2021北师大版数学必修第一册章末综合测评4 对数运算与对数函数

16．已知函数 f(x)的图象与函数 g(x)＝2x 的图象关于直线 y＝x 对称，令 h(x) ＝f(1－|x|)，则关于函数 h(x)有
下列命题： ①h(x)的图象关于原点(0，0)对称； ②h(x)的图象关于 y 轴对称； ③h(x)的最小值为 0； ④h(x)在区间(－1，0)上单调递增． 其中正确的是________．(把正确命题的序号都填上) ②④ [∵f(x)的图象与 g(x)＝2x 的图象关于 y＝x 对称， ∴两者互为反函数，f(x)＝log2x(x>0)， ∴h(x)＝f(1－|x|)＝log2(1－|x|).又 h(－x)＝h(x)， ∴h(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，故 h(x)的图象关于 y 轴对称，∴②正确，而① 不正确． ∵当 1－|x|的值趋近于 0 时，h(x)的函数值趋近于－∞， ∴h(x)的最小值不是 0，∴③不正确． 设－1<x1<x2<0，则 1－|x2|>1－|x1|， 又∵y＝log2x 是单调增函数， ∴log2(1－|x2|)>log2(1－|x1|)，∴h(x2)>h(x1)，∴h(x)在区间(－1，0)上单调递增， ∴④正确．] 四、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或
故定义域为(－∞，1).
又∵loga(a－ax)＜logaa＝1， ∴f(x)＜1，即函数值域为(－∞，1). (2)证明：在(－∞，1)上任取 x1，x2，且 x1＜x2， f(x)在(－∞，－1)为减函数，
f(x1)－f(x2)＝loga(a－ax1)－loga(a－ax2)＝logaaa－－aaxx12，∵a＞1，x1＜x2＜1， ∴ax1＜ax2＜a， ∴0＜a－ax2＜a－ax1， ∴aa－ －aaxx12＞1，∴logaaa－－aaxx12＞0，即 f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在(－∞，1)上为减函数．
D．R
∴x＞3，函数的定义域为 5
3，＋∞ 5
.]
ex－1，x≤1，
3．已知函数 f(x)＝
那么 f(ln 2)的值是( )
ln x，x>1，
A．0
B．1 C．ln (ln 2)
D．2
B [∵0<ln 2<1，∴f(ln 2)＝eln 2－1＝2－1＝1.]
4．函数 f(x)＝2 |log2 x|的图象大致是( )
(1)当 a＝0，2 时，分别求函数的定义域和值域；
(2)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围．
[解] (1)当 a＝0 时，f(x)＝log2(2x＋1).
由 2x＋1>0，得 x>－1，此时 f(x)∈R. 2
当
a＝2
时，f(x)＝log2(2x2＋2x＋1)＝log2
2
x＋1 2
中横线上．
13．已知 log23＝a，log37＝b，则 log27＝________．(用 a，b 表示)
ab [由于 log37＝lloogg2273＝b，又 log23＝a， 所以 log27＝ab.]
14．若m1 ＝log35，，则 5m＋5－m 的值为________．
10 3
[∵mlog35＝1，∴m＝log135＝log53，
a>0，
解得
Δ＝4－4a<0，
a>1.
∴当 a∈(1，＋∞)时，f(x)的定义域为 R.
20．(本小题满分 12 分)已知 f(x)＝loga(a－ax)(a＞1)，
(1)求 f(x)的定义域、值域；
(2)判断 f(x)的单调性，并证明．
[解] (1)为使函数有意义，需满足 a－ax＞0，即 ax＜a，又∵a＞1，∴x＜1，
＝
3＋1＋1 3
log25·(3log52)＝13log25·lloogg2225
＝13.
18．(本小题满分 12 分)已知 x，y，z 为正数，且 3x＝4y＝6z.
(1)求使 2x＝py 的 p 的值；
(2)求证： 1 ＝1－1. 2y z x
[解] (1)设 3x＝4y＝6z＝k(显然 k≠1)，则 x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
D．4
ACD [当 a>1 时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝12(舍去). 当 0<a<1 时，1＋a＋loga2＝a，
∴loga2＝－1，a＝12.]
10．函数 f(x)＝2x＋loga(x＋1)＋3 不过点为( )
A．(0，3)
B．(0，4)
C．
－1，7 2
D．(－1，4)
ACD [当 x＝0 时，loga1＝0，所以此时函数值 f(0)＝4，故恒过定点(0，4).]
函数 f(|x|)＝log1|x|，∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)为偶函数，A 正确；
2
若 f(a)＝|f(b)|其中 a>0，b>0，∵a≠b，
∴f(a)＝|f(b)|＝－f|b|，
∴log1a＋log1b＝log1(ab)＝0，∴ab
函数 f(－x2＋2x)＝log1 (－x2＋2x)＝log1 [－(x－1)2＋1]，由－x2＋2x>0，解得
D．3y<2x<5z
D [令 2x＝3y＝5z＝k(k>1)，则 x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k
∴2x＝2lg k· lg 3 ＝lg 9>1，则 2x>3y， 3y lg 2 3lg k lg 8
-2-
2x＝2lg k· lg 5 ＝lg 25<1，则 2x<5z，故选 D.] 5z lg 2 5lg k lg 32
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0
分．
9．若函数 f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的
值不可能是( )
A．1 4
B．1 2
C．2
C [0.32＝0.09，log20.3＜0，20.3＞1，∴log20.3＜0.32＜20.3.]
log2（x－1），x≥2，
6．设函数 f(x)＝ 1 x 2 －1，x<2，
若 f(x0)>1，则 x0 的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0，2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
A
B
C
D
-1-
x，x≥1， C [∵f(x)＝2|log2 x|＝ 1，0<x<1
x ∴选 C.]
5．0.32，log20.3，20.3 三个数的大小关系为( )
A．0.32＜20.3＜log20.3
B．0.32＜log20.3＜20.3
C．log20.3＜0.32＜20.3
D．log20.3＜20.3＜0.32
2
12．关于函数 f(x)＝|ln |2－x||下列描述正确的有( ) A．函数 f(x)在区间(1，2)上单调递增 B．函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝2 对称 C．若 x1≠x2，但 f(x1)＝f(x2)，则 x1＋x2＝4 D．函数 f(x)有且仅有两个零点 ABD [函数 f(x)＝|ln |2－x||的图象如下图所示：
(3)设鲑鱼 A 的游速为 yA，耗氧量的单位数为 xA，鲑鱼 B 的游速为 yB，耗氧量 的单位数为 xB.
-5-
演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258).
[解] 原式＝(log253＋lloogg22245＋lloogg2258)(log52＋lloogg55245＋lologg515825)
＝(3log25＋22lloogg2252＋3lloogg2252)(log52＋22lloogg5525＋33lloogg5525)
章末综合测评(四) 对数运算与对数函数
(满分：150 分 时间：120 分钟)
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 1．已知集合 A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝ 2 x，x>1}，则 A∩B＝( )
2＋1 2
，
∵2
x＋1 2
2＋1≥1对一切
x∈R
都成立，
22
故 f(x)≥－1.
故当
a＝0
时，f(x)的定义域为
－1，＋∞ 2
，值域为
R；
当 a＝2 时，f(x)的定义域为 R，值域为[－1，＋∞).
-6-
(2)f(x)的定义域为 R⇔ax2＋2x＋1>0 对任意 x∈R 恒成立．
由上述可知
a≠0，依题意，得
D．(－1，3)
C [当 x0≥2 时，∵f(x0)>1，∴log2(x0－1)>1， 即 x0>3；
1
11
当 x0<2 时，由 f(x0)>1 得 2 x0－1>1， 2 x0> 2 －1，
∴x0<－1.
∴x0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞).]
7．函数 f(x)＝ a－lg x的定义域为(0，10]，则实数 a 的值为( )
| A． y
0<y<1 2
B．{y|0<y<1}
| C． y
1<y<1 2
| A
[∵A＝{y|y>0}，B＝ y
0<y<1 2.
| ∴A∩B＝ y
0<y<1 2 .]
D．∅
2．函数 y＝log 1(5x－3)的定义域是( 2
3，＋∞ A． 5
) 3，＋∞
B． 5
C．(0，＋∞) A [要使函数有意义则 5x－3＞0，
由 2x＝py，得 2log3k＝plog4k＝p·lloogg334k， ∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明：1z－1x＝lo1g6k－lo1g3k＝logk6－logk3＝logk2＝12logk4＝2lo1g4k＝21y. 19．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝log2(ax2＋2x＋1).
A．0
B．10
C．1
D． 1 10
C [由已知，得 a－lg x≥0 的解集为(0，10]，由 a－lg x≥0，得 lg x≤a，又
当 0<x≤10 时，lg x≤1，所以 a＝1，故选 C.]
8．设 x、y、z 为正数，且 2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z
B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x
-4-
∴5m＋5－m＝5log53＋5－log53＝3＋5log51＝3＋1＝10.] 3 33
15．如图所示，四条曲线分别是：y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx 的 图象，则 a，b，c，d 与 0，1 的大小关系是________．
0<c<d<1<a<b [画一条直线 y＝1，与图象的四个交点横坐标从左到右依次是 c<d<a<b.]
11．设函数 f(x)＝log1x，下列四个命题正确的是( )
2
A．函数 f(|x|)为偶函数
B．若 f(a)＝|f(b)|其中 a>0，b>0，a≠0，则 ab＝1
C．函数 f(－x2＋2x)在(1，3)上为单调递增函数
D．若 0<a<1，则|f(1＋a)|<|f(1－a)|
ABD [f(x)＝log1x，x>0. 2
(3)若鲑鱼 A 的游速大于鲑鱼 B 的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说
明理由．
[解] (1)令 x＝8 100，代入函数关系式，得 y＝12log381＝12×4＝2，即游速是 2
m/s.
-7-
(2)令 y＝0，得 12log310x0＝0，即10x0＝1，x＝100， 所以一条鲑鱼静止时耗氧量为 100 个单位．
由图可得：
函数 f(x)在区间(1，2)上单调递增，A 正确； 函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，B 正确； 若 x1≠x2，但 f(x1)＝f(x2)，则 x1＋x2＝4，C 错误； 函数 f(x)有且仅有两个零点，D 正确． 故选 ABD.]
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题
2
2
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0<x<2， ∴函数的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，C 不正确； 若 0<a<1，∴1＋a>1－a，∴f(1＋a)<0<f(1－a)，故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝－f(1
＋a)－f(1－a)＝－log1(1－a2)<0，则|f(1＋a)|<|f(1－a)|，因此 D 正确．故选 ABD.]
21．(本小题满分 12 分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上 2 000 m，游回产地产
卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 y＝12log310x0，单位是 m/s，
其中 x 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 8 100 个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；