四川省眉山市柳圣中学高二数学理期末试题含解析

四川省眉山市柳圣中学高二数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设，则“”是“函数为偶函数”的
.充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件
参考答案：
A
2. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）
A．1 B．5 C．
D．
参考答案：
D
略
3. 已知函数在处的导数为1，则( )
A．3 B． C．
D．
参考答案：
B
4. 复数（i为虚数单位）的虚部是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：复数=﹣﹣i，虚部为﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（）
A. (－∞,－2)∪(0,2)
B. (－∞,－2)∪(－2,2)
C. (－2,0)∪(2,+∞)
D. (0,2)∪(2,+∞)
参考答案：
C
【分析】
通过令可知问题转化为解不等式，利用当时及奇函数与偶函数的积函数仍为奇函数可知在递减、在上单调递增，进而可得结论．【详解】解：令，则问题转化为解不等式，
当时，，
当时，，
当时，即函数上单调递增，
又，是奇函数，
故为偶函数，
（2），（2），且在上单调递减，
当时，的解集为，
当时，的解集为，
使得成立的的取值范围是，，，
故选：．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，构造新函数是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
6. 已知点在平面内，并且对空间任一点，则的值
为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
7. 如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
8. 过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
9. 直线l： x+y+3=0的倾斜角α为（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
参考答案：C
【考点】直线的倾斜角．
【分析】由题意可得，直线的斜率tanα=﹣，再由0°≤α＜180°，可得α的值．
【解答】解：由于直线l： x+y+3=0的倾斜角为α，则直线的斜率tanα=﹣，
再由0°≤α＜180°，可得α=120°，
故选C．
【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，根据三角函数的值求角，属于基础题．
10. 设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为,则该双曲线的离心率（）
A．5 B． C． D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 命题“∀x∈R，x2-x+3>0”的否定是.
参考答案：
∃x∈R，x2-x+3≤0
12. 若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．
参考答案：
x2+（y﹣1）2=1
【考点】圆的标准方程．
【分析】利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．
【解答】解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，
可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，
故答案为：x2+（y﹣1）2=1．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．
13. 设有足够的铅笔分给7个小朋友，每两人得到的铅笔数不同，最少者得到1支，最多者
得到12支，则有 种不同的分法。

参考答案：
1270080
14. △ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A=60°，B=45°，c=20cm ，则△ABC 的AB 边上的高h c = ．
参考答案：
【考点】解三角形．
【专题】计算题；方程思想；解三角形．
【分析】由A 与C 的度数求出B 的度数，再作出AB 边上的高，利用两个特殊直角三角形求高．
【解答】解：由已知得到∠C=75°，作出AB 边上的高CD ，设高为x ，则BD=x ，AD=x ，则
x+
x=20解得x=
；
故答案为：
．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数以及利用方程思想解三角形．
15. 计算
的结果为
．
参考答案：
原式=
故答案为：
16. 已知平面内正三角形的内切圆与外接圆的半径之比为1 : 2 ，类比到空间，正四面体的内切球与外接球半径之比为 参考答案：
1:3 略
17. 如右上图，
是圆外的一点，
为切线，
为切点，割线
经过圆心
，
,则
.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB=BC ，侧面A 1B 1BA 和B 1C 1CB 都是边长为2的正方形，D 为AC 的中点．
（1）求证：AB 1∥平面DBC 1； （2）求证：A 1C 1⊥平面BDC 1； （3）求三棱锥C ﹣BDC 1的体积．
参考答案：
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理证明即可；（3）根据三棱锥的体积公式计算即可．
解答：（1）证明：如图示：
连接B1、C交BC1与点O，连接OD，在△CAB1中，
O、D分别是B1C和AC的中点，OD∥AB1，
而AB1不在平面BDC1，OD?平面BDC，
∴AB1∥平面BDC1；
（2）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1B1BA和B1C1CB都是正方形，
BB1⊥平面ABC，
∴AA1⊥平面ABC，BD?平面ABC，
则AA1⊥BD，
∵AB=BC=2，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，BD⊥平面AA1C1C，
∴BD⊥A1C，A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1，
A1B1⊥平面B1C1CB，A1B1⊥BC1，
在正方形B1C1CB中，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C=B1，
BC1⊥平面A1B1C，A1C?平面A1B1C，A1C⊥BC1，
又BD∩BC1=B，
故A1⊥平面BDC1，
（3）解：==h，
∵D是AC的中点，易知AB⊥平面BCC1B1，
故h=AB=1，
∴==h=××2×2×1=．
点评：本题考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查空间几何体的体积公式，是一道中档题．
19. （本题满分10分）在中，角所对的边为，且满足
（1）求角的值；
（2）若且，求的取值范围．
参考答案：
20. 某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：
（Ⅱ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，若将该样本看成一个总体，从中随
机抽取2名学生，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？
参考答案：
【考点】频率分布直方图；分层抽样方法．
【分析】（1）由频率分布图中小矩形面积和为1，能求出a的值．
（2）由直方图，得第3组人数为30人，第4组人数为20人，第5组人数为10人，利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．由此利用列举法能求出第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率．
【解答】解：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，
所以a=0.005．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）由直方图，得：第3组人数为：0.3×100=30人，
第4组人数为：0.2×100=20人，
第5组人数为：0.1×100=10人，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，
第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），
（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），
（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），
其中恰有1人的分数不低于9的情形有：
（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种，
所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21. （本小题满分12分）已知四棱锥，面
,∥,,,,,为上一点,是平面与的交点.
（Ⅰ）求证：∥；
（Ⅱ）求证：面；
（Ⅲ）求与面所成角的正弦值.
参考答案：
（Ⅰ）∥ ,面,面
∴∥面 -----------------------1分
又∵面面
∴∥ -----------------------2分
∴∥ -----------------------3分
（Ⅱ）∵面
∴ -----------------------4分
又
∴面 -----------------------5分
∵面,∴ -----------------------6分
又∵
∴面 -----------------------7分
（Ⅲ）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系---------8分
, ----------9分
设由且∥可得
，解得，∴ -----------------------10分
设为平面的一个法向量则有
，令，，∴ ----------------11分
∴与面所成角的正弦值为 . -----------------------12分
22. 已知数列的前项和，求通项。

参考答案：
解析：，∴。