1.1 二次函数 浙教版数学九年级上册同步综合训练(解析版)

1.1 二次函数
—同步综合训练—
一、选择题
1、若抛物线y＝2+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（ ）
A．m＝5B．m＝﹣1C．m＝5或m＝﹣1D．m＝﹣5
2、下列关于x的函数一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝ax2+bx+c C．y＝﹣5x2﹣3D．y＝x3+x+1
3、下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．y＝x2+2x﹣1D．y＝x﹣2
4、若函数y＝mx+4是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或﹣1B．0或1C．﹣1D．1
5、当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（ ）
A．a＝1B．a＝﹣1C．a≠﹣1D．a≠1
6、下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1D．y＝x2+
7、下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝﹣2x+1C．y＝x2+2D．y＝x﹣2
8、下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
9、二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3B．5C．﹣3和5D．3和﹣5
10、下列函数关系中，可以看作二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）模型的是（ ）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
二、填空题
11、二次函数y＝2x2﹣3x﹣1的二次项系数与常数项的和是 ．
12、若函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ．
13、关于x的函数y＝（m+1）x是二次函数，则m的值 ．
14、若y＝（m﹣2）+mx+1是关于x的二次函数，则m＝ ．
15、二次函数y＝x2+4x﹣3中，当x＝﹣1时，y的值是 ．
16、若函数y＝（m2+m）是二次函数，则m＝ ．
17、已知方程ax2+bx+cy＝0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一
个函数表达式的形式．则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．
18、已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上
述条件的二次函数表达式 ．
19、下列函数①y＝5x﹣5；②y＝3x2﹣1；③y＝4x3﹣3x2；④y＝2x2﹣2x+1；⑤．其
中是二次函数的是
．
20、若y＝（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数，则a的值为 ．
三、解答题
21、一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x＝0.5时y的值？
22、当系数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比
例函数？
23、已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
24、已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
25、已知函数y＝﹣（m+2）x m2﹣2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
26、若y＝（a2+a）x是二次函数，求a的值．
27、若y＝（m﹣1）x+3．
（1）m取什么值时，此函数是二次函数？
（2）m取什么值时，此函数是一次函数？
28、函数是关于x的二次函数，求m的值．
29、已知函数．
（1）当m为何值时，此函数是正比例函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
30、若函数y＝（m+1）是关于x的二次函数，求m的值．
1.1 二次函数
— 同步综合训练—
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一、选择题
1、若抛物线y＝2+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（ ）
A．m＝5B．m＝﹣1C．m＝5或m＝﹣1D．m＝﹣5
［思路分析］根据二次函数的定义可知m2﹣4m﹣3＝2，解方程得m＝5或﹣1，再由顶点在x轴下方，选择m的取值．
［答案详解］解：∵y＝2+（m﹣5）的图象是抛物线，
∴m2﹣4m﹣3＝2，解得：m＝5或﹣1，
又∵抛物线的顶点坐标是（0，m﹣5），顶点在x轴下方，
∴m﹣5＜0，即m＜5，
∴m＝﹣1．
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，以及用顶点式一般形式表示的二次函数，顶点坐标的表示．
2、下列关于x的函数一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝ax2+bx+c C．y＝﹣5x2﹣3D．y＝x3+x+1
［思路分析］根据二次函数的定义逐个判断即可．
［答案详解］解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．是二次函数，故本选项符合题意；
D．是三次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．
3、下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．y＝x2+2x﹣1D．y＝x﹣2
［思路分析］根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式，从而判断即可．
［答案详解］解：A．y＝，不是二次函数，故A不符合题意；
B．y＝，不是二次函数，故B不符合题意；
C．y＝x2+2x﹣1，是二次函数，故C符合题意；
D．y＝x﹣2，不是二次函数，故B不符合题意；
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
4、若函数y＝mx+4是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或﹣1B．0或1C．﹣1D．1
［思路分析］利用二次函数定义可得m2+m+2＝2，且m≠0，再解即可．
［答案详解］解：由题意得：m2+m+2＝2，且m≠0，
解得：m＝﹣1，
故选：C．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
5、当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（ ）
A．a＝1B．a＝﹣1C．a≠﹣1D．a≠1
［思路分析］根据二次函数定义可得a﹣1≠0，再解即可．
［答案详解］解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：D．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
6、下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1D．y＝x2+
［思路分析］根据二次函数的定义，可得答案．
［答案详解］解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A不符合题意；
B、y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，故B不符合题意；
C、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故C符合题意；
D、y＝x2+不是二次函数，故D不符合题意．
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，注意二次函数都是整式．
7、下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝﹣2x+1C．y＝x2+2D．y＝x﹣2
［思路分析］直接根据二次函数的定义判定即可．
［答案详解］解：A、y＝2x+1，是一次函数，故此选项错误；
B、y＝﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误；
C、y＝x2+2是二次函数，故此选项正确；
D、y＝x﹣2，是一次函数，故此选项错误．
故选：C．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的定义，根据定义直接判断是解题关键．
8、下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
［思路分析］根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条
件判定则可．
［答案详解］解：A、y＝mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；
B、t＝，当s≠0时，是反比例函数，错误；
C、C＝3a，是正比例函数，错误；
D、S＝πR2，是二次函数，正确．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的定义．
9、二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3B．5C．﹣3和5D．3和﹣5
［思路分析］根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解方程即可．
［答案详解］解：根据题意，得
x2+2x﹣7＝8，
即x2+2x﹣15＝0，
解得x＝3或﹣5，
故选：D．
［经验总结］本题考查给出二次函数的值去求函数的自变量，转化为求一元二次方程的解．
10、下列函数关系中，可以看作二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）模型的是（ ）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
［思路分析］根据实际问题中的数量关系及二次函数的模型，逐一判断．
［答案详解］解：A、距离一定，汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数，即距离，速度与时间成反比例关系；
B、设原来的人口是a，x年后的人口数是y，则y＝a（1+1%）x，不是二次函数关系；
C、竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气
阻力）是二次函数．
D、设半径是r，则周长c＝2πr，是一次函数关系．
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数的定义．
二、填空题
11、二次函数y＝2x2﹣3x﹣1的二次项系数与常数项的和是 ．
［思路分析］根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，可得二次项系数是2，常数项是﹣1，再求和即可．
［答案详解］解：二次函数y＝2x2﹣3x﹣1的二次项系数是2，常数项是﹣1，
﹣1+2＝1，
故答案为：1．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意再找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
12、若函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ．
［思路分析］根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2+m＝2，求出m即可．
［答案详解］解：∵函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，
∴m+2≠0且m2+m＝2，
解得：m≠﹣2且m＝﹣2，m＝1，
∴m＝1，
故答案为：1．
［经验总结］本题考查了对二次函数的定义的理解和运用，注意：若y＝ax m+bx+c（abc 都是常数）是二次函数，那么a≠0且m＝2．
13、关于x的函数y＝（m+1）x是二次函数，则m的值 ．
［思路分析］根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．
［答案详解］解：∵y＝（m+1）x是关于x的二次函数，
∴m2﹣m＝2，m+1≠0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
［经验总结］该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．
14、若y＝（m﹣2）+mx+1是关于x的二次函数，则m＝ ．
［思路分析］根据二次函数的定义条件列出方程与不等式求解即可．
［答案详解］解：根据二次函数的定义，得：
m2﹣2＝2，
解得m＝2或m＝﹣2，
又∵m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴当m＝﹣2时，这个函数是二次函数．
［经验总结］本题考查二次函数的定义．
15、二次函数y＝x2+4x﹣3中，当x＝﹣1时，y的值是 ．
［思路分析］根据自变量与函数值的关系，可得答案．
［答案详解］解：当x＝﹣1时，y＝1﹣4﹣3＝﹣6，
故答案为：﹣6．
［经验总结］本题考查了二次函数，利用自变量与函数值对应关系是解题关键．
16、若函数y＝（m2+m）是二次函数，则m＝ ．
［思路分析］根据二次函数的定义，要求自变量的指数等于2，系数不为0．
［答案详解］解：∵函数y＝（m2+m）是二次函数，
∴m2﹣1＝2，
解得m＝±；
且m2+m≠0，
即m≠0或m≠﹣1．
∴m＝±．
［经验总结］此题考查二次函数的定义．
17、已知方程ax2+bx+cy＝0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个
函数表达式的形式．则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．
［思路分析］函数通常情况下是用x表示y．注意分母不为0，二次项的系数不为0．
［答案详解］解：整理得函数表达式为y＝﹣x2﹣x，成立的条件是a≠0，c≠0，是二次函数．
故答案为：y＝﹣x2﹣x；a≠0，c≠0；二次．
［经验总结］本题考查常用的用一个字母表示出另一字母的函数，注意自变量的取值，及二次项系数的取值．
18、已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上
述条件的二次函数表达式 ．
［思路分析］直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标，进而得出答案．
［答案详解］解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，﹣1），
故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y＝x2﹣1．
故答案为：y＝x2﹣1．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的性质，正确得出其顶点坐标是解题关键．
19、下列函数①y＝5x﹣5；②y＝3x2﹣1；③y＝4x3﹣3x2；④y＝2x2﹣2x+1；⑤．其中
是二次函数的是
．
［思路分析］根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．
［答案详解］解：①y＝5x﹣5为一次函数；
②y＝3x2﹣1为二次函数；
③y＝4x3﹣3x2自变量次数为3，不是二次函数；
④y＝2x2﹣2x+1为二次函数；
⑤函数式为分式，不是二次函数．
故答案为：②④．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义．关键是明确二次函数解析式为整式，自变量的最高次数为2，二次项系数不为0．
20、若y＝（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数，则a的值为 ．
［思路分析］根据二次函数的定义，令|a|﹣1＝2且a+3≠0即可解答．
［答案详解］解：当|a|﹣1＝2且a+3≠0时，为二次函数，
∴a＝﹣3（舍去），a＝3．
故答案为3．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，令最高次项为2，最高次项系数不为0即可．
三、解答题
21、一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x＝0.5时y的值？
［思路分析］（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，
a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可；
（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值．［答案详解］解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，
解得：k＝2；
（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，
当x＝0.5时，y＝．
［经验总结］此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件．
22、当系数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比
例函数？
［思路分析］根据二次函数和一次函数、正比例函数定义进行解答即可．
［答案详解］解：函数y＝ax2+bx+c中a≠0，b和c为任意常数时是二次函数，
a＝0，b≠0，c为任意常数时是一次函数；
a＝0，b≠0，c＝0时是正比例函数．
［经验总结］此题主要考查了二次函数和一次函数、正比例函数，关键是掌握三种函数定义．
23、已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
［思路分析］（1）根据形如y＝kx+b（k≠0）是一次函数，可得答案；
（2）根据形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．
［答案详解］解：（1）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的一次函数，
得
解得m＝2，
当m＝2时，它是y关于x的一次函数
（2）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的二次函数，得
①m﹣4＝0，
解得m＝4；
②m2﹣m＝1，
解得m＝；
③
解得m＝﹣1，
④m2﹣m＝0，
解得m＝0或m＝1，
综上所述，当m＝0或m＝1或m＝4或或﹣1时，它是y关于x的二次函数．［经验总结］本题考查了二次函数的定义，一次函数的一次项系数不等于零二次项系数等于零是解题关键，注意二次函数的二次项系数不等于零．
24、已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
［思路分析］根据一次函数和二次函数的定义可以解答．
［答案详解］解：（1）y是x的一次函数，则可以知道，m2﹣m＝0，解之得：m＝1，或m＝0，又因为m≠0，所以，m＝1．
（2）y是x的二次函数，只须m2﹣m≠0，
∴m≠1和m≠0．
［经验总结］本题考查了一次函数与二次函数的定义，熟记概念是解答本题的关键．25、已知函数y＝﹣（m+2）x m2﹣2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
［思路分析］（1）根据形如y＝kx（k≠0，k是常数）是一次函数，可得一次函数；
（2）根据形如y＝ax2（a是常数，且a≠0）是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得符合条件的点．
［答案详解］解：（1）由y＝﹣（m+2）x m2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得
，
解得m＝，
当m＝时，y是x的一次函数；
（2）y＝﹣（m+2）x m2﹣2（m为常数），是二次函数，得
，
解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去），
当m＝2时，y是x的二次函数，
当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2，
解得x＝，
故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，一次函数的定义，注意二次项的系数不能为零．
26、若y＝（a2+a）x是二次函数，求a的值．
［思路分析］根据二次函数的定义列出方程求解则可．
［答案详解］解：根据题意得：a2﹣a＝2且a2+a≠0
解得a＝2．
［经验总结］此题考查的是二次函数的定义，根据题意列出方程和不等式是解决此题关键．
27、若y＝（m﹣1）x+3．
（1）m取什么值时，此函数是二次函数？
（2）m取什么值时，此函数是一次函数？
［思路分析］（1）形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义即可判断；
（2）形如y＝kx+b（k≠0）的函数叫做二次函数，根据一次函数的定义即可判断．［答案详解］解：（1）当y＝（m﹣1）x+3是二次函数时，
有，
解得m＝﹣3，
∴当m＝﹣3时，此函数是二次函数；
（2）当y＝（m﹣1）x+3是一次函数时，
有，
解得m＝﹣1+或m＝﹣1﹣，
∴当m＝﹣1+或m＝﹣1﹣时，此函数是一次函数．
［经验总结］本题主要考查二次函数和一次函数的定义，关键是要牢记二次函数和一次函数的定义．
28、函数是关于x的二次函数，求m的值．
［思路分析］利用二次函数定义进行解答即可．
［答案详解］解：由题意可知
解得：m＝2．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
29、已知函数．
（1）当m为何值时，此函数是正比例函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
［思路分析］（1）利用正比例函数的定义进而得出m的值；
（2）利用二次函数的定义进而得出m的值．
［答案详解］解：（1）因为函数y＝（m+3）是正比例函数，
所以m2﹣7＝1且m+3≠0，
解得：m1＝﹣2（舍去），m2＝2，
所以当m＝2时，此函数是正比例函数；
（2）因为函数y＝（m+3）是二次函数，
所以m2﹣7＝2且m+3≠0，
解得：m＝3，
所以当m＝3时，此函数是二次函数．
［经验总结］此题主要考查了正比例函数和二次函数的定义，正确把握正比例函数和二次函数的定义是解题关键．正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
30、若函数y＝（m+1）是关于x的二次函数，求m的值．
［思路分析］根据二次函数定义可得m2+1＝2且m+1≠0，求解即可．
［答案详解］解：∵函数y＝（m+1）是关于x的二次函数，
∴m2+1＝2，m+1≠0，
解得m＝1，
∴m的值为1．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．。