(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试(含答案解析)

一、选择题
1．若函数()sin 2f x x =与()2cos g x x =都在区间(),a b 上单调递减，则b a -的最大值是（ ） A ．
π4
B ．
π3
C ．
π2
D ．
2π3
2．已知实数a ，b 满足0<2a <b <3-2a ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．sin sin
2
b a < B ．()2
cos >cos 3a b -
C ．(
)
2
sin sin3a b +<
D ．2
3cos >sin 2b a ⎛⎫-
⎪⎝
⎭
3．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]32
ππ
上具有单调性，且()(),23f f ππ=-2()(
)2
3
f f π
π
=，则ω=（ ） A ．6 B ．3 C ．2
D ．1
4．我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”，0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字，我们称为黄金分割．“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应
用，华先生认为底与腰之比为黄金分割比5151
0.61822⎛⎫--≈ ⎪ ⎪⎝⎭
的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，在其中一个黄金ABC 中，黄金分割比为BC
AC
．试根据以上信息，计算sin18︒=（ ）
A 51
- B 51
- C ．
51
4
D 35
5．若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（ ） A ．
3
4
B ．
14
C ．
32
D ．
12
6．己知函数()sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的最小正周期为π，且图象向右平移
12
π
个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ） A ．()f x 关于点5(,0)12
π
对称 B ．()f x 关于直线6
x π
=对称
C ．()f x 在,]1212
π5π
[-
单调递增 D ．()f x 在7[
,
]1212
ππ
单调递减
7．对于函数()1
2sin 3()42
f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝
⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32
-
②图象的对称轴是直线()312
k x k Z ππ
=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫
-∈ ⎪⎝
⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知函数()sin 213f x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
，下列说法错误的是（ ） A ．3π是函数()f x 的一个周期 B ．函数()f x 的图象关于,13π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称 C ．函数的一条对称轴为712
x π= D ．函数图象向左平移
6
π
个单位后关于y 轴对称 9．675︒用弧度制表示为（ ） A ．
114
π B ．
134
π C ．
154
π D ．
174
π 10．函数()13cos313
x
x
f x x -=+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．设函数()tan 3
f x x π
=-
，()sin 3g x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（ ） A ．4
B ．5
C ．12
D ．13
12．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（ ）
A ．图象关于点,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称 B ．最小正周期是π C ．在0,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,
12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
3二、填空题
13．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n 个月的月平均最高气温()G n 可近似地用函数()()cos G n A n k ωϕ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，n 和k 是正整数，0>ω，()0,πϕ∈.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：
①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度； ②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高； ③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同. 根据已知信息，得到()G n 的表达式是______.
14．已知函数()cos (0)f x a x b a =+>的最大值为3，最小值为1，则函数
(2)2()([,]3
y f x f x
x π
π=-∈的值域为_________.
15．sin 75=______．
16．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点
M 5(
,0)12π
成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3
π-，则对于下列判断： ①直线2
x π=
是函数()f x 图象的一条对称轴；②函数()3
y f x π
=-
为偶函数；
③函数1y =与35()()1212
y f x x π
π
=-
≤≤
的图象的所有交点的横坐标之和为7π.
其中正确的判断是__________________．（写出所有正确判断的序号）
17．已知函数f （x ）＝A sin （
3π
x +φ），x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜2
π．y ＝f （x ）的部分图象，如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ），点R 的坐标为（1，0），∠PRQ ＝
23
π
，则sin ∠PQR ＝_____．
18．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
，有下列命题： ①函数()y f x =的表达式可以改写为4cos 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭；
②函数()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称； ④函数()y f x =的图象关于直线6
x π
=-对称.
其中正确的序号是______.
19．实数x ，y 满足12
1log sin 303y
x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭，则cos 24x y +的值为________.
20．如图所示为函数()sin 2y A x ωϕ=++，()
ϕπ<的图像的一部分，它的解析式为________.
三、解答题
21．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，02
π
ϕ<<)的部分图象如图所示，
其中最高点以及与x 轴的一个交点的坐标分别为,16π⎛⎫
⎪⎝⎭，5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
（1）求()f x 的解析式；
（2）设M ，N 为函数y t =的图象与()f x 的图象的两个交点(点M 在点N 左侧)，且
3
MN π
=
，求t 的值.
22．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）将函数()f x 图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为()g x ，若不等式()0g x m -≤在[]
0,6x ∈
恒成立，求实数m 的取值范围.
23．下图是函数()()sin()0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象.
（1）求ϕ的值及()f x 单调递增区间.
（2）若()f x 的图象横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移
3
π
个单位，最后向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在[0,](0)b b >上恰有10个零点，求b 的取值范围.
24．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中π
0,(0,)2
ωϕ>∈．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求： （Ⅰ）()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）()f x 在区间[0,
]2
π
的最大值和最小值．
条件①：函数()f x 最小正周期为π； 条件②：函数()f x 图象关于点π
(,0)6
-对称； 条件③： 函数()f x 图象关于π
12x =
对称． 25．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示.
（1）求()f x 的解析式；
（2）将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到()g x 的图象.又
()14g θ=
求2114sin sin 63ππθθ⎛⎫⎛
⎫
-+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
的值. 26．已知向量a ＝(cosωx －sinωx ，sinωx)，b ＝(－cosωx －sinωx,2
cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的取值范围
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据题意求出(),()f x g x 原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得max 3π
4
b =
，min π
4a =
，相减即可. 【详解】 解：由题意函数()sin 2f x x =在π3π,44⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，函数()2cos g x x =在()0,π上单
调递减， 所以则max 3π4b =，min π4a =，所以b a -的最大值为
3πππ
442
-=. 故选：C.
求三角函数单调区间的2种方法:
（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；
（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.
2．D
解析：D 【分析】
对各个选项一一验证：
对于A.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出2
b
a <
，借助于正弦函数的单调性判断； 对于B.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b <-，借助于余弦函数的单调性判断； 对于C.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b +<，借助于正弦函数的单调性判断； 对于D.先用诱导公式转化为同名三角函数，借助于余弦函数的单调性判断； 【详解】 因为0<2a <b <3-2a 对于A. 有0<2
b a <， 若22b a π<
<，有sin sin 2
b a <；若22b a π<<，有sin sin 2b
a >，故A 错； 对于B.有 23a
b <-，若2
32
a b π
<<-，有()2cos >cos 3a b -，故B 错；
对于C. 23a b +<，若232
a b π
<+<，有()2sin sin 3a b +>，故C 错；
对于D. 2
22333sin cos cos 2222a a a ππ+⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-
=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
又因为b <3-2a <3，所以2
cos >cos(3)b a - ∵2
23
32a a π+-<
-∴()2
23cos 3cos 2a a π+⎛⎫->-
⎪⎝⎭
∴(
)2
2
23
3cos cos 3cos sin 2
2a a b a π+⎛⎫⎛⎫>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故D 对. 故选：D. 【点睛】
利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．
3．B
解析：B
由2()(
)2
3f f π
π=求出函数的一条对称轴，结合()f x 在区间[,]32
ππ
上具有单调性，且(
)()23f f ππ
=-，可得函数的四分之一周期，即可求出ω的值．
【详解】
解：由2()(
)23
f f π
π=，可知函数()f x 的一条对称轴为2723212
x ππ
π+
==， 则2
x π=
离最近对称轴距离为
712212
πππ
-=． 又()()23
f f ππ
=-，则()f x 有对称中心5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由于()f x 在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上具有单调性， 则
12
3
2T π
π
-
，所以3T π≥，从而7512124T
ππ-=，所以23
T π=，因为2T πω=，所以3ω=．
故选：B 【点睛】
本题考查()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的应用，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力．
4．B
解析：B 【分析】
先由ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，作其底边上的高，再利用
sin18sin DAC ︒=∠，结合腰和底之比求其结果即可.
【详解】
依题意可知，黄金ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，如图，
51
,
2
BC AB AC AC -==
，36BAC ∠=︒，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 也是三角形的中线和角平分线，
故
11112sin18sin 224
BC
DC DAC AC AC ︒=∠===⋅=
. 故选：B. 【点睛】
本题解题关键在于读懂题意，将问题提取出来，变成简单的几何问题，即突破结果.
5．C
解析：C 【分析】
由0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦计算出x ω的取值范围，可得出0,0,32πωπ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，再由函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减可得出关于ω的等式，由此可解得实数ω的值. 【详解】
0ω>，当0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，0,3x πωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 由于函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，则0,0,32πωπ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 所以，03
2
πω
π
<
≤
，
由于函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，所以，函数()f x 在3x π=处取得最大值，
则
()23
2
k k N πω
π
π=
+∈，又03
2
πω
π
<
≤
，所以，
3
2
πω
π
=
，解得3
2
ω=
. 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：本题通过正弦型函数在区间上的单调性求参数值，解题的就是将函数在区间上的单调性转化为两个区间的包含关系，并且分析出函数()f x 的一个最大值点，进而列出关于ω的等式求解.
6．A
解析：ABD 【分析】
由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
，求出512f π⎛⎫
⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫
⎪
⎝⎭可判断B ；令222,232
k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【详解】
()f x 的最小正周期为π，22πω
π∴=
=，()sin(2)f x x ϕ=+， 向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-
=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2π
ϕ<，3ϕπ
∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭
， 对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误； 对于B ，
sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 对于C ，令222,232k x k k Z π
π
π
ππ-+≤-≤+∈，解得
5,1212
k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212
π5π[-单调递增，故C 正确； 对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[
,]1212ππ单调递增，故D 错误.
故选：ABD.
【点睛】 本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间.
7．B
解析：B
【分析】
求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误． 【详解】
函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝
⎭， 当3=42x ππ+
时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确； 当342x k π
ππ+=+时，即=,123
k x k Z π
π+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123
k x k Z π
π+∈，故②错误；
当34x k π
π+=时，即,123
k x k Z π
π=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭
，故③错误； 当3232242k x k π
π
πππ+≤+≤+，即252,123123
k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,12
3123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤-
-⎢⎥⎣
⎦，故④正确. 故选：B
【点睛】 关键点点睛：函数()12sin 3()42
f x x x R π⎛
⎫=-++∈ ⎪⎝⎭的递增区间转化为sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的递减区间. 8．D
解析：D
【分析】
根据正弦函数性质周期，对称性，图象变换判断各选项．
【详解】
函数()f x 的最小正周期为π，故3π是函数()f x 的一个周期，A 正确； 当3x π=时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故B 正确； 当712x π=时，函数()f x 取得最小值，712
x π=为对称轴，C 正确； 函数图象向左平移6π个单位后函数解析式为sin 2163y x ππ⎡⎤⎛⎫=+++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，即2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭
，不是偶函数，图象不关于y 轴对称，D 错误． 故选：D.
【点睛】 本题考查正弦型函数的性质，考查周期的概念，对称轴与对称中心、奇偶性等性质，属于基础题．
9．C
解析：C
【分析】
根据弧度制与角度制的关系求解即可.
【详解】
因为180π︒=弧度， 所以156756751804
ππ︒=⨯
=， 故选：C 10．A
解析：A
【分析】
先判断奇偶性，可排除C ，D ，由特殊值()f
π，可排除B ，即可得到答案.
【详解】 因为()()()1331cos 3cos31331
x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++，所以函数()f x 为奇函数，排除C ，D ；又()13cos3013f π
π
ππ-=>+，排除B ， 故选：A.
【点睛】
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
11．A
解析：A
【分析】
由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数
()tan 3f x x π
=-与()sin 3g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解.
【详解】
令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =，
所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于
函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3f x x π
=-与()sin 3g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
图象，
由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点，
所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4，
故选：A
【点睛】
方法点睛：判断函数零点个数的方法
（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；
（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；
（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据
()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；
（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.
12．C
解析：C
【分析】
首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果.
【详解】
根据图象得到：2A =，3
11341264
T πππ=-=，所以T π=，
所以2π
πω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+． 将点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则()232k k Z π
πϕπ+=+∈，得()26k k Z π
ϕπ=+∈， 又2π
ϕ<，所以6
π=ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭． 对于A ，20126
ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确； 对于B ，函数的周期22T ππ=
=，故B 正确； 对于C ，当0,
6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误； 对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，
故()f x 在0,
12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确． 故选：C ．
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目. 二、填空题
13．是正整数且【分析】根据最值列出等式求再根据最高点和最低点对应的月份求周期并求以及利用最高点求【详解】由题意可知解得：解得：当时得：所以的表达式是是正整数且故答案为：是正整数且【点睛】方法点睛：形如一
解析：()π5π15cos 186
6G n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈ 【分析】
根据最值列出等式求,A k ，再根据最高点和最低点对应的月份求周期，并求ω，以及利用最高点求ϕ.
【详解】
由题意可知()()330A k A k A k -+=⎧⎨+--+=⎩
，解得：1518A k =⎧⎨=⎩， 12712πω-=⋅，解得：6
π=ω， 当7x =时，72,6k k Z π
ϕπ⨯+=∈， 得：7
26k ϕππ=-+ ()0,ϕπ∈，56ϕπ∴=，
所以()G n 的表达式是()515cos 1866G n n ππ⎛⎫=++
⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈. 故答案为：()515cos 186
6G n n ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
，n 是正整数且[]1,12n ∈ 【点睛】 方法点睛：形如()sin y A x k ωϕ=++ ()0,0A ω>>，一般根据最值求,A k ，利用最值，零点对应的自变量的距离求周期和ω，以及“五点法”中的一个点求ϕ.
14．【分析】根据三角函数性质列方程求出得到进而得到利用换元法即可求出的值域【详解】根据三角函数性质的最大值为最小值为解得则函数则函数令则令由得所以的值域为故答案为：【点睛】关键点睛：解题关键在于求出后利 解析：7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【分析】
根据三角函数性质，列方程求出,a b ，得到()cos 2f x x =+，
进而得到22cos 2cos 3(2)2()y x f x f x x =-=--，利用换元法， 即可求出(2)2()([
,]3y f x f x x ππ=-∈的值域 【详解】
根据三角函数性质，()cos (0)f x a x b a =+>的最大值为3a b +=，最小值为1b a -=，
解得2,1b a ==，则函数()cos 2f x x =+，
则函数(2)2()cos 222cos 4y f x f x x x =-=+--cos22cos 2x x =--
22cos 2cos 3x x =--，3x π
π≤≤，令cos t x =，则112t -≤≤
， 令2()223g t t t =--，由112t -≤≤
得，7(),12g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以，(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域为7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
故答案为：7,12⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
【点睛】 关键点睛：解题关键在于求出()cos 2f x x =+后，利用换元法得出2()223g t t t =--，
112
t -≤≤，进而求出()g t 的范围，即可求出所求函数的值域，难度属于中档题 15．【解析】试题分析：将非特殊角化为特殊角的和与差是求三角函数值的一个有效方法考点：两角和的正弦
解析：
【解析】
试题分析：232162sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 302︒︒︒︒︒︒︒+=+=+=
=将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.
考点：两角和的正弦 16．②③【分析】根据已知条件确定函数的解析式进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程对称中心及各个交点的特点进一步确定答案【详解】函数（其中）的图象关于点成中心对称且与点相邻的一个最低点为则：所以进一步解
解析：②③
【分析】
根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．
【详解】
函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2,33π⎛⎫-
⎪⎝⎭，， 则：2543124
T πππ-＝＝ ， 所以T π=： ，326f x sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭（）． 进一步解得：223A πωπ
=＝＝， 由于()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
成中心对称,，所以：5212
k k Z πϕπ⋅+∈＝（），
解得：5,6
k k Z πϕπ-∈＝ ，由于0ϕπ<<， 所以：当1k = 时，6πϕ＝
． 所以：
①当2x π
=时，33262
f sin πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（）．故错误． ②3232633f x sin x cos x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
＝． 则3y f x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭为偶函数，故正确． ③由于：351212
x π
π-≤≤， 则：0266x π
π≤+≤，
所以函数()f x 的图象与1y =有6个交点．
根据函数的交点设横坐标为123456x x x x x x 、、、、、，
根据函数的图象所有交点的横标和为7π．故正确．
故答案为②③
【点睛】
本题考查的知识要点：正弦型函数的解析式的求法，主要确定A ，ω、φ的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于基础题型．
17．【分析】根据周期求出再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出最后由正弦定理求出【详解】过点作延长线的垂线垂足为连接如下图所示则由正弦定理可知则故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应
解析：14
【分析】 根据周期求出32
T DQ =
=，再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出,PR PQ ，最后由正弦定理求出sin PQR ∠. 【详解】
过点Q 作PR 延长线的垂线，垂足为D ，连接PQ ，如下图所示
263T π
π
==，则32
T DQ ==
6xRQ RQD π∠=∠=
3tan 336DR DQ π∴=⋅=⨯
= 223,23,12921PR DP PQ PD PQ ∴===+=+=
由正弦定理可知sin sin PQ PR PRQ PQR
=∠∠ 则33sin 212sin 21
PR PRQ PQR PQ ⋅⋅∠∠===
21 【点睛】 本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应用，涉及了正弦定理解三角形，属于中档题. 18．①③【分析】利用诱导公式化简函数判断①正误；求出函数周期判断②；求出函数的对称中心判断③；求出函数的对称轴判断④【详解】解：对于①所以①正确；对于②最小正周期所以②不正确；对于③因为所以为的对称中心
解析：①③
【分析】
利用诱导公式化简函数()f x ,判断①正误；求出函数()f x 周期判断②；求出函数()f x 的对称中心判断③；求出函数()f x 的对称轴判断④.
【详解】
解：对于①，()4sin 24cos 2323f x x x πππ⎛
⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
4cos 24cos 2326x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以①正确； 对于②，最小正周期222
T π
ππω===，所以②不正确； 对于③，因为4sin 4sin 00633f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭
为()f x 的对称中心，故③正确；
对于④，()()4sin 23f x x x R π⎛
⎫=+∈ ⎪⎝⎭的对称直线满足2,32x k k Z ππ
π+=+∈，6x π
=-不满足条件，所以④不正确.
故答案为：①③.
【点睛】
本题考查正弦函数的性质，考查基本概念、基本知识的理解掌握程度，属于基础题. 19．【分析】由实数满足可得从而求出结果【详解】实数xy 满足且故答案为：
【点睛】本题考查函数与方程的关系属于基础题 解析：54
【分析】 由实数满足12
1log sin 303y
x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭可得sin 1,1x y ==-，从而求出结果 【详解】 实数x ，y 满足12
1log sin 303y x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 且12
0sin 1,log sin 0x x <≤∴≥， 12
1log sin 0,303y
x ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭ ∴sin 1,1x y ==-，cos 0x ∴=， 0cos 1421524414x y -=++
=+= 故答案为：
54
【点睛】 本题考查函数与方程的关系，属于基础题
20．【分析】由两最值点对应横坐标可求周期由波峰波谷可求将代入可求【详解】由图可知即将得即又当时故故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像
求解具体解析式属于中档题
解析：3
3sin 22
4y x π⎛⎫=-
+ ⎪⎝⎭
【分析】
由两最值点对应横坐标可求周期，由波峰波谷可求,A 将,16
π
⎛⎫
⎪⎝
⎭代入可求ϕ
【详解】 由图可知，
522663T ππππ=-=，即43
T π=，243
32ππωω=⇒=， 3112A -=
=，将,16π⎛⎫
⎪⎝⎭3sin 22y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
得2,42k k Z ππϕπ+=-+∈，
即32,4k k Z π
ϕπ=-
+∈，又ϕπ<，当0k =时，34
πϕ=-，故3
3sin 22
4y x π⎛⎫
=-
+ ⎪⎝⎭ 故答案为：33sin 22
4y x π⎛⎫=-
+ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查由三角函数图像求解具体解析式，属于中档题
三、解答题
21．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪
⎝
⎭；（2）12±. 【分析】
（1）由周期求出ω，取点,16π⎛⎫
⎪⎝⎭
求出ϕ，进而得出()f x 的解析式； （2）设()0,M x t ，0,3N x t π
⎛⎫+
⎪⎝
⎭，解方程005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛
⎫
+=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
，得出0()2k x k π=
∈Z ，再由0sin 26t x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭求出t 的值.
【详解】
解：（1）由题意易知1A =，周期524126T πππ
ω⎛⎫=-=
⎪⎝⎭
，所以2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+.
将最高点,16π⎛⎫
⎪⎝⎭代入()sin(2)f x x ϕ=+中可得1sin 3πϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
得
2()3
2
k k π
π
ϕπ+=+
∈Z ，即2()6
k k π
ϕπ=+
∈Z .
又因为02
π
ϕ<<
，所以6π=
ϕ，所以()sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭.
（2）设()0,M x t ，0,3N x t π
⎛⎫+
⎪⎝
⎭，则005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛
⎫
+=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以001sin 2cos 222x x ⋅+⋅001
sin 2cos 222x x ⎛=⋅-+⋅ ⎝⎭
所以0sin 20x =，所以02()x k k π=∈Z ，即0()2
k x k π
=∈Z 所以1sin 62
t k ππ⎛⎫
=+=± ⎪⎝
⎭. 【点睛】
方法点睛：由图象求函数()sin y A x ωϕ=+的解析式时，有如下步骤： 1、由最值得出A 的值； 2、由周期结合2T π
ω
=得出ω；
3、取点求出ϕ. 22．（1）()2cos 4
4f x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[)2,+∞.
【分析】
（1）由图象得出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点()1,0的坐标代入函数
()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，由此可得出函数()f x 的解析式；
（2）利用三角函数图象变换求得()2cos 8
4g x x π
π⎛⎫=-
⎪⎝⎭，由已知可得()max m g x ≥，利
用余弦函数的基本性质求出函数()g x 在区间[]0,6上的最大值，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】
（1）()f x 的周期为()2518T =⨯-=，所以284
ππω==， 又因为函数()f x 的图象过点()1,0，则有2cos 04πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，且函数()f x 在1x =附近单调递减， 所以
()24
2
k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，所以()24
k k Z π
ϕπ=+
∈，
又因为0ϕπ<<，所以4
π
ϕ=
，所以()2cos 4
4f x x π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭；
（2）将函数()2cos 44f x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得函数
2cos 8
4y x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，
再将2cos 8
4y x π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭的图象向右平移4个单位长度， 得()()2cos 42cos 8484g x x x πππ
π⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢
⎥⎣⎦⎝⎭
， 不等式()0g x m -≤在[]0,6x ∈恒成立，即()max g x m ≤， 因为[]0,6x ∈，所以,8
442x π
π
ππ⎡⎤-
∈-⎢⎥⎣⎦
， 所以当
08
4
x π
π
-
=，即2x =时，()g x 取最大值，最大值为2，即2m ≥.
综上可得，实数m s 的取值范围实数[)2,+∞. 【点睛】
方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或()()cos f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min
:2
f x f x b A -=
，()()max min
2
f x f x b +=
；
（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2T
πω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值. 23．（1）23ϕπ=，7[,],1212k k k Z ππππ-
-∈；（2）59671212
b ππ
≤<. 【分析】
（1）依题意求出函数的周期T ，再根据2T
πω=
，求出ω，再根据函数过点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭，求
出ϕ，即可求出函数解析式，再令222+
2,232
k x k k Z πππ
ππ-≤≤+∈，求出x 的取值范围，即可求出函数的单调区间；
（2）根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，令()0g x =即可求出函数的零点，要使()g x 在[0,](0)b b >上恰有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标，小于第11个零点的横坐标即可，即可得到不等式，解得即可； 【详解】
解：（1）由图易知
22362
T πππ=-=，则T π=，22T πω==，
所以()()sin 2f x x ϕ=+ 因为函数过点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
所以sin 2066f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以2,6
k k Z π
ϕπ⨯
+=∈，又0ϕπ<<，故23
ϕπ=
， 则()2sin(2)3
f x x π=+ 令：222+
2,2
32k x k k Z π
ππππ-
≤≤+∈，整理得7,1212
k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 所以()f x 的单调增区间是7,,1212k k k Z ππππ⎡
⎤
-
-∈⎢⎥⎣
⎦
. （2）若()f x 的图象横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移
3
π
个单位，最后向上平移1个单位，得到函数()2sin 21g x x =+ 令()0g x =，得712
x k π
π=+或11()12
x k k Z ππ=+
∈. 所以在[0,]π上恰好有两个零点，若()g x 在[0,]b 上恰有10个零点，
则b 不小于第10个零点的横坐标，小于第11个零点的横坐标即可，即b 的范围为：
115941212b πππ≥+
=.且1111767412121212
b ππππ
ππ<++-+= 即
59671212b ππ≤< 【点睛】
已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝
2T
π
即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
24．答案见解析. 【分析】
若选择条件①②，
（Ⅰ）根据最小正周期求出ω，根据对称中心求出ϕ，根据正弦函数的单调递增区间可求
出函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）根据正弦函数的图象可求得结果. 若选择条件①③，
（Ⅰ）根据最小正周期求出ω，根据对称轴求出ϕ，根据正弦函数的单调递增区间可求出函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）根据正弦函数的图象可求得结果.
若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定ω，所以无法确定函数解析式． 【详解】
若选择条件①②，
（Ⅰ）由函数()f x 最小正周期2π
=πT ω
=，得2ω=.
因为()f x 图象关于点π
(,0)6-对称，所以πsin[2()]06
ϕ⨯-+=， 所以3
k π
ϕπ-
=，k Z ∈，所以3
k π
ϕπ=+
，k Z ∈，又已知π(0,)2ϕ∈，故π3
ϕ=
． 因此π()sin(2)3
f x x =+
． πππ
2π22π,232k x k k -
+≤+≤+∈Z 由，解得5,1212
k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为5ππ
[π,π]()1212
k k k -
++∈Z ． （Ⅱ）因为02
x π≤≤，所以ππ4π
2333x ≤+≤．
当ππ2=32
x +，即π
12x =时，()f x 取得最大值1；
当π4π2=33
x +，即π2x =时，()f x 取得最小值．
若选择条件①③，
（Ⅰ）由函数()f x 最小正周期2π
=πT ω
=，得2ω=. 又函数()f x 图象关于π12x =对称，所以有πsin(2)112
ϕ⨯+=±，所以62k ππ
ϕπ+=+，
k Z ∈，即3
k π
ϕπ=+，k Z ∈，
又已知π
(0,)2
ϕ∈，故π3ϕ=．
因此π
()sin(2)3
f x x =+．
πππ
2π22π,232k x k k -
+≤+≤+∈Z 由，解得5,1212
k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为5ππ
[π,π]()1212
k k k -++∈Z ． （Ⅱ）因为02
x π≤≤，所以ππ4π
2333x ≤+≤．
当ππ2=32
x +，即π
12x =时，()f x 取得最大值1；
当π4π2=33
x +，即π2x =时，()f x 取得最小值．
若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定ω，所以无法确定函数解析式．
【点睛】
关键点点睛：根据函数性质确定函数解析式是解题关键. 25．（1）()sin 26f x x π⎛⎫
+ ⎝
=⎪⎭
；（2）
1116
. 【分析】
（1）由顶点及周期可得1A =，2ω=，再由sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得6π=ϕ，从而得解；
（2）根据条件得1sin 64
πθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭，再结合诱导公式和同角三角函数关系可得解. 【详解】
（1）由图可知1A =， 由3113
41264T πππ=
-=，得2T ππω
==，所以2ω=， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，
因为sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈，则2,6k k Z πϕπ=+∈，
因为2
π
ϕ<
，所以6
π
=
ϕ， ()sin 26f x x π⎛
⎫+ ⎝
=⎪⎭，
（2）由题意，()sin 6g x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，由()14g θ=
，得1sin 64πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
22
1143sin sin sin[2()]sin [()]63662πππππθθπθθ⎛⎫⎛
⎫-+-
=-+++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
221111
sin()cos ()sin()1sin ()1666641616
ππππθθθθ=-+++=-++-+=-+-=.
【点睛】
方法点睛：确定()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的解析式的步骤： (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2
M m
A ，2
M m
B +=
； (2)求ω，确定函数的周期T ，则2T
πω=； (3)求ϕ，常用方法有以下2种方法：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；
②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
26．(1)
65
π
；(2)1222⎡⎤---⎣⎦, . 【解析】 试题分析：
(1)整理函数的解析式可得：5
6
ω=
，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为6
5
π ； (2)化简三角函数的解析式()5
2sin 23
6f x x π⎛⎫=--
⎪⎝⎭，结合函数的定义域可得函数的取
值范围是12,22⎡⎤---⎣⎦ .
试题
(1)因为f(x)＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋2sinωx·cosωx ＋λ
＝－cos2ωx ＋sin2ωx ＋λ ＝2sin
＋λ.
由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin ＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋ (k ∈Z)，即ω＝＋ (k ∈Z)． 又ω∈
，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是. (2)由y ＝f(x)的图象过点，得f ＝0， 即λ＝－2sin ＝－2sin ＝－，即λ＝－
.
故f(x)＝2sin －
，
由0≤x≤
，有－≤x －≤
，
所以－≤sin≤1，得－1－≤2sin x－－≤2－.故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．。