山东省滨州市高级中学2018-2019学年高三数学理上学期期末试题含解析

山东省滨州市高级中学2018-2019学年高三数学理上学
期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）
A．B．C．D．1
参考答案：
A
【考点】向量的共线定理．
【分析】设，将向量用向量、表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．
【解答】解：设
则=
==
=（）
∴
∴
故选A．
【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．
2. 已知p：则p是q
的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
A
3. 设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：不
经过区域D上的点，则的取值范围
是
（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
4. 设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1,2,3,…
若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a n＋1＝a n，b n＋1＝，c n＋1＝，则( )
A、{S n}为递减数列
B、{S n}为递增数列
C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
参考答案：
B
5. 双曲线4x2+ty2-4t=0的虚轴长等于
( )
A. B．-2t C． D．4
参考答案：
C
6. 已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋1对x∈(0，＋∞)的图像恒在x轴上方，则m的取值范围是( )
A．2－2<m<2＋2 B．m<2 C．m<2＋2 D．m≥2＋2
参考答案：
C
7. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）
A．10 B. -6
C. 3
D. -15
参考答案：
A
8. 设偶函数对任意，都有，且当时，,则
=
A.10
B.
C.
D.
参考答案：
B
由知该函数为周期函数，
所以
9. 若变量x,y满足约束条件则目标函数Z==x+2y的取值范围是
A. [2,6]
B. [2,5]
C. [3,6]
D. [3,5]
参考答案：
A
略
10. 函数f（x）=x+的极值情况是（）
A．既无极小值，也无极大值
B．当x=﹣2时，极大值为﹣4，无极小值
C．当x=2，极小值为4，无极大值
D．当x=﹣2时，极大值为﹣4，当x=2时极小值为4
参考答案：
D
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系即可得到结论．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，
函数的f（x）的导数f′（x）=1﹣，
由f′（x）＞0解得x＞2或x＜﹣1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0或0＜x＜2，此时函数单调递减，
故当x=2时，函数取得极小值f（2）=4，
当x=﹣2时，函数取得极大值f（﹣2）=﹣4，
故选：D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知满足对任意都有成立，则的取值范围是___ ____．
参考答案：
由对任意都有成立 在R上递增，∴，解得，即的取值范围是。

12. 已知x＞0，y＞0，xy=x+2y，则x+2y的最小值为；则xy的最小值
为．
参考答案：
8,8.
【考点】基本不等式．
【分析】直接利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：x＞0，y＞0，xy=x+2y，∵x+2y≥，当且仅当x=2y时取等号．
即xy≥2
可得：（xy）2≥8xy，
∴xy≥8
∴xy的最小值为8．
同理：x+2y≥，当且仅当x=2y时取等号．
∵xy≥8
∴x+2y≥8．
∴x+2y的最小值为8．
13. 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参
数方程为（为参数），直线的极坐标方程为．则直线与曲线C的位置关系为_____________.
参考答案：
相离
略
14. 函数f(x)的图像与函数g(x)=()x的图像关于直线y=x对称，则f(2x-x2)的单调减区间为______________
参考答案：
（1可开可闭）
15. 已知曲线M：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点是曲线N：y2=8x的焦点F，两曲线交点为P、Q，若=，则曲线M的实轴长为．
参考答案：
4﹣4
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得c=2，设出P的坐标，运用抛物线的定义，可得P的坐标，代入双曲线的方程，解得a，进而得到双曲线的实轴长．
【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线为x=﹣2，
由题意可得c=2，
=，则P，F，Q共线，设P（2，n），代入y2=8x，可得n=±4
将P（2，±4）代入双曲线的方程，可得﹣=1，且a2+b2=4，
解得a=2﹣2，
即有双曲线的实轴长为2a=4﹣4．
故答案为：4﹣4．
【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意运用抛物线的定义、方程和性质，点满足双曲线方程，考查运算能力，属于中档题．
16. 四面体的外接球球心在上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是；
参考答案：
17. 幂函数过点，则= .
参考答案：
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．B8
【答案解析】2 解析：∵幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），
∴，解得m=2．故答案为：2．
【思路点拨】由题意得，由此能求出m=2．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数；
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x2﹣2x，是否存在实数a，对?x1∈（0，2]，?x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）均成立；若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】综合题．
【分析】（1）先求导函数，利用曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行，可求a的值；
（2）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；
（3）由题意可知f（x）的最大值小于g（x）的最大值，然后根据二次函数的增减性即可得到g（x）的最小值，再根据（2）求出的f（x）的单调区间，即可求出f（x）的最大值，进而列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．
【解答】解：（1）
∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行
∴f′（1）=f′（3）
∴
（2）函数的定义域为（0，+∞），=
当a=0时，单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）；
当时，单调增区间为（2，），单调减区间为（0，2），（，+∞）；
当时，单调增区间为（0，+∞）；
当时，单调减区间为（0，），（2，+∞）；单调增区间为（，2）；
当a＜0时，单调减区间为（2，+∞）；单调增区间为（0，2）；
（3）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．
由x∈（0，2]，得到g（x）max=g（2）=0，
当a≤时，f（x）在（0，2]单调递增，此时f（x）max=f（2）=﹣2a﹣2+2ln2，
∴﹣2a﹣2+2ln2＜0
∴，
当时，f（x）在（0，）上递增，在（，2）上单调递减；
∴f（x）max=f（）=﹣2﹣﹣2lna，则﹣2﹣﹣2lna＜0恒成立
即只需即可（∵，∴﹣2﹣2lna＜0）
综上可知，存在实数a满足条件，a的范围（ln2﹣1，+∞）
【点评】本题考查的重点是导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，解题的难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．有一定的难度．19. 某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．
参考答案：
【考点】频率分布直方图．
【专题】计算题．
【分析】（1）先算出频率分布直方图成绩大于或等于60且小于80的频率，再利用频数等于频率×样本总数即可解得全班学生中成绩合格的人数．
（2）欲求事件“|m﹣n|＞10”概率，根据古典概型，算出基本事件的总个数n和算出事件事件“|m﹣n|＞10”中包含的基本事件的个数m；最后算出事件A的概率，即P（A）
=．
【解答】解：（I）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29．
所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．
（II）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，
设成绩为x、y
成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，
若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况，
若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况，
若m，n分别在[50，60）和[90，100]内时，有
共有6种情况，所以基本事件总数为10种，
事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种
∴．
【点评】在频率分布直方图中，每一个小矩形都是等宽的，即等于组距，高是，所
以有：×组距=频率；即可把所求范围内的频率求出，进而求该范围的人数．20. （2016郑州一测）如图，矩形和梯形所在的平面互相垂直，
，，．
（1）若为中点，求证：∥平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
参考答案：
（1）证明：设与交于点，连接，
在矩形中，点为中点，
∵为中点，∴∥，
又∵平面，平面，
∴∥平面．
（2）取中点为，连接，
平面平面，
平面平面，
平面，，
∴平面，同理平面，
∴的长即为四棱锥的高，
在梯形中，
∴四边形是平行四边形，，
∴平面，
又∵平面，∴，
又，，
∴平面，．
注意到，
∴，，
∴．
21. 已知,若矩阵所对应的变换把直线:变换为自身,求
.
参考答案：
对于直线上任意一点,在矩阵对应的变换作用下变换成点,
则,
因为,所以,
所以解得
所以,
所以
略
22. （本小题满分12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为
中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
参考答案：
本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．
解析：解法一：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
平面．
连结，在正方形中，分别为
的中点，
，
．
在正方形中，，
平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
，
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又，
．
所以二面角的大小为．
（Ⅲ）中，，．在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由得，
．
点到平面的距离为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．
平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为．
，．
，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
，．
二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，
．
点到平面的距离．。