2008年高考试题--数学文(陕西卷)word有答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
文科数学（必修+选修Ⅰ）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．
．sin330︒等于（ ）
A ．
B ．12
-
C ．
12
D 2．已知全集{12345}U =，，，，，集合{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合()U A B =ð（ ）
A ．{3}
B ．{4,5}
C ．{3,4,5}
D ．{1245}，，，
．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ） A ．30 B ．25 C ．20 D ．15 4．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64
B ．100
C ．110
D ．120
0y m -+=与圆22
220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）
A
B ．或
C ．-
D ．-6．“1a =”是“对任意的正数x ，21a
x x
+≥”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 ．已知函数3
()2x f x +=，1
()f
x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11
()()f m f n --+的
值为（ ） A ．10 B ．4
C ．1
D ．2-
8．长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为1的球面上,其中1::AB AD AA =,则两,A B 点的球面距离为( ) A ．
4
π
B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π ．双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲
线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）
A
B
C
D 10．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角
分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ） A ．m n θϕ>>， B ．m n θϕ><， C ．m n θϕ<<，
D ．m n θϕ<>，
．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x
y ∈R ，），(1)2f =
，则(2)f -等于
（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9
12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原
信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，）
，传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信
息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．00011
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． ．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ===，则a = ．
14．7
2
(1)x
-的展开式中
21
x
的系数为 ．(用数字作答) ．关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：
①若a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号） 16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） ．（本小题满分12分） 已知函数()2sin
cos 442
x x x
f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 18．（本小题满分12分）
一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.
A B a
b
l α
β
（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率； （Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．
．（本小题满分12分）
三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面
ABC
，1A A 1122AB AC A C ===，D 为BC 中点．
（Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小．
20．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的首项12
3
a =
，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．
（Ⅰ）证明：数列1
{
1}n
a -是等比数列； （Ⅱ）数列{
}n
n
a 的前n 项和n S ． ．（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．
（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；
（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．
2．本小题满分14分）
设函数3
2
2
2
()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．
（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；
A 1
A C 1
B 1
B
D C
（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为
()h a ，求()h a 的值域；
（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围．
2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
文科数学（必修+选修Ⅰ）答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．
． B 2． D ． C 4． B ． A 6． A ． D 8． C ． B 10． D ． A 12． C
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．
． 14． 84．②16． 96
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） ．（本小题满分12分）
已知函数()2sin
cos 442
x x x
f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 17．解：（Ⅰ）
()
f x sin 22x x =π2sin 23x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
．
()f x ∴的最小正周期2π
4π12
T =
=． 当πsin 123x ⎛⎫+=-
⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭2cos 2x =．
()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫
-=-== ⎪⎝⎭．
∴函数()g x 是偶函数．
18．（本小题满分12分）
一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.
（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率； （Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．
解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有2
9A 种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有2
2
34A A 种结果，则所求概率
22
3411
291341()6986
A A P P A ===⨯=或． （Ⅱ）第一次摸出红球的概率为1
2
19A A ，第二次摸出红球的概率为117229A A A ，第三次摸出红球的概率为21723
9
A A A ，
则摸球次数不超过3次的概率为
11211
7272221239997
12
A A A A A P A A A =++=．
．（本小题满分12分）
三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面
ABC
，1A A 1122AB AC A C ===，D 为BC 中点．
（Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小．
19．解法一：（Ⅰ）
1A A ⊥平面ABC BC ⊂，平面ABC ，
∴1A A BC ⊥．在Rt ABC △中，AB AC =，D 为BC 中点 ∴BC AD ⊥．又1A A
AD A =，BC ∴⊥平面1A AD ，
BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．
（Ⅱ）如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ， 由已知得AB ⊥平面11ACC A ．
AE ∴是BE 在面11ACC A 内的射影．
由三垂线定理知1BE CC ⊥，
AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角．
过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点， 则1CF AC AF =-=
，11C F A A =，
160C CF ∴∠=．
在Rt AEC △
中，sin 602AE AC === 在Rt BAE △
中，tan 3AB AEB AE =
==
．
arctan
3
AEB ∴∠=， A 1
A C 1
B 1
B
D
C
A 1
A
C 1
B 1
B
D C
F
E
（第19题，解法一）
即二面角1A CC B --
为arctan ．
解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，
则11(000)(200)(020)(00A B C A C ，，，，，，，，，，，
D 为BC 中点，D ∴点坐标为()11
0，，． ∴()110AD =，，
，1(220)(00BC AA =-=，，，．
10BC AA =，0BC AD =，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A A
AD A =，
BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．
（Ⅱ）
BA ⊥平面11ACC A ，如图可取(200)AB ==，
，m 为平面11ACC A 的法向量， 设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC ==，n n ．
2200l m m -+=⎧⎪∴⎨
-+=⎪⎩，
，3l m n m ∴==，， 如图，令1m =，则311
⎛
= ⎝
⎭
，，n ，
2
22
21010cos 7
11⨯+⨯<>=
=
⎛++ ⎝，m n 即二面角1A CC B --为21
arccos 为所求． 20．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的首项12
3
a =
，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．
（Ⅰ）证明：数列1
{
1}n
a -是等比数列； （Ⅱ）数列{
}n
n
a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）
121
n n n a a a +=
+，∴ 111
111222
n n n n a a a a ++==+⋅， （第19题，解法二）
∴
11111(1)2n n a a +-=-，又12
3
a =，∴11112a -=， ∴数列1{
1}n a -是以为12首项，1
2
为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知
1111111222n n n a -+-=⋅=，即1112
n n a =+，∴2n n n n
n a =+． 设23123222n T =
+++…2n n
+， ① 则23112222n T =++…1122n n n n
+-++，② 由①-②得
2111222n T =++ (111)
11(1)
1122112222212
n n n n n n n n n +++-+-=-=---， ∴11222n n n n T -=--．又123+++ (1)
2
n n n ++=．
∴数列{}n n
a 的前n 项和 22(1)4222222
n n n n n n n n n S +++++=-+
==． ．（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．
（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；
（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．
解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，
，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得122
k
x x +=
，121x x =-， ∴1224N M x x k
x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．
设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭， 将2
2y x =代入上式得22
2048
mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，
22
22282()04
8mk k m m mk k m k ⎛⎫
∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．
即l AB ∥．
（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又
M 是AB 的中点，
1
||||2
MN AB ∴=
． 由（Ⅰ）知121212111
()(22)[()4]222
M y y y kx kx k x x =+=+++=++
2
2142224
k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216
||||2488
M N k k k MN y y +∴=-=+-=
．
又2
212121||||1()4AB x x k
x x x x =-=++-
2
2214(1)11622k k k ⎛⎫
=-⨯-=++ ⎪⎝⎭
．
22161
168k k +∴=+，解得2k =±．
即存在2k =±，使0NA NB =．
解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，
，，，把2y kx =+代入2
2y x =得 2220x kx --=．由韦达定理得121212
k
x x x x +==-，．
∴1224N M x x k
x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．
22y x =，4y x '∴=，
∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44
k
k ⨯
=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．
由（Ⅰ）知2222
1122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则 22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪
⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ ()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤
⎡⎤
=-++++++⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫
⎡⎤
=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪
⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
22313164k k ⎛⎫⎛⎫
=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
0=，
21016k --<，23
304
k ∴-+=，解得2k =±．
即存在2k =±，使0NA NB =．
2．本小题满分14分）
设函数3
2
2
2
()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．
（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为
()h a ，求()h a 的值域；
（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）
2
2
()323()()3
a
f x x ax a x x a '=+-=-+，又0a >，
∴ 当3a x a x <->
或时，()0f x '>；当3
a
a x -<<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,)a -∞-和(,)3a +∞内是增函数，在(,)3a
a -内是减函数．
（Ⅱ）由题意知 3222
121x ax a x ax x +-+=-+，
即2
2
[(2)]0x x a --=恰有一根（含重根）．∴ 2
2a -≤0，即≤a ，
又0a ≠，∴ [(0,2]a ∈．
当0a >时，()g x 才存在最小值，∴a ∈．
2
1
1()()g x a x a a
a
=-+-
，
∴ 1
(),h a a a a
=-∈． ∴()h a 的值域为(,1-∞-．
（Ⅲ）当0a >时，()f x 在(,)a -∞-和(,)3a
+∞内是增函数，()g x 在1(,)a
+∞内是增函数． 由题意得031a a a a a ⎧⎪>⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩
，解得a ≥1； 当0a <时，()f x 在(,)3a
-∞和(,)a -+∞内是增函数，()g x 在1(,)a
-∞内是增函数． 由题意得02312a a a a a
⎧⎪<⎪⎪+≤
⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解得a ≤3-； 综上可知，实数a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞．。