湖北省黄冈市2017届高三3月份质量数学试题（文）含答案

湖北省黄冈市2017届⾼三3⽉份质量数学试题（⽂）含答案
黄冈市2017年⾼三年级3⽉份质量检测
数学试题（⽂科）
⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.
1.若集合{}02A x x =<<，且A B B = ，则集合B 可能是（）
A.{}0 2，
B.{}0 1，
C.{}0 1 2，，
D.{}1
2.设i 是虚数单位，复数3
21i z i
=-，则复数z 在复平⾯内所对应的点位于（）
A.第⼀象限
B.第⼆象限
C.第三象限
D.第四象限
3.阅读如图所⽰的程序框图，运⾏相应的程序，输出的S 的值等于（）
A.18
B.20
C.21
D.40
4.某⼀简单⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的外接球的表⾯积是（）
A.13π
B.16π
C.25π
D.27π
5.下列四个结论：
①若0x >，则sin x x >恒成⽴；
②命题“若sin 0x x -=，则0x =”的逆否命题为“若0x ≠，则sin 0x x -≠”；③“命题p q ∧为真”是“命题p q ∨为真”的充分不必要条件；
④命题“ ln 0x R x x ?∈->，”的否定是“000 ln 0x x x ?∈-<，”.
其中正确结论的个数是（） A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.在ABC △中，⾓ A B C ，
，的对边分别是 a b c ，，，若 2a A B ==，，则cos B =（）
7.已知数据123 n x x x x ，，，…，是某市()
*3 n n n N ≥∈，个普通职⼯的年收⼊，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，⽅差为z ，如果再加上世界⾸富的年收⼊1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（）
A.年收⼊平均数可能不变，中位数可能不变，⽅差可能不变
B.年收⼊平均数⼤⼤增⼤，中位数可能不变，⽅差变⼤
C.年收⼊平均数⼤⼤增⼤，中位数可能不变，⽅差也不变
D.年收⼊平均数⼤⼤增⼤，中位数⼀定变⼤，⽅差可能不变
8.过双曲线()22
2210 0x y a b a b
-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ）
，交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离⼼率为（）
C.2
9.函数22
ln x x y x
=的图象⼤致是（）
A
B
C
D
10.已知在ABC △中，90ACB ∠=?，3BC =，4AC =，P 是线段AB 上的点，则P 到AC 、BC 的距离的乘积的最⼤值为（）
A.3
B.2
C. D.9
11.已知数列{}n x 满⾜()
*21n n n x x x n N ++=-∈，若11x =，()2 1 0x a a a =≤≠，，且3n n x x +=对于任意正整数n 均成⽴，则数列{}n x 的前2017项和2017S 的值为（） A.672
B.673
C.1344
D.1345
12.若函数()()
()()()3312 112113 114
x x x f x x x x x ?-?-≤≤?+=??-+<->??，
，
或对任意的[]3 2m ∈-，
，总有()10f mx fx -+>恒成⽴，则x 的取值范围是（）
A.1
1 2
3??- ，
B.()1 2-，
C.4
1 3
2??-- ，
D.()2 3-，
第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）
⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知两个平⾯向量 a b ，满⾜1a =
，2a b -= a 与b
的夹⾓为120?，则b =
．
14.我国古代数学名著《张邱健算经》有“分钱问题”如下：“今有与⼈钱，初⼀⼈与三钱，次⼀⼈与四钱，次⼀⼈与五钱，以次与之，转多⼀钱。

与讫，还敛聚与均分之，⼈得⼀百钱，问⼈⼏何？”意思是：“将钱分给若⼲⼈，第⼀⼈给3钱，第⼆⼈给4钱，第三⼈给5钱，以此类推，每⼈⽐前⼀⼈多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各⼈，结果每⼈分得100钱，问有多少⼈？”则分钱问题中的⼈数为．
15.已知 x y ，满⾜300
30x y x x y -≥??
-≤??+-≥?
，则⽬标函数2z x y =-+的最⼤值为． 16.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下⾯的实验来估计π的值：先请200名同学，每⼈随
机写下⼀个都⼩于1的正实数对() x y ，
，再统计两数能与1构成钝⾓三⾓形三边的数对() x y ，
的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值，假如统计结果是56m =，那么可以估计π≈．（⽤分数表⽰）
三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）
17.函数()f x a b =?
在R 上的最⼤值为2. （1）求实数a 的值；
（2）把函数()y f x =的图象向右平移
6π
ω
个单位，可得函数()y g x =的图象，若()y g x =在0 4π
，上为增函数，求ω的最⼤值. 18.已知某中学⾼三⽂科班学⽣的数学与地理的⽔平测试成绩抽样统计如下表：
若抽取学⽣n ⼈，成绩分为A （优秀），B （良好），C （及格）三个等次，设 x y ，分别表⽰数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A 等级的共有14401064++=（⼈），数学成绩为B 等级且地理成绩为C 等级的共有8⼈.已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07.
（1）设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求 a b ，
的值；（2）已知7a ≥，6b ≥，求数学成绩为A 等级的⼈数⽐C 等级的⼈数多的概率.
19.以BD 为直径的圆O 经过A 、C 两点，延长DA 、CB 交于P 点，将PAB △沿线段AB 折起，使P 点在底⾯ABCD 的射影恰好为AD 的中点Q .若1AB BC ==，2BD =，线段PB 、
PC 的中点分别为 E F ，.
（1）判断四点 A D E F ，
，，是否共⾯，并说明理由；（2）求四棱锥E ABCQ -的体积.
20.如图，圆C 与x 轴相切于点()2 0T ，，与y 轴正半轴相交于两点 M N ，
（点M 在点N 的下⽅），且3MN =.
（1）求圆C 的⽅程；
（2）过点M 任作⼀条直线与椭圆22
184
x y +=相交于两点 A B ，
，连接AN 、BN ，求证：ANM BNM ∠=∠.
21.已知函数()()2ln 23f x x x x =-+-，1x ≥. （1）试判断函数()f x 的零点个数；（2）若函数()()()1ln a x g x x a x x -=-+
在[)1 +∞，
上为增函数，求整数a 的最⼤值. （可能要⽤的数据：ln1.590.46≈，ln1.600.47≈；
400
9.7641
≈）请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分.
22.在直⾓坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系.若曲线C 的
极坐标⽅程为2cos 4sin 0ρθθ-=，P 点的极坐标为 3 2π?
，，在平⾯直⾓坐标系中，直线l
经过点P （1）写出曲线C 的直⾓坐标⽅程和直线l 的参数⽅程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于 A B ，
两点，求11PA PB
+的值. 23.已知函数()()221f x x a x a R =-+-∈. （1）当1a =-时，求()2f x ≤的解集；
（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1 12??
，，求实数a 的取值范围.
黄冈市2017年⾼三三⽉调考数学试题答案（⽂科）
⼀、DDBCC BBADA DA ⼆、13.2 14.195 15.-3 16.
78
25
（或3.12）
17.（1）()1cos 2sin()16
f x x a x x a π
ωωω=++=+
++，
因为函数()f x 在R 上的最⼤值为2，所以32a +=，故1a =-．（2）由（1）知()2sin()6
f x x π
ω=+，
把函数()2s i n (
)6
f x x π
ω=
+的图
象向右平移6π
ω
个单位，可得函数()2sin y g x x ω==，
⼜()y g x =在[0,
]4
π
上为增函数，所以()g x 的周期为2T π
πω
=
≥，即2ω≤，
所以ω的最⼤值为2． 18. （1）
140.07n =，200n =∴14280.3200
a ++=，故18a = ⽽30a
b += 所以12b =
（2）30a b +=且7,6a b ≥≥由14281034a b ++>++得2a b >+
则(,)a b 的所有可能结果为(7,23)，(8,22)，(9,21)...(24,6)共有18种，2a b >+可能结果为(17,13)，(18,12)...(24,6)共有8种，则所求84
189
P =
=. 19. （1）假设四点,,,A D E F 共⾯，因为//EF BC ，BC ?平⾯AEFD ，所以//BC 平⾯AEFD ，
⼜因为平⾯AEFD 平⾯ABCD AD =，BC ?平⾯ABCD ，所以//BC AD ，与已知
BC AD P = ⽭盾，所以四点,,,A D E F 不共⾯.
（2）由题意2
BAD BCD π
∠=∠=，⼜AB AD ⊥，AB AP ⊥于A ，
所以AB ⊥平⾯PAD
所以平⾯ABCD ⊥平⾯PAD ，P 点在底⾯ABCD 的射影恰为AD 的中点Q ，所以
PQ AD ⊥，所以PQ 为四棱锥P ABCQ -的⾼，1AB BC ==，2BD =∴AD CD ==3
ADC π
∠=
，∴6
APB π
∠=
∴PD PA ==，AQ QD ==32PQ =，线段PB 的中点为E ，
所以E 点到平⾯ABCQ 的⾼为
3
4
连接CQ ，所以CQ AD ⊥，32CQ =
，1334E ABCQ V -==
20. （Ⅰ）设圆C 的半径为(0)r r >，依题意，圆⼼坐标为(2,)r ．
∵||3MN =，∴2223()22r =+，解得2
254
r =
．圆C 的⽅程为22
525(2)()2
4
x y -+-=
．（Ⅱ）把0x =代⼊⽅程2
2525(2)()24
x y -+-=，解得1y =或4y =，
即点(0,1)M ，(0,4)N ．
（1）当AB x ⊥轴时，可知0ANM BNM ∠=∠=．
（2）当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的⽅程为1y kx =+．
联⽴⽅程22
128
y kx x y =+??+=?，消去y 得，22
(12)460k x kx ++-=．设直线AB 交椭圆Γ于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则122
412k
x x k
-+=
+，122
6
12x x k
-=
+．
∴12121212121212
443323()
AN BN y y kx kx kx x x x k k x x x x x x -----++=
+=+=
若0AN BN k k +=，即ANM BNM ∠=∠
∵121222
121223()01212k k
kx x x x k k ---+=
-=++，∴ANM BNM ∠=∠．
21.（Ⅰ）'''
2()(2)ln (2)(ln )2ln 3f x x x x x x x
-=-+-+=++在[1,)+∞上为增函数，且''()(1)1f x f ≥=，故()(2)ln 23f x x x x =-+-在[1,)+∞上为增函数，⼜(1)02310f =+-=-<，(2)04310f =+-=>，则函数()f x 在[1,)+∞上有唯⼀零点；
（Ⅱ）'
2()ln 10a a
g x x x x
=+-
+≥在[1,)+∞上恒成⽴，因1x =显然成⽴2(ln 1)
1x x a x +?≤-在[1,)+∞上恒成⽴，
2(ln 1)
()1
x x a h x x +?≤=-，(1,)x ∈+∞的最⼩值，
2'
22
(2ln 3)(1)(ln 1)[(2)ln 23]
()(1)(1)
x x x x x x x x x h x x x +--+-+-==-- 由（Ⅰ）可知：()(2)ln 23f x x x x =-+-在[1,)+∞上为增函数，故()f x 在[1,)+∞上有唯⼀零点m ，(1.60)0.40ln1.600.200.0120f =-?+=>，
(1.59)0.41ln1.590,180.00860f =-?+=-<，
则(1.59,1.60)m ∈，23
()(2)ln 230ln 2m f m m m m m m
-=-+-=?=-，则'(1,)()0()x m h x h x ∈?
'(,)()0()x m h x h x ∈+∞?>?在[,)m +∞为增函数，
故x m =时，()h x 有最⼩值22
(ln 1)()12m m m h m m m
+==--.
令2(0.4,0.41)m t -=∈，则()h x 最⼩值有。