7、巨人的杰作——微积分的创立

第七章 巨人的杰作——微积分的创立
解析几何的诞生是新时代到来的序曲，它对旧数学做了总结，使代数和几何融为一体，并引出变量的概念。

变量，这是一个全新的概念，它为研究运动提供了基础。

牛顿、莱布尼茨这样能够为科学活动提供方法、指出方向的领袖,以及微积分的成型，为新时代吹响号角。

在17世纪的天才们开发的所有知识宝库中，微积分为创立许多新的学科提供了源泉。

它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。

“在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。

如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里。

”
有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。

有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。

航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。

数学一下子走到了前台。

7.1微积分产生的背景
● 微积分的一些原始的思想，可以追溯到很远
● 阿基米德利用圆的内接正多边形和外切正多边形来推算圆的周长和面积，中国魏晋
时代的刘徽的割圆术等，他们都使用了“无限细分，无限求和”的思想
● 但不论是阿基米德所处的古希腊时代，或者是刘徽所处的魏晋时期，当时的生产工具比
较简单，机械运动比较缓慢，生产实践还没有提出进一步发展微积分思想的需要；同时数学还处在初等数学的阶段，他们还不能突破无限、极限等概念的困扰。

从而微积分理论还不能在他们的时代确立
● 到了16世纪前后，社会生产实践活动进入了一个新的时期，而且，1637年，笛卡尔发
表《几何学》一书，开始用运动的观点研究几何轨迹，将变数引进数学。

点的运动就表现为两个位置变数x 和y 的依存关系，当x 变化时y 也随之变化，从而描绘出点的运动状况
7.2先驱们的探索
● 一个初等数学难以解决的问题
● 问题：求自由落体在下落后1秒钟这个时刻的瞬时速度？
● 因为
● 所以，当t=1时，s=4.9;当t= （设 >1）时，s=4.9
2
2/8.9,21s m g gt s ==1t
虽然现在无法用上述求速度的公式来求t=1时的速度，但是可以用它求得在t=1到t= 这段时间内的平均速速：
因为速度是逐渐地变化的，在很短的时间内，速度的变化很小，因此我们只要把 取得很接近于1，那就可以把求得的平均速度作为t=1时瞬时速度的近似值。

)1(9.41)1)(1(9.419.49.41111121+=--+=--=t t t t t t v
但是，不管 多么接近于1，平均速度毕竟是瞬时速度的近似值，而不是瞬时速度的精确值。

那么，如何把近似转化为精确呢？这就必须用运动的观点去考察当 无限地接近于1时平均速度变化的情况，才能最后确定瞬时速度的精确值。

注意：这里还没有引入极限概念。

只是将所求量无限细分。

● 求曲线的长度、区域的面积、物体的体积等；
● 求曲线的切线；
● 求运动物体的速度；
● 求一些问题的极大值、极小值
● 用微积分解决问题的基本思想是先在局部求得所求量的近似值，然后在无限变化的过程中实现近似转化为精确
● 经过两千多年的人们不断地探索，到了十六、十七世纪，人们对上述四个问题，获得了十分丰富的成果
● 但所有这些都不能说微积分已经诞生，微积分的诞生只是在当牛顿和莱布尼茨建立了“微积分的基本定理”之后，即：微分与积分互为逆运算
● 由于微分与积分互为逆运算，计算积分不再要像以前那样想一些特殊的办法来一个个地处理，而可以统一处理了，这使得微积分不再只是几何学的一部分，而成为一门独立的学科
7.3科学的巨人——牛顿
● 牛顿的生平
● 牛顿有关微积分的工作简介：
● 1666年，《流数短论》；
● 1669年，《运用无穷多项方程的分析学》
● 1671年，《流数术和无穷级数》；
● 1676年，《曲线求积论》；
● 1687年，《自然哲学之数学原理》 。

● 形成牛顿流数术理论的，主要有3个著作：《分析学》、《流数术和无穷级数》、《曲边形的面积》
牛顿把变量叫做“流”，把变量的变化率叫做“流数”，牛顿明确指出“流数术”的中心内容包括：
（1）已知流量间的关系，求流数关系（微分法）；
（2）已知表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关系（积分法） ● 牛顿系统引进了他所创造的记法和概念。

● 求函数 的流数，牛顿设x 变为x+0，则流量随着变化为：
● 由此得到增量变化的最初比：
n x
y =
() +-++=+--22102)1(00n n n
n x n n x n x x
() +-+=-+-+--02)1(1)0(021n n n n x n n nx x x x
x
幻灯片22
7.3科学的巨人——牛顿 11
-n nx 然后令增量0消失，它们的最后比就是 ， 这就是x 的流数与 的流数之比。

n
x y =
● 牛顿的流数术，是在完成以后很长一段时间后才正式发表的。

● 在1687年出版的著作《自然哲学之数学原理》中，牛顿以几何语言介绍了他的方法，并解释道：“量在其中消逝的最后比，……是无限减少的这些量的比所趋近的极限。

它与这个极限虽然比任何给出的差更小，但这些量在无限缩小以前既不能越过也不能达到这个极限。

”
● 牛顿曾试图以极限方法作为微积分的基础，但他并没有放弃无限小的观念，这种做法被有些人认为自相矛盾。

● 在数学上，他大体完成了微积分；
● 在天文学上，他发明了万有引力定律；
● 在物理学上，他系统总结了三大运动定律；
● 在光学中，他发现了太阳光的光谱。

在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半。

——莱布尼茨
他是历史上最有才能的人，也是最幸运的人——因为这个宇宙体系只能被发现一次。

——拉格朗日
对于我自己来说，就像一个在海边玩耍的孩子，有时找到一块比较平滑或格外漂亮的贝壳，感到高兴，而在我面前的却是完全没有被发现的真理的海洋。

如果我比别人看得更远，那只是因为我站在了巨人的肩膀上。

——牛顿
7.4多才多艺的数学大师莱布尼茨
● 莱布尼茨的生平7.4多才多艺的数学大师莱布尼茨
●
● 莱布尼茨的工作：1684年，《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理
量》，这是世界上最早的微积分文献。

这篇论文中已含有现代的微分符号和基本微分法则：
● dax=adx; d(z-y+w+x)=dz-dy+dw+dx; duv=udv+vdu
（1）莱布尼茨断定一个事实：作为求和过程的积分是微分的逆。

这个关系的现代表述就是牛顿—莱布尼茨公式：设f(x)是[a,b]上连续，且当x ∈[a,b]时，F ′(x)=f(x)，则
⎰-=b a a F b F dx x f )()()(
(2)莱布尼茨是历史上最大的符号学者之一，他所创设的微积分符号（dx,dy,∫），远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有着极大的影响
● 对线性方程进行研究，首先引入了行列式的概念；
● 系统地阐述了二进制计数法，并把它和中国古代的八卦联系起来；
● 他提出了能量守恒原理的雏形，第一次认为动能守恒是一个普遍的物理原理； ● 他证明了“永动机是不可能”的观点。

7.5牛顿和莱布尼茨工作的比较
● 尽管牛顿在1665—1687年之间，已经取得微积分的重要成就，曾在他的老师和朋友之
间流传，但在1687年以前没有发表有关的任何文章和著作。

而在此期间，莱布尼茨受惠更斯等人的影响开始钻研数学，并了解了有关牛顿的工作，于是英国人指责莱布尼茨剽窃了牛顿的成果。

● 微积分创立的优先权之争。

争论把欧洲科学家分成势不两立的两派：英国派和大陆派 ● 争论双方停止数学交流，不仅影响了数学的正常发展，也波及自然科学领域
● 牛顿主要使用几何方法，所以在牛顿去世后的100多年中，英国人继续以几何为主要工
具，沿用牛顿的落后记号，致使英国数学落后于大陆。

● 经过以后学者们的研究，人们一致认为，牛顿和莱布尼茨几乎同时进入了微积分的大门，
他们的工作也是互相独立的，在创作年代上牛顿先于莱布尼茨，而在发表的时间上，莱布尼茨又先于牛顿，所以建立微积分的光荣应属于他们两人。