线性系统理论复习题纲

《线性系统理论基础》复习提纲
第1章线性系统的状态空间描述
1、基本概念
状态（向量）
状态空间
状态轨迹
状态空间模型（表示）
状态方程、输出方程
系统矩阵、控制矩阵、前馈矩阵、输出矩阵
状态结构（方框）图
线性系统
时不变（定常）系统、时变系统
连续时间系统、离散时间系统 状态线性变换
矩阵的特征值、矩阵的特征向量 对角线标准型、约当标准型 模态标准型 正则型矩阵 范德蒙矩阵 传递函数矩阵
2、知识要点
%%知识点1：根据物理规律建立状态空间模型
♦ 简单机械系统 ♦
简单电气系统
参考例题：例2.1.1，例2.1.2（P8）
%%知识点2：微分方程模型转化为状态空间模型
♦
微分方程中不含输入导数项
给定 ()(1)110n n n y a y
a y a y bu --++++=&L ，选取状态向量12(1)n n x y x y x y -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦&M M ， 则有
状态方程： 1122011010010n n n x x x x u x a a a x b -⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&M O M M M
&L
输出方程： []⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x y M Λ
21001 例2.1.3 (注意：方框图在没有要求时可以不画出) ♦
微分方程中包含输入函数导数项，且m n <
给定()
(1)()(1)110110n n m m n m m y
a y a y a y
b u b u b u b u ----++++=++++&&L L ，m n <,将其转化为
()(1)110()(1)110n n n m m m m y a y a y a y u y b y
b y b y b y ----⎧++++=⎪⎨=++++⎪⎩&%%%%L &%%%%L ，选取状态向量12(1)n n x y
x y x y
-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦%&%M M %，则有
状态方程 120110100101n n x x u x a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦⎣⎦&&M O M M &L 输出方程 12
011
[,,,,0,,0]m n m n x x y b b b x --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
L L 123M
例2.1.4 ♦ 微分方程中包含输入函数导数项，且n m =
若()
(1)()(1)110110n n n n n n n y
a y a y a y
b u b u b u b u ----++++=++++&&L L ，让n y y b u =-%，则转化为如下微
分方程的形式
()(1)(1)
(1)110111100()()()n n n n n n n n n y a y a y a y b a b u b a b u b a b u -----++++=-++-+-%%%%&L L 。

例2.1.5
知识点3：传递函数转化成状态空间模型（实现问题）
考虑
1110
1110
(),m m m m n n n b s b s b s b G s m n s a s a s a ----++++=<++++L L
注意：若
1110
1
110
()n n n n n
n n b s b s b s b G s s a s a s a ----++++=++++L L ，则可以将其写成 11-111001110()()()
()()
n n n n n n n n n n n b b a s b b a s b b a G s b s a s a s a b G s -----++-+-=+
++++=+L L
从而只需对()G s 进行状态空间实现。

● 方法1：转化为微分方程方法
1110
1110()m m m m n n n b s b s b s b G s s a s a s a ----++++=++++L L 等价于微分方程 ()(1)110()(1)110n n n m m m m y a y a y a y b u b u b u b u
----++++=++++&L &L
● 方法2：并联法（部分分式分解法）
（1） 若()G s 的极点全部为单根，则有
1212()n n
k k k
G s s p s p s p =
+++---L 其中i k 为对应于极点i p 的留数 lim[()()]i
i i s p k G s s p →=⋅-，则状态空间模型为
11122
2111n n n x p x x p x u x p x ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦⎣⎦&&M O
M M &， []⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x x k k k y M Λ
212
1 参看：例2.1.6
（2） 若()G s 的极点为单个重根，则有
121()()()n
n n k k k G s s p s p s p
-=
+++---L
其中i k 为对应于极点p 的留数 1
11lim [()()],1,2,,(1)!i n i i s p d k G s s p i n i ds
--→=
⋅-=- 则状态空间模型为
112210101n n x x p x x p u x x p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&O M M M
O
&， []1212n n x x y k k k x ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
L
M 参看：例2.1.7
(3) 若()G s 的极点既有单根又有重根，则可以将其分解为
12()()()()l G s G s G s G s =+++L ，其中1()G s 包含所有单根，2(),,()l G s G s L 只含有单个重根。

方法3：串联法（零极点分解法）
自己总结。

%%知识点4：基于基本模块的方框图的转化
第1步：将各环节通过等效变换，使得整个系统由基本单元通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。

第2步：将每个基本单元的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导
数i x &。

第3步：根据调整过的方块图中各信号的关系，写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。

根据需要指定输出变量，从方块图写出系统的输出方程。

例2.1.8 (P .22)
%%知识点5：通过状态变换化状态空间模型为对角线标准型
已知系统,x Ax Bu y Cx Du =+=+&
1）求矩阵的互不相同的特征根,1,2,,i i n λ=L ：即求特征多项式
0I A λ-=的根
2）求每个特征根i λ对应的特征向量i v ：即求解线性方程组 ()0i i I A v λ-= 3）以特征向量i v 为列向量构成矩阵[]1n P v v =L ，构造线性变换x Px =
4）计算对角线标准型的各系数矩阵
1
2
1
1n A P AP B P B C CP
λλλ--⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦==O
5）写出系统的对角线标准型表达式,x
Ax Bu y Cx Du =+=+&
参看：例2.2.2
特殊情况：如果系统矩阵A 为正则型
0110
101n A a a a -⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦M O
L
且特征值,
1,,i i n λ=L 互不相同，则变换矩阵P 为范得蒙矩阵
1
22
22
1
21111
21
11n n n n n n P λλλλλλλλλ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
L
L L M M L M L
例2.2.3， 习题9（1）P .49
知识点6：通过线性变换化状态空间模型为约当标准型
1）计算特征根i λ：假设12,,,l λλλL 为全部互不相同的特征根，其重数分别为12,,,l m m m L 2）构造线性变换x Px =的矩阵P ：对每个特征根i λ计算秩rank()i i A I n λβ-=-，则从
()0j i i A I p λ-= 可以求出i β个线性无关的特征向量,1,,j i i p j β=L ，对每一个特征向量j i p ，求解如下
线性方程求出其广义特征向量12,,,j
j j j j
i i i ik
p p p p =L ： 1()0j
i i A I p λ-=
21
32
(1)()()()j
j j j
i i i j j i i i j j
i ik i k A I p p A I p p A I p p λλλ--=-=-=M
（其中j k 表示相应于特征向量j
i p 的广义特征向量个数）
变换矩阵的构造如下：
▫ 对应于i λ的i β个约当块的分块矩阵为1
2,1,,j j
j
j j
i i i ik i P p p p j β⎡⎤==⎣
⎦
L
L ； ▫ 对应于i λ的分块矩阵为1,1
,,i
i i i P P
P i l β⎡⎤==⎣⎦L L ； ▫
变换矩阵为[]1
2l P P P P =L。

3）计算约当标准型的系数矩阵
1
2
1l A A A P AP A -⎡⎤
⎢
⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
O
1B P B C CP
-==
4）写出系统的约当标准型表达式,x
Ax Bu y Cx Du =+=+&
参看：例2.2.4， 例2.2.5
知识点6：通过线性变换化状态空间模型为模态标准型
● 二阶系统情况：矩阵A 的特征值为共轭复数对
1）计算矩阵A 的特征值1,2j λσω=±
2）计算特征根1j λσω=+特征向量1v j αβ=+ 3）构造变换矩阵[]P α
β=
4）计算模态标准型的系数矩阵
11A P AP B P B C CP
σωωσ--⎡⎤
==⎢⎥
-⎣⎦
== 5）写出系统的模态标准型表达式,x
Ax Bu y Cx Du =+=+&
参看： 例2.2.7
知识点7：由状态空间表达式求传递函数矩阵
已知系统的状态空间表达式
x
Ax Bu y Cx Du
=+=+&
则系统传递函数矩阵为
1()(-)G s C sI A B D -=+
其中逆矩阵的计算()()
()
1
adj --det -sI A sI A sI A -=。

参看： 例2.3.1
知识点8：应用Matlab
♦
常用的三种模型
状态空间模型：Gss=ss(A,B,C,D) 传递函数模型： Gtf=tf(num,den) 零极点模型：Gzp=zpk(z,p,k) ♦
基于方框图的状态空间模型建立
并联：[A B C D]=parallel(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)
G=G1+G2
串联：[A B C D]=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)
G=G1*G2
反馈：[A B C D]= feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)
G=feedback(G1,G2,sign) ♦
转化为状态空间模型
传递函数转化为状态空间模型：[A, B, C, D] = tf2ss (num, den) 零极点模型转化为状态空间模型：[A, B, C, D] = zp2ss (z, p, k) ♦ 线性变换
SYS = ss2ss(SYS,P) ♦ 对角或约当标准型
CSYS = canon(sys,‘modal ’) ♦ 转化为传递函数模型 ss2tf, ss2zp, tf2zp, zp2tf
第2章 线性系统的运动分析
1
2、需要掌握的方法
%%知识点1：矩阵指数函数At e 的计算方法
● 化矩阵A 为对角矩阵或约当矩阵J 的方法
1）按照化对角标准型或约当标准型的过程构造矩阵P 2）计算 1At
Jt e
Pe P -=
注意：记住几类特殊矩阵（对角分块矩阵、对角矩阵、约当块、二阶反对称矩阵等）的矩阵指数函数。

参看： 例3.1.3 例3.1.4
拉普拉斯反变换法
1）计算逆矩阵 1
(-)sI A - 2）求拉普拉斯反变换 11[(-)]At
e sI A --=L
参看： 例3.1.2
%%知识点2：求线性定常系统的状态响应和输出响应
已知系统的状态方程x Ax Bu =+&、初始状态(0)x 和输入控制量()u t ：
1）系统的零输入响应为 (0)At
e x 2）系统的零状态响应为 ()0
()t A t e Bu d τττ-⎰
3）系统的状态响应为
()0
()(0)()t
At A t x t e x e Bu d τττ-=+⎰
5）系统的输出响应为
()0()()()(0)()()t
At A t y t Cx t Du t C e x e Bu d Du t τττ-⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦
⎰ 参看： 例3.2.1
知识点3：线性定常连续时间系统的离散化
1）对给定的采样周期T 计算离散化后的状态转移矩阵
AT G e =
2）计算离散化后的控制矩阵
()T
At H e dt B =⎰
3）写出系统的离散状态方程
(1)()()
()()()
x k Gx k Hu k y k Cx k Du k +=+=+
参看： 例3.5.3
第3章 线性系统的结构分析
1
2%%知识点1：判断时不变系统的状态能控性
● 对角标准型或约当标准型系统的状态能控性判别 参看：例4.1.4
● 一般线性系统的能控性判别 1）写系统的能控性矩阵1n c U B AB A B -⎡⎤=⎣⎦L
2）计算能控性矩阵的秩，判别能控性。

参看：例4.1.3
%%知识点2：线性定常连续系统的能观测性判别
● 对角标准型或约当标准型系统的状态能观性判别 参看：例4.2.3
● 一般线性系统的能观性判别
1）写系统的能观测性判别矩阵
-1o n C CA V CA ⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
M 2）计算能观测性矩阵的秩，判别系统状态能观测性。

参看：例4.2.2
知识点3：对偶系统和对偶原理
给出一个系统模型，
其对偶系统的表达式为
知识点4：线性系统的能控子空间分解
● 对角或约当标准型的能控子空间分解 ● 一般线性系统的能控子空间分解 1）能控性判断
2）构造非奇异变换矩阵c T
1:x Ax Bu y Cx =+⎧∑⎨
=⎩&2:T T T A C B ψ
ψηϕψ
⎧=-+∑⎨
=⎩&
[]1
21c r n r T p p p q q -=L L
其中，,1,2,,i p i r =L 是系统能控性矩阵c U 中r 个线性无关的列向量，rank c r U =，另外n r -个列向量,1,2,,i q i n r =-L 适当选择（一般取标准基向量）使得c T 非奇异
3）求通过线性变换c x T x =%的矩阵,,A
B C %%% 1111222111200c c c c A A A T AT A B B T B C CT C C --⎡⎤==⎢
⎥⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
⎡⎤==⎣
⎦%%%%%%%%% 4）写出系统进行能控子空间分解后的状态空间表达式
参看：例4.4.1
知识点5：线性系统的能观测子空间分解
● 对角或约当标准型的能观子空间分解 ● 一般线性系统的能观子空间分解 1）能观测性判断 2）构造非奇异变换矩阵
1
122o r n r p p T q q q --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
M M
其中，,1,2,,i p i r =L 是系统能观测性矩阵o V 中r 个线性无关的行向量，rank o r V =，另n r -个行向量
,1,2,,i q i n r =-L 适当选择（一般取标准基向量）使得1o T -非奇异 3）求通过线性变换o x T x =%后的矩阵
111
2122112100o o o o A A T AT A A B B T B B C CT C --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
⎡⎤==⎣⎦
%%%%%%%%% 4）写出系统进行能观测子空间分解后的状态空间表达式
参看：例4.4.2
%%知识点6：线性系统的能控能观测子空间分解
● 对角或约当标准型的能控能观子空间分解 参看：例4.4.4 P124
● 一般线性系统的能控能观子空间分解 1）系统[,,]A B C ∑作能控子空间分解，
[]12141
200c c c c c c x x A A B u x x A x y C C x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
&&
2）不能控子系统42[,0,]c A C ∑进行能观测子空间分解 3）能控子系统111[,,]c A B C ∑进行能观测子空间分解
4）综合上述三次变换的结果，得到系统同时进行能控子空间和能观测子空间结构分解
11131
21
22232423343
44130
000000
000co co co co co
co co co co co co co x x A A B x x A A A A B u x x A x x A A x x y C C x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦%%%&%%%%%&%&%%&%%
参看：例4.4.3
%%知识点7：单变量系统的能控标准型
假设线性定常系统
x Ax bu y cx
=+=&
是状态完全能控的。

● 能控标准型1型
取变换矩阵-11n c T b
Ab A b ⎡⎤=⎣⎦L
，能控标准1型的系数矩阵为
01-1111100
11c c c n a a A T AT a --⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
L
O M
-11110 0c c b T b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
M -111n c c c cT cb cAb cA b ⎡⎤==⎣⎦L
1110||n n i n a sI A s a s a s a ---=++++L 为特征多项式的系数。

参看：例4.5.1 – 化结构框图 P127
● 能控标准型2型
取变换矩阵
1-1
-2211
1
11n n n c n a
T A b
A b b a a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
L
M O
L
则能控标准2型的系数矩阵为
-12220110
1001c c c n A T AT a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦
M O O L
-1
220 01c c b T b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦M
22c c c cT =
1110||n n i n a sI A s a s a s a ---=++++L 为特征多项式的系数
参看：例4.5.2
知识点8：单变量系统的能观测标准型
假设线性定常系统
x Ax bu y cx
=+=&
是状态完全能观测。

● 能观测标准型1型
取变换矩阵
1
1-1o n c cA T cA -⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
M
则能观测标准型1型的系数矩阵为
-11110110
101o o o n A T AT a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦
M O L
-1111 o o n cb cAb b T b cA b -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
M
[]11100o o c cT ==L
能观测标准型2型
取变换矩阵为
-1-11-21
2-1111n n n o n a a cA cA T a c -⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
L O M O M
则能观测标准型2型的系数矩阵为
011
222100
1
1o o o n a a A T AT a ---⎡⎤
⎢⎥-⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣
⎦
L O M
-122 o o b T b =
[]22001o o c cT ==L
1110||n n i n a sI A s a s a s a ---=++++L 为特征多项式的系数。

参看：例4.5.3
%%知识点9：单变量系统的最小实现
对于一个严格真有理分式传递函数()G s
1）写出系统的能控（或能观测）标准型实现[,,]A b c ∑，检查其能观测性（或能控性），若系统是既能
控又能观测的，则[,,]A b c ∑即为系统的最小实现。

否则作下一步；
2）对上述标准型实现[,,]A b c ∑进行能观或能控子空间结构分解：如果是能控标准型实现，则作能观
测子空间分解；如果是能观测标准型实现，则作能控子空间分解。

子空间分解后得到的能控能观测子系统co ∑即为系统的一个最小实现。

第4章 李雅普诺夫稳定性分析
1、需要理解的概念
2、需要掌握的方法
%%知识点1：求连续系统的平衡状态和平衡状态的李亚普诺夫稳定性判断
1）系统()x f x =&的平衡状态为方程()0e f x =的解n
e x ∈R 。

特别，线性时不变系统x Ax =&的平衡
状态由线性方程组0e Ax =求出。

2）系统()x f x =&在平衡状态n
e x ∈R 的李亚普诺夫稳定性判断：构造正定的李亚普诺夫函数()V x ，判断是否()V
x &半负定。

参看：例5.2.3
知识点２：间接法判断线性定常连续系统的稳定性
1)Lyapunov 2 0Lyapunov 3Lyapunov x
Ax A A A =&考虑线性系统如果的特征根都在闭的左半复平面内，且在虚轴上的特征根对应的约当块为一阶的，则线性系统在每一个平衡点是稳定的；）如果的特征根都在开的左半复平面内，则线性系统的平衡点（只有一个，即）是全局渐近稳定的；
）如果有一个特征根在开的右半复平面内，则线性系统在每一个平衡点是不稳定的。

%%知识点３：直接法判断线性定常连续系统的稳定性
1）确定系统的平衡状态e x
2）取Q I =，求解关于实对称矩阵P 的李亚普诺夫方程T
A P PA Q +=- 3）根据P 的定号性判断系统在平衡状态处的稳定性。

参看：例5.3.1
第5章 线性系统综合基础
1
2、需要掌握的方法
%%知识点1：单变量系统基于状态反馈的极点配置
给定系统的数学模型
x Ax bu y cx
=+=&
和希望极点1,,n λλL ，求使闭环系统的极点为期望极点的状态反馈控制u kx v =-+。

方法1：单变量系统的直接计算方法
1）设[]1n k k k =L
，计算闭环特征多项式|()|I A bk λ--
2）计算期望的闭环特征多项式1()()n λλλλ--L
3）让1|()|()()n I A bk λλλλλ--=--L ，比较闭环特征多项式和期望闭环特征多项式的系数得到关于未知量k 的方程组，从中求出[]1n k k k =L
4）闭环系统为
()x A bk x bv y cx
=-+=&
参考：例6.2.1 （在不是状态空间模型时先进行状态空间实现）
方法2：化成能控标准型的方法(补充内容)
[]1110
1111000111111
11
1()det()()1)2)3)4)))(15)(1n n n n n n n n n n n n I A k P A b Ab b Q P αλλλαλαλααλλλλλλαλαλαααααααα
αα----------=-=++++=--=++++=---⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
=L L L L
O L
M O O
L
计算开环特征多项式和期望的闭环特征多项式；计算向量；
计算状态变换矩阵；求逆矩阵；
求反馈,()k kQ x A bk x bv y cx
==-+=&增益矩阵则闭环系统为
知识点２：单变量系统的基于状态反馈的镇定控制
给定单变量系统
x Ax bu y cx
=+=&
求使闭环系统渐近稳定的状态反馈控制u kx v =-+。

步骤：
[]1121
1{,}002{,}.0c c c c c c c
A b A A b A T AT b Tb A A b k k k T --⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
=）对系统进行能控性结构分解
，）对能控子系统进行极点配置，使其特征根位于左半复平面内。

设所求增益矩阵为3) 则 参看：例6.3.1
%%知识点3：线性二次型最优控制：无限时间状态调节器问题
给定线性定常系统模型
0,(0)[0,)x
Ax Bu x x t =+=∈∞&, 和二次型性能指标
1()()()()2T T J x t Qx t u t Ru t dt ∞⎡⎤=+⎣⎦⎰ 确定最优控制律u Kx =使性能指标J 达到最小。

步骤：
1）检验条件0,0Q R ≥>，和能控性
2）由代数黎卡提方程求解对称矩阵P ，并判断其正定性
T 0A P PA PBR B P Q ---+-=1T
3）最优控制律
1u Kx R B Px -=-=-T
3) 最优性能指标值为 *
1(0)(0)2
T
J x Px =
4）闭环系统最优轨迹的状态方程
0(),(0)[0,)x
A BR
B P x x x t -=-=∈∞1T &, 5）画系统结构图（如果要求）。

参看：例6.6.2
知识点4：线性二次型最优控制：无限时间输出调节器问题
给定线性定常系统模型
0,(0)[0,)x Ax Bu x x t y Cx
=+=∈∞=&,
和二次型性能指标
01()()()()2T T J y t Qy t u t Ru t dt ∞⎡⎤=+⎣
⎦⎰ 确定最优控制律u Kx =。

步骤：
1）检验条件0,0,{{,,}}Q R A B A C ≥>能控，
能观
2）由代数黎卡提方程求解对称矩阵P ，并判断其正定性
T 10T T A P PA PBR B P C QC ---+-=
3）最优控制律
1T u Kx R B Px -=-=-
4) 最优性能指标值为 *
1(0)(0)2
T
J x Px =
4）闭环系统最优轨迹的状态方程
10(),(0)[0,)T x A BR B P x x x t y Cx
-=-=∈∞=&,
5）画系统结构图（如果要求）。

参看：例6.6.3
%%知识点5：单变量系统的全维状态观测器设计
给定单变量系统
x Ax bu y cx
=+=&
假设期望的观测器极点为**
1,,n λλL ，设计全维状态观测器。

方法：单变量系统的直接计算方法 1）判别原系统的能观性。

2）如果系统完全能观，则通过比较多项式**
1|()|()()n I A lc λλλλλ--=--L 的系数计算系统的观
测器增益矩阵l 3）全维观测器为
()x A lc x bu ly =-++))&。

参看：例6.4.1
%%知识点6：基于状态观测器的状态反馈控制系统设计
给定单变量系统
x Ax bu y cx
=+=&
假设期望的反馈控制极点为1,,n λλL ，期望的观测器极点为**
1,,n λλL ，设计带有全维状态观测器的状
态反馈控制。

步骤：
1）判别原系统的能控性与能观测性 2）按极点配置方法计算状态反馈矩阵k
3）按全维观测器设计方法计算观测器增益矩阵l 4）带有观测器的状态反馈控制为
()x A lc x bu ly =-++))&
u kx v =-+)
）画基于状态观测器的状态反馈控制系统的结构图（如果要求）。

参考：例6.4.2。