【多彩课堂】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件：2.2.1《综合法与分析法》

①
同理 b(c2 a2 ) 2abc ,
②
c(a2 b2 ) 2abc ,
③
因 为 a,b, c 不 全 相 等 ， 所 以 b2 c2 2bc ,
c2 a2 2ac , a2 b2 2ab 三式不能全取等号，从而①、 ②、③三式也不能全取等号,
∴ a(b2 c2 ) b(c2 a 2 ) c(a 2 b2 ) 6abc
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整过程
消化
固化
模式
拓展
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
【分析法】
从结论出发，寻找结论成立的充分条件
直至最后，把要证明的结论归结为判定一
个明显成立的条件. 要证：
要证：
只要证：
格 式 只需证：
显然成立
上述各步均可逆
所以 结论成立 所以 结论成立
分析基本不等式：a 明.
+ 2
b
ab (a>0,b>0)的证
证明:要证
a
+ 2
b
ab
只需证 a + b 2 ab
x2 2x 2 0
x2 2 2x
证法2是从已经成立的事实出发,经过正确推理,得到要证的结论.
------ 综合法
引例二:求证 3 7 2 5
分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接 从待证不等式出发,分析其成立的充分条件.
证明:要证明 3 7 2 5 ,
只需证 ( 3
只需证 a + b 2 ab 0
只需证 ( a b)2 0
因为 ( a b)2 0 成立
所以
a
+ 2
b
ab成立
还原成综合法： 证明:
因为;( a b)2 0
所以 a + b 2 ab 0
所以 a + b 2 ab
所以
a+b 2
ab 成立
例1、已知a 0,b 0,求证：a b a b ba
本课选用了两个例题。例题设置难易适度,每个例题后有针对 性的练习,便于学生巩固和掌握,且第一个例题与变式训练分别用 分析法和综合法来证明,让学生真正体会两种方法的优点与作用， 另外,第二个例题可以用综合法，也可以用分析法,从而锻炼学生 灵活应用方法解决问题的能力.采用一讲一练针对性讲解的方式， 重点理解综合法与分析法的应用。
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示 所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
特点：由因索果 综合法是由一个个推理组成的.
分析法概念
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每 一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证
如何测的恒星之间的距离
通过观看视频，大家一起讨论一下我们应该 如何测的恒星之间的距离呢？
复习
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊） （一般到特殊）
合情推理是 发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具 怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的 . 今天,我们就来认识一些基本的证明方法……
求证：对任意锐角 ，cos4 sin4 cos 2 证明 : 左边 cos4 sin4 (cos2 sin2 )(cos2 sin2 )
cos2 sin2 cos2 右边
等式成立
1.知识与技能:
(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经 过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. (2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条 件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条 件（已知条件、定理、定义、公理等）. (3)综合法与分析法的区别：综合法是从已知条件出发，逐步推 向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发， 逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.
证明： A、B、C成等差数列 2B A C
A BC B
3 a、b、c成等比数列 b2 ac
由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos B a2 c2 ac
a2 c2 ac ac 即(a c)2 0 a c ABC是等边三角形
解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言 转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言。还要通 过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
当且仅当 a=b 成立 所以 a b a b成立
ba
所以 a b b a 2 a 2 b
b
a
所以 a b a b 成立 ba
设a, b是两个正实数，且a b，求证：a3 b3 a2b ab2
证明：方法一（分析法） 证明:要证 a3 +b3 a2b ab2 只需证 (a+b)(a2 ab b2 ) ab(a b) 只需证 a2 ab b2 ab 只需证 a2 2ab b2 0 即只需证 (a b)2 0 而由已知条件可知 a b(a b)2 0 显然成立，所以命题得证.
7)2 (2
5) ,2 在本例中,由于我们很难想到从 “ 21<25”入手,所以用综合法
即证10 2 21 20 , 即证 2 21 10 ,
证明比较困难.
分 以上采用的证明方法就是 析法.
即证 21 5 ,
即证 21 25,
因为 21 25显然成立,所以原不等式成立.
综合法概念
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的 推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法.
选做题：
1. 用分析法证明：若 a 0 ，则
a2
1 a2
2 a 1 2.
a
Fra Baidu bibliotek
2. 已 知 函 数 y x 1 ， y x2 2x 2 t ，
y 1 (x 1 t ) (x 0) 的最小值恰好是方程
2x
x3 ax2 bx c 0 的 三 个 根 ， 其 中 0 t 1 ． 求 证 ： a2 2b 3 ；
明的方法叫做分析法．
这个明显成立的条件可以是：
已知条件、定理、定义、公理等
则分析法用框图表示为:
QP1 P1P2
P2P3
…
得到一个明显 成立的条件
特点：
执果索因（逆推）
综合法与分析法的比较
1. 综合法:
要点:顺推证法;由因导果．
2. 分析法:
要点:逆推证法;执果索因．
3.综合法与分析法的区别及优缺点
方法二（综合法） 证明: a b(a b)2 0
即 a2 2ab b2 0
即 a2 ab b2 ab
由条件可知 a b 0
(a+b)(a2 ab b2 ) ab(a b) 即 a3 b3 a2b ab2 ， 所以命题得证.
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的 边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、 b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
❖合情推理得到的结论是不可靠的， 需要证明.数学中证明的方法有哪些 呢？
证明的方法
直接证明
综合法 分析法
间接证明（反证法）
引例一:证明不等式: x2 2 2x(x R)
证法1:由 x2 2 2x (x 1)2 1 1 0 x2 2 2x 证法2:由 (x 1)2 0 (x 1)2 1 1 0
a
1 a2
1 (a2 2
1 a2
2)
，
即证 a2
1 a2
2 ，它显然成立．
∴原不等式成立．
2.证明:三个函数的最小值依次为1， 1 t ， 1 t ， 由 f (1) 0，得 c a b 1 ∴ f (x) x3 ax2 bx c x3 ax2 bx (a b 1) (x 1)[x2 (a 1)x (a b 1)] ， 故方程 x2 (a 1)x (a b 1) 0 的两根是 1 t ， 1 t ． 故 1 t 1 t (a 1) ， 1 t 1 t a b 1 ． 由 ( 1 t 1 t )2 (a 1)2 ， 可得 2 2(a b 1) (a 1)2 . ∴ a2 2b 3 .
2
x，y 的大小关系是__x___y____．
4. 已 知 a,b, c 是 不 全 相 等 的 正 数 ， 求 证 ：
a(b2 c2 ) b(c2 a 2 ) c(a 2 b2 ) 6abc .
必做题：
4.证明： b2 c2 2bc, a 0 ,
a(b2 c2 ) 2abc ,
第二章 推理与证明
2.2.1 综合法与分析法
内容：
1、了解综合法的思考过程、特点,会用综合法证 明题目. 2、了解分析法的分析思路,会用分析法证明题目. 3、能用分析法分析证题思路,用综合法书写证明 过程.
应用:
1、证明不等式
2、证明等式
本课主要学习综合法与分析法。通过两个引例出发,引入综合
法与分析法,通过对比掌握它们证题的特点,并总结出它们之间的 区别与联系,为在实际问题中分析问题寻找解题方法做好铺垫.重 点:会用综合法和分析法证明问题;了解综合法与分析法的思考过 程.难点:根据问题的特点,结合综合法与分析法的思考过程、特点 ,选择适当的证明方法.
证明:要证 a b
ba
a
b 证明:
综合法：
只需证a a b b b a a b 因为; a 0,b 0
只需证a a b b b a a b 0 所以a b 2 a，b a 2 b
而 a( a b) b( a b)
( a b)( a b)2 0
b
a
当且仅当a=b时取等号
2.思想与方法: 顺推与逆推的思想.
必做题：
1. 要 证 明 不 等 式 6 7 2 2 5 成 立 ， 只 需 证
明： ( 6 7)2 (2 2 5)2 .
2.已知
a2
2
2 a2
2
与
2
2
的大小关系是a2
2
2 a2 2
2
.2
3.已知 a, b 是不相等的正数， x a b ，y a b ，则
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了 ， 但不会做，做 不好？
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模 型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
(1)区别:综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步 寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已 知,每步寻找的是充分条件.
(2)优缺点:综合法和分析法是直接证明的两种基本方法, 两种方法各有优缺点,综合法从条件推出结论,能较简捷地 解决问题,但不便于思考;分析法解题方向较为明确,容易寻 找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁.
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
选做题答案：
1.证明：要证
a2
1 a2
2 a 1 2. ，
a
只需证
a2
1 a2
2a
1 a
2.
由 a 0 ，所以两边均大于零，因此只需证
(
a2
1 a2
2)2
(a 1 a
2)2
只需证 a2
1 a2
4
4
a2
1 a2
a2
1 a2
2
22
2(a 1) ，
a
只需证
a2
1 a2
2 2
(a
1) ，只需证 a2