不满足题意，因为求整数a 的最大值，所以
01a <<时无需再讨论.
【详解】
（1）证明：当4a =时代入()f x 可得()1f x x =-+， 令()ln 1g x x x =-+，()0,x ∈+∞，
则()111x
g x x x
-'=-=，
令()0g x '=解得1x =，
当()0,1x ∈时()0g x '>，所以()ln 1g x x x =-+在()0,1x ∈单调递增， 当()1,x ∈+∞时()0g x '<，所以()ln 1g x x x =-+在()1,x ∈+∞单调递减， 所以()()max 1ln1110g
x g ==-+=，
则()ln 10g x x x =-+≤，即()ln 0x f x +≤成立. （2）函数33
()(4)log (01).11
a f x a x x a a a a =--
+>≠--且 则
()()()41343
ln (),1ln 1
1ln a a x
a a
f x x x a a x a a
----'=
-=≥--，
若1a >时，当
()()413ln a a a
--≤时，()0f x '<，则()f x 在[)1,+∞
时单调递减，所以()()10f x f ≤=，
即当1x ≥时()0f x ≤成立；
所以此时需满足()()1413ln a a a a >⎧⎪
--⎨≤⎪
⎩
的整数解即可，
将不等式化简可得2543ln a a a -+≤， 令()2543ln ,1g a a a a a =-+->
则()()()2213325325,1a a a a g a a a a a a
+---'=--==> 令()0g a '=解得3a =，
当()1,3a ∈时()0g a '<，即()g a 在()1,3a ∈内单调递减， 当()3,a ∈+∞时()0g a '>，即()g a 在()3,a ∈+∞内单调递增， 所以当3a =时()g a 取得最小值，
则()2335343ln 323ln 30g =-⨯+-=--<，
()2445443ln 43ln 40g =-⨯+-=-<，
()2555543ln543ln543 1.610g =-⨯+-=-≈-⨯<， ()()2665643ln 6103ln 2ln3103 1.790g =-⨯+-=-+≈-⨯>
所以此时满足2543ln a a a -+≤的整数a 的最大值为5a =； 当
()()413ln a a a
-->时，在()()411,2ln a a x a
⎡⎤--∈⎢⎥
⎣
⎦
时()0f x '>，此时()()10f x f >=，与题意矛盾，
所以不成立.
因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论， 综上所述，当1x ≥时()0f x ≤，整数a 的最大值为5a =. 【点睛】
本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断函数值法符号，综合性强，属于难题.
18．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
（θ为参数），以坐标原点O 为极
点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
cos sin 30ρθρθ+-=.
（1）求直线l 的直角坐标方程；
（2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值和最大值. 【答案】（1）30x y +-=（2
）最大值2
. 【解析】 【分析】
（1）结合极坐标和直角坐标的互化公式可得；
（2）利用参数方程，求解点到直线的距离公式，结合三角函数知识求解最值. 【详解】
解：（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，代入cos sin 30ρθρθ+-=，可得直线l 的直角坐标方程为
30x y +-=.
（2）曲线C 上的点()cos ,2sin θθ到直线l
的距离d =
=
cos ϕ=
，sin ϕ=. 故曲线C 上的点到直线l
距离的最大值max d =
=
，
曲线C 上的点到直线l
的距离的最小值min d ==.
【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及最值问题，椭圆上的点到直线的距离的最值求解优先考虑参数方法，侧重考查数学运算的核心素养.
19．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2221(15)x y a a
+=<<上，该椭圆的左顶点A 到直线50
x
y -+=的距离为
2
. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若椭圆C 外一点N 满足，MN u u u u v
平行于y 轴，(2)=0ON OM MN -⋅u u u v
u u u u v u u
u u v
，动点P 在直线x =满足2ON NP ⋅=u u u v u u u v
.设过点N 且垂直OP 的直线l ，试问直线l 是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请说明理由.
【答案】（1）2
214
x y +=；
（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）根据点到直线的距离公式可求出a 的值，即可得椭圆方程；
（2）由题意M （x 0，y 0），N （x 0，y 1），P （23，t ），根据()
20ON OM MN -⋅=u u u v u u u u v u u u u v ，可得y 1＝2y 0，由2ON NP ⋅=u u u v u u u v
，
可得23x 0+2y 0t ＝6，再根据向量的运算可得•0NF OP =u u u v u u u v
，即可证明．
【详解】
（1）左顶点A 的坐标为（﹣a ，0），∵＝
，∴|a ﹣5|＝3，解得a ＝2或a ＝8（舍去），∴椭
圆C 的标准方程为
+y 2＝1，
（2）由题意M （x 0，y 0），N （x 0，y 1），P （2
，t ），则依题意可知y 1≠y 0，()
ON 2OM MN 0u u u v u u u u v u u u u v
Q -⋅=得
（x 0﹣2 x 0，y 1﹣2y 0）• （0，y 1﹣y 0）=0，整理可得y 1＝2y 0，或y 1＝y 0 （舍），ON NP 2u u u v u Q u u v
⋅=，得（x 0，2y 0）（2﹣x 0，t ﹣2y 0）＝2，整理可得2
x 0+2y 0t ＝x 02+4y 02+2＝6，由（1）可得F （
，0），∴
＝
（
﹣x 0，﹣2y 0），∴•
＝（
﹣x 0，﹣2y 0）（2，t ）＝6﹣2
x 0﹣2y 0t ＝0，∴NF ⊥OP ，故过
点N 且垂直于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F ． 【点睛】
本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题.
20．已知点00(,)M x y 为椭圆2
2:12
x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+= 交于
A ，
B 两点，点F 为椭圆
C 的左焦点.
（1）求证：直线l 与椭圆C 相切； （2）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）是，理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据判别式即可证明．
（2）根据向量的数量积和韦达定理即可证明，需要分类讨论， 【详解】
解：（1）当00y =时直线l 方程为2x 2x =-l 与椭圆C 相切.
当00y ≠时，由22
01222
x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得()2222
000024440y x x x x y +-+-=，
由题知，2
2
0012
x y +=，即220022x y +=，
所以()(
)()()()2
2
2
2
2222
000
00044244162116220x y x y x
y x y ⎡⎤∆=--+-=--=+-=⎣⎦
. 故直线l 与椭圆C 相切.
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，
当00y =时，12x x =，12y y =-
，1x =
()()()222
22111111161240FA FB x y x x x ⋅=+-=+-+-=-=u u u r u u u r
所以FA FB ⊥u u u r u u u r
，即90AFB ∠=︒.
当00y ≠时，由()2
20016,22
x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩得()()2222
00001222100y x y x x y +-++-=，
则()2
00122
221y x x x y ++=
+，2
1220
2101y x x y -=+， ()22
000
01212122222
0000
54414222x x x x y y x x x x y y y y --+=-++=+. 因为()()11221,1,FA FB x y x y ⋅=+⋅+u u u r u u u r
1212121x x x x y y =++++
2222
00000022
00
42084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ ()22
002
5210
022x y y -++=
=+.
所以FA FB ⊥u u u r
u u u r
，即90AFB ∠=︒.故AFB ∠为定值90︒. 【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查向量的运算，注意直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面
ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．
（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF P 平面PCE ，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角D FC B --的余弦值为2
时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角． 【答案】（1）见解析（2）60︒ 【解析】 【分析】
（Ⅰ）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，得到故//AE FQ 且AE FQ =，进而得到//AF EQ ，利用线面平行的判定定理，即可证得//AF 平面PEC .
（Ⅱ）以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，求得平面FBC 的法向量为m v
，和平面DFC 的法向量n v
，利用向量的夹角公式，求得3a =，进而得到PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，
即可求解. 【详解】
（Ⅰ）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且1
2
FQ CD =
， //AE CD 且1
2
AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.
所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （Ⅱ）由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，
又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =， 所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
设FD a =，则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C
，)
B
，
()0,2,FC a =-u u u v
，)
1,0CB =
-u u u v ，
设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =v
，
则由00m FC m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v
得200y az y -=⎧⎪-=，令1x =
，则y =
z =
所以取m a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
v ，显然可取平面DFC 的法向量()1,0,0n =v
，
cos ,m n ==
v v
，所以a =由于PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 易知在Rt PBD ∆
中，tan PD
PBD a BD
∠=
==，从而60PBD ∠=︒， 所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60︒. 【点睛】
本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，(
)*
21n n S a n N +=∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11111n n n c a a +=
++-，n T 为数列{}n c 的前n 项和.求证：123
n T n >-.
【答案】（1）13n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2）证明见解析
【解析】 【分析】
（1）利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.
（2）先将n c 缩小即111233n n n c +⎛⎫>-- ⎪⎝⎭
，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.
【详解】
（1）∵(
)
*
21n n S a n N
+=∈，令1n =，得113
a =
. 又()11212n n S a n --+=≥，两式相减，得
11
3
n n a a -=. ∴13n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
. （2）∵
1
11111133n n
n c +=
+
⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
1113311231313131
n n n n n n +++=+=-++-+- 11
123131n n +⎛⎫=-- ⎪+-⎝⎭
.
又∵
11313n n <+，11
11313n n ++>-，∴11
1233n n n c +⎛⎫>-- ⎪⎝⎭
. ∴223111111
12333333n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫>--
+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111
22333
n n n +=+
->-. ∴1
23
n T n >-. 【点睛】
本小题主要考查已知n S 求n a ，考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
23．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120,2,,BAD PA PB PC PD E ∠=︒===是PB 的中点．
（1）证明：PD //平面AEC ；
（2）设F 是线段DC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求三棱锥P AFE -的体积． 【答案】（1）见解析（23
【解析】 【分析】
（1）连接DB 与AC 交于O ，连接OE ，证明//PD OE 即可得证线面平行；
（2）首先证明PA ⊥平面ABCD (只要取BC 中点M ，可证BC ⊥平面PAM ，从而得PA BC ⊥，同理得PA CD ⊥),因此点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，由平面几何知识易得最大值，然后可计算体积． 【详解】
（1）证明：连接DB 与AC 交于O ，连接OE ， 因为ABCD 是菱形，所以O 为DB 的中点， 又因为E 为PB 的中点， 所以//PD OE ，
因为PD ⊄平面,AEC OE ⊂平面AEC ， 所以//PD 平面AEC ．
（2）解：取BC 中点M ，连接,AM PM ，
因为四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，且PC PB =， 所以,BC AM BC PM ⊥⊥，又AM PM M =I ， 所以BC ⊥平面APM ，又AP ⊂平面APM ， 所以BC PA ⊥．
同理可证：DC PA ⊥，又BC DC C =I ， 所以PA ⊥平面ABCD ， 所以平面PAF ⊥平面ABCD ， 又平面PAF ⋂平面ABCD AF =，
所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离， 过B 作直线AF 的垂线段，在所有垂线段中长度最大为2AB =， 因为E 为PB 的中点，故点E 到平面PAF 的最大距离为1，
此时，F 为DC 的中点，即AF =
所以11
222
PAF S PA AF =
⋅=⨯=△
所以113P AFE E PAF V V --===
【点睛】
本题考查证明线面平行，考查求棱锥的体积，掌握面面垂直与线面垂直的判定与性质是解题关键．。