上海奉贤区教师进修学院附属实验中学初一数学上册期末压轴题汇编

上海奉贤区教师进修学院附属实验中学初一数学上册期末压轴题汇编
一、七年级上册数学压轴题
1．已知，O 为直线AB 上一点，射线OC 将AOB ∠分成两部分，若60BOE ∠=︒时，
（1）如图1，若OD 平分AOC ∠，OE 平分COB ∠，求DOE ∠的度数；
（2）如图2，在（1）的基础上，将DOE ∠以每秒3︒的速度绕点O 顺时针旋转，同时射线OC 以每秒9︒的速度绕点O 顺时针旋转，设运动时间为()020t t ≤≤．
①t 为何值时，射线OC 平分DOE ∠？
②t 为何值时，射线OC 平分∠BOE ？
答案：（1）90°；（2）①s ；②12s
【分析】
（1）由角平分线的定义结合平角的定义可直接求解；
（2）①结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解； ②结合角平分线的定义，平角的定义列方程
解析：（1）90°；（2）①52
s ；②12s 【分析】
（1）由角平分线的定义结合平角的定义可直接求解；
（2）①结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解；
②结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解．
【详解】
解：（1）∵OD 平分∠AOC ，OE 平分∠COB ，
∴∠COD=12∠AOC ，∠COE=1
2∠BOC ，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°；
（2）①由题意得：∵∠DOE=90°，
∴当OC 平分∠DOE 时，∠C′OD′=∠C′OE′=45°，
45°+60°-3t+9t+60°=180°，
解得t=52
， 故t 为52s 时，射线OC 平分∠DOE ；
②由题意得：∵∠BOE=60°，
∴当OC平分∠BOE时，∠C′OE=∠C′OB=30°，
30+3t+90°+2（120-9t）=180°，
解得t=12，
故t为12s时，射线OC平分∠BOE．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，角的计算等知识的综合运用，列方程求解角的度数是解题的关键．
2．已知：b是立方根等于本身的负整数，且a、b满足(a+2b)2+|c+1
2
|=0，请回答下列问
题：
（1）请直接写出a、b、c的值：a=_______，b=_______，c=_______．
（2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点D是B、C之间的一个动点(不包括
B、C两点)，其对应的数为m，则化简|m+1
2
|=________．
（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B、点C都以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点C之间的距离表示为AC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：
AB−AC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB−AC 的值．
答案：（1）2；-1；；（2）-m-；（3）AB−AC的值不会随着时间t的变化而改变，AB－AC=
【分析】
（1）根据立方根的性质即可求出b的值，然后根据平方和绝对值的非负性即可求出a和c的值；
（2
解析：（1）2；-1；
1
2
-；（2）-m-
1
2
；（3）AB−AC的值不会随着时间t的变化而改变，
AB－AC=1 2
【分析】
（1）根据立方根的性质即可求出b的值，然后根据平方和绝对值的非负性即可求出a和c 的值；
（2）根据题意，先求出m的取值范围，即可求出m+1
2
＜0，然后根据绝对值的性质去绝
对值即可；
（3）先分别求出运动前AB和AC，然后结合题意即可求出运动后AB和AC的长，求出AB−AC即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵b是立方根等于本身的负整数，
∴b=-1
∵(a+2b)2+|c+1
2|=0，(a+2b)2≥0，|c+
1
2
|≥0
∴a+2b=0，c+1
2
=0
解得：a=2，c=
1 2 -
故答案为：2；-1；
1
2 -；
（2）∵b=-1，c=
1
2
-，b、c在数轴上所对应的点分别为B、C，点D是B、C之间的一个动
点(不包括B、C两点)，其对应的数为m，∴-1＜m＜1
2
-
∴m+1
2
＜0
∴|m+1
2|= -m-
1
2
故答案为：-m-1
2
；
（3）运动前AB=2－（-1）=3，AC=2－（
1
2
-）=
5
2
由题意可知：运动后AB=3＋2t＋t=3＋3t，AC=5
2
＋2t＋t=
5
2
＋3t
∴AB－AC=（3＋3t）－（5
2＋3t）=
1
2
∴AB−AC的值不会随着时间t的变化而改变，AB－AC=1
2
．【点睛】
此题考查的是立方根的性质、非负性的应用、利用数轴比较大小和数轴上的动点问题，掌握立方根的性质、平方、绝对值的非负性、利用数轴比较大小和行程问题公式是解决此题的关键．
3．已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足()250
-++=，请回答问题．
c a b
(1)请直接写出a、b、c的值．
a=b=c=
(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2
x x x (请写出化简过程)．
之间运动时(即0≤x≤2时)，请化简式子：1125
(3)在(1)(2)的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
答案：（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b
解析：（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；
（2）根据x的范围，确定x+1，x-3，5-x的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2．
【详解】
解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．
根据题意得：c-5=0且a+b=0，
∴a=-1，b=1，c=5．
故答案是：-1；1；5；
（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x-1≤0，x+5＞0，
则：|x+1|-|x-1|+2|x+5|
=x+1-（1-x）+2（x+5）
=x+1-1+x+2x+10
=4x+10；
当1＜x≤2时，x+1＞0，x-1＞0，x+5＞0．
∴|x+1|-|x-1|+2|x+5|=x+1-（x-1）+2（x+5）
=x+1-x+1+2x+10
=2x+12；
（3）不变．理由如下：
t 秒时，点A 对应的数为-1-t ，点B 对应的数为2t+1，点C 对应的数为5t+5．
∴BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）-（-1-t ）=3t+2，
∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2，
即BC-AB 值的不随着时间t 的变化而改变．
【点睛】
本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
4．已知实数a ，b ，c 在数轴上所对应的点分别为A ，B ，C ，其中b 是最小的正整数，且a ，b ，c 满足()2520c a b -++=．两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A 与点B 之间的距离可表示为AB ．
（1）a = ，b = ，c = ；
（2）点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C 以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t 秒，则AB = ，BC = ；（结果用含t 的代数式表示）这种情况下，BC AB -的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
（3）若A ，C 两点的运动和（2）中保持不变，点B 变为以每秒n （0n >）个单位长度的速度向右运动，当3t =时，2AC BC =，求n 的值．
答案：（1）-2，1，5；（2）不变，值为1；（3）或
【分析】
（1）根据b 是最小的正整数，即可确定b 的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a ，b ，c 的值；
（2）用关于
解析：（1）-2，1，5；（2）不变，值为1；（3）
136
或212 【分析】
（1）根据b 是最小的正整数，即可确定b 的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a ，b ，c 的值；
（2）用关于t 的式子表示BC 和AB 即可求解；
（3）分别求出当t=3时，A 、B 、C 表示的数，得到AC 和BC ，根据AC=2BC 列出方长，解之即可．
【详解】
解：（1）∵()2520c a b -++=，b 是最小的正整数，
∴c-5=0，a+2b=0，b=1，
∴a=-2，b=1，c=5，
故答案为：-2，1，5；
（2）∵点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，
∴t 秒后，A 表示的数为-t-2，B 表示的数为2t+1，C 表示的数为5t+5，
∴BC=5t+5-（2t+1）=3t+4，AB=2t+1-（-t-2）=3t+3，
∴BC-AB=3t+4-（3t+3）=1，
∴BC-AB 的值不会随着时间t 的变化而改变，BC-AB=1；
（3）当t=3时，
点A 表示-2-3=-5，点B 表示1+3n ，点C 表示5+5×3=20，
∴AC=20-（-5）=25，BC=2013n --=193n -，
∵AC=2BC ，
则25=2193n -，
则25=2（19-3n ），或25=2（3n-19），
解得：n=136
或212． 【点睛】
此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解AB ，BC 的变化情况是关键．
5．数轴上点A 对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且多项式261224x y xy -+的二次项系数为a ，常数项为b ．
（1）线段AB 的长= ；
（2）如图，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发沿数轴向右运动，点P 的速度是每秒2个单位长度，点Q 的速度是每秒4个单位长度，当BQ ＝2BP 时，点P 对应的数是多少？ （3）在（2）的条件下，点M 从原点与点P ，Q 同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x 个单位长度（24x <<），若在运动过程中，2MP －MQ 的值与运动的时间t 无关，求x 的值．
答案：（1）36；（2）6；（3）
【分析】
（1）根据多项式求出a ，b 的值，然后计算即可；
（2）设运动时间为ts ，根据题意列出方程，解方程即可，然后即可求出点P 所对应的数；
（3）首先根据题意得出2M
解析：（1）36；（2）6；（3）83
【分析】
（1）根据多项式求出a ，b 的值，然后计算即可；
（2）设运动时间为ts ，根据题意列出方程，解方程即可，然后即可求出点P 所对应的数； （3）首先根据题意得出2MP−MQ ，然后根据2MP －MQ 的值与运动的时间t 无关求解即可．
【详解】
（1）∵多项式261224x y xy -+的二次项系数为a ，常数项为b ，
12,24a b ∴=-=，
()2412241236AB ∴=--=+=；
（2）设运动的时间为ts ，由BQ=2BP 得：
4t=2(36−2t)，
解得：t=9，
因此，点P 所表示的数为：2×9−12=6，
答：点P 所对应的数是6．
（3）由题意得：点P 所表示的数为(−12+2t)，点M 所表示的数为xt ，点Q 所表示的数为(24+4t)，
∴2MP−MQ=2[xt−(−12+2t)]−(24+4t−xt)=3xt−8t=(3x−8)t ，
∵结果与t 无关，
∴3x−8=0，
解得：x=83
． 【点睛】
本题主要考查数轴与一元一次方程的结合，数形结合是解题的关键．
6．在数轴上，点A 向右移动1个单位得到点B ，点B 向右移动()1n +（n 为正整数）个单位得到点C ，点A ，B ，C 分别表示有理数a ，b ，c ；
（1）当1n =时，
①点A ，B ，C 三点在数轴上的位置如图所示，a ，b ，c 三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能（ ）
A ．在点A 左侧或在A ，
B 两点之间 B ．在点
C 右侧或在A ，B 两点之间
C ．在点A 左侧或在B ，C 两点之间
D ．在点C 右侧或在B ，C 两点之间
②若这三个数的和与其中的一个数相等，求a 的值；
（2）将点C 向右移动()2+n 个单位得到点D ，点D 表示有理数d ，若a 、b 、c 、d 四个数的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且a 为整数，请写出n 与a 的关系式．
答案：（1）①C ；②-2或或；（2）当为奇数时，，当为偶数时，
【分析】
（1）把代入即可得出，，再根据、、三个数的乘积为正数即可选择出答案； （2）分两种情况讨论：当为奇数时；当为偶数时；用含的代数式表
解析：（1）①C ；②-2或32-或12-；（2）当n 为奇数时，32
n a +=-，当n 为偶数时，22
n a +=- 【分析】
（1）把1n =代入即可得出1AB =，2BC =，再根据a 、b 、c 三个数的乘积为正数即可选择出答案；
（2）分两种情况讨论：当n 为奇数时；当n 为偶数时；用含n 的代数式表示a 即可．
【详解】
解：（1）①把1n =代入即可得出1AB =，2BC =， a 、b 、c 三个数的乘积为正数，
∴从而可得出在点A 左侧或在B 、C 两点之间．
故选C ；
②1b a =+，3c a =+，
当13a a a a ++++=时，2a =-，
当131a a a a ++++=+时，32
a =-， 当133a a a a ++++=+时，12
a =-； （2）依据题意得，1
b a =+，12
c b n a n =++=++，224
d c n a n =++=++． a 、b 、c 、d 四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等， 0a c ∴+=或0b c +=．
22n a +∴=-或32
n a +=-； a 为整数， ∴当n 为奇数时，32n a +=-
，当n 为偶数时，22n a +=-． 【点睛】
本题考查了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
7．数轴上有,,A B C 三点，给出如下定义；若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的：“关联点”
（1）例图，数轴上点,,A B C 三点所表示的数分别为1,3,4，点B 到点A 的距离
AB = ，点B 到点C 的距离是 ，因为AB 是BC 的两倍，所以称点B 是点,A C 的“关联点”．
（2）若点A 表示数2,-点B 表示数1，下列各数1,2,4,6-所对应的点分别是1234,,,C C C C ，其中是点,A B 的“关联点”的是 ；
（3）点A 表示数10-，点B 表示数为15,P 数轴上一个动点；若点P 在点B 的左侧，且点P
是点A
B 、的“关联点”，求此时点Р表示的数；若点P 在点B 的右侧，点P A B 、、中，有一个
点恰好是其它两个点的“关联点”．请直接写出此时点Р表示的数
答案：（1）2，1；（2）；；（3）当P 在点B 的左侧时，P 表示的数为-35或或；若点P 在点B 的右侧，P 表示的数为40或或．
【分析】
（1）利用数轴上两点之间的距离公式直接可求得；
（2）根据题意求得CA
解析：（1）2，1；（2）13,C C ；；（3）当P 在点B 的左侧时，P 表示的数为-35或5-3或203；若点P 在点B 的右侧，P 表示的数为40或65或552
． 【分析】
（1）利用数轴上两点之间的距离公式直接可求得；
（2）根据题意求得CA 与BC 的关系，得到答案；
（3）根据PA=2PB 或PB=2PA 列方程求解；分当P 为A 、B 关联点、A 为P 、B 关联点、B 为A 、P 关联点三种情况列方程解答．
【详解】
解：（1）,,A B C 三点所表示的数分别为1,3,4，
∴AB=3-1=2；BC=4-3=1，
故答案是：2，1；
（2）点A 表示的数为-2，点B 表示的数为1，1C 表示的数为-1
∴1AC =1 ,1BC =2
∴1C 是点A,B 的“关联点”
点A 表示的数为-2，点B 表示的数为1，2C 表示的数为2
∴2AC =4 ,2BC =1
∴2C 不是点A,B 的“关联点”
点A 表示的数为-2，点B 表示的数为1，3C 表示的数为4
∴3AC =6 ,3BC =3
∴3C 是点A,B 的“关联点”
点A 表示的数为-2，点B 表示的数为1，4C 表示的数为6
∴4AC =8 ,4BC =5
∴4C 不是点A,B 的“关联点”
故答案为：13,C C
（3）①若点P 在点B 的左侧，且点P 是点A,B 的“关联点”，设点P 表示的数为x （I ） 当P 在点A 的左侧时，则有：2PA=PB ，即2（-10-x ）=15-x
解得 x =-35
（II）当点P在A,B之间时，有2PA=PB或PA=2PB 既有2（x+10）=15-x或x+10=2（15-x）
解得x=
5
-
3
或
20
3
x=
因此点P表示的数为-35或
5
-
3
或
20
3
②若点P在点B的右侧
（I）若点P是A,B的“关联点”则有2PB=PA
即2（x-15）=x+10
解得x=40
（II）若点B是A,P的“关联点”则有2AB=PB或AB=2PB 即2（15+10）=x-15或15+10=2（x-15）
解得x=65或
55
2 x=
（III）若点A是B,P的“关联点”则有2AB=AP 即2（15+10）=x+10
解得x=40
因此点P表示的数为40或65或55 2
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解关联点的概念，分情况讨论列式是解题关键．
8．如图，一个电子跳蚤从数轴上的表示数a的点出发，我们把“向右运动两个单位或向左运动一个单位”作为一次操作，如：当3
a=时，则一次操作后跳蚤可能的位置有两个，所表示的数分别是2和5．
（1）若0
a=，则两次操作后跳蚤所在的位置表示的数可能是多少？
（2）若3
a=，且跳蚤向右运动了20次，向左运动了n次．
①它最后的位置所表示的数是多少？（用含n的代数式表示）
②若它最后的位置所表示的数为10，求n的值．
（3）若10
a=-，跳蚤共进行了若干次操作，其中有50次是向左运动，且最后的位置所表示的数为260，求操作的次数．
答案：（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次
【分析】
（1）先得出一次操作后所可能表示的数，再得出第二次操作后的数；
（2）①根据题意列出代数式即可；
②令①中代数式的值为10，求
解析：（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次
【分析】
（1）先得出一次操作后所可能表示的数，再得出第二次操作后的数；
（2）①根据题意列出代数式即可；
②令①中代数式的值为10，求出n值即可；
（3）设跳蚤向右运动了m次，根据题意列出方程，解出m值，再加上50即可．
【详解】
解：（1）∵a=0，
则一次操作后表示的数为-1或2，
则两次操作后表示的数为-2或1或4；
（2）①由题意可得：
a=3时，向右运动了20次，向左运动了n次，
∴最后表示的数为：3+20×2-n=43-n；
②令43-n=10，
则n=33；
（3）设跳蚤向右运动了m次，
根据题意可得：
-10-50+2m=260，
则m=160，
∴操作次数为50+160=210．
【点睛】
本题考查了数轴，一元一次方程，解题的关键是要理解“一次操作”的意义．
9．已知，一个点从数轴上的原点开始．先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，点C是线段AB的中点．
（1）点C表示的数是；
（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B两点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，
①运动t秒时，点C表示的数是（用含有t的代数式表示）；
②当t＝2秒时，CB•AC的值为．
③试探索：点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC总有怎样的数量关系？并说明理由．
答案：（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③线段CB与AC相等，理由详见解析．
【分析】
（1）依据条件即可得到点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，再根据点C是线段AB的中点，即可得出点C表示的数；
解析：（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③线段CB与AC相等，理由详见解析．
【分析】
（1）依据条件即可得到点A 表示﹣6，点B 表示﹣6+10＝4，再根据点C 是线段AB 的中点，即可得出点C 表示的数；
（2）依据点C 表示的数为﹣1，点以每秒1cm 的速度向右移动，即可得到运动t 秒时，点C 表示的数是﹣1+t ；
②依据点A 表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B 表示的数为4+4×2＝12，点C 表示的数是﹣1+2＝1，即可得到CB •AC 的值；
③依据点A 表示的数为﹣6﹣2t ，点B 表示的数为4+4t ，点C 表示的数是﹣1+t ，即可得到点A 、B 、C 在运动的过程中，线段CB 与AC 相等．
【详解】
解：（1）∵一个点从数轴上的原点开始，先向左移动6cm 到达A 点，再从A 点向右移动10cm 到达B 点，
∴点A 表示﹣6，点B 表示﹣6+10＝4，
又∵点C 是线段AB 的中点，
∴点C 表示的数为
642
-+＝﹣1， 故答案为：﹣1．
（2）①∵点C 表示的数为﹣1，点以每秒1cm 的速度向右移动，
∴运动t 秒时，点C 表示的数是﹣1+t ，
故答案为：﹣1+t ；
②由题可得，当t ＝2秒时，点A 表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B 表示的数为4+4×2＝12，点C 表示的数是﹣1+2＝1，
∴当t ＝2秒时，AC ＝11，BC ＝11，
∴CB •AC ＝121，
故答案为：121；
③点A 、B 、C 在运动的过程中，线段CB 与AC 相等．理由：
由题可得，点A 表示的数为﹣6﹣2t ，点B 表示的数为4+4t ，点C 表示的数是﹣1+t ， ∴BC ＝（4+4t ）﹣（﹣1+t ）＝5+3t ，AC ＝（﹣1+t ）﹣（﹣6﹣2t ）＝5+3t ，
∴点A 、B 、C 在运动的过程中，线段CB 与AC 相等．
【点睛】
本题考查数轴上动点问题，整式的加减,与线段有关的动点问题．（1）理解数轴上线段的中点表示的数是两个端点所表示的数的和除以2；（2）掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键，数轴上两点之间对应的距离等于它们所表示的数差的绝对值． 10．定义：若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离2倍，我们就称点C 是[],A B 的美好点．
例如；如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是[,]A B 的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距高是2，那么点D 就不是[,]A B 的美好点，但点D 是[,]B A 的美好点．
如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为7-，点N 所表示的数为2．
（1）点E ，F ，G 表示的数分别是3-，6.5，11，其中是[,]M N 美好点的是________；写出
[,]N M 美好点H 所表示的数是___________．
（2）现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，点P 恰好为M 和N 的美好点？
答案：（1）G ，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】
（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E ，F ，G 到点M ，N 的距离，只有点G 符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离
解析：（1）G ，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】
（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E ，F ，G 到点M ，N 的距离，只有点G 符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离是到点M 的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P 点的位置，进而可确定t 的值．
【详解】
解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E ，F ，G 到点M ，N 的距离，只有点G 符合条件，
故答案是：G ．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离是到点M 的距离2倍的点，点N 的右侧不存在满足条件的点，点M 和N 之间靠近点M 一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M 的左侧距离点M 的距离等于点M 和点N 的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．
故答案是：-4或-16．
（2）根据美好点的定义，P ，M 和N 中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P 为【M ，N 】的美好点，点P 在M ，N 之间，如图1，
当MP =2PN 时，PN =3，点P 对应的数为2-3=-1，因此t =1.5秒；
第二种情况，当P 为【N ，M 】的美好点，点P 在M ，N 之间，如图2，
当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；
综上所述，t的值为：1.5或3或9．
【点睛】
本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
11．已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝1
2
∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
答案：（1）∠AOB =90°或30°；（2）证明见解析；（3）运动时间为5秒或秒. 【分析】
（1）根据好线的定义，可得∠AOP=60°，再分OP在∠AOB内部时，在∠AOB 外部时，两种情况分别求值即可
解析：（1）∠AOB =90°或30°；（2）证明见解析；（3）运动时间为5秒或15
2
秒.
【分析】
（1）根据好线的定义，可得∠AOP=60°，再分OP在∠AOB内部时，在∠AOB外部时，两种情况分别求值即可；
（2）根据OB，OA别是∠MOP和∠PON的平分线，可得∠AOB=90°，∠BOP=30°，进而即可得到结论；
（3）设运动时间为t ，则∠MOP =12t ，∠BOA =4t ，分两种情况：当OP 在OB 上方时，当OP 在OB 下方时，分别列出方程即可求解.
【详解】
解：（1）∵射线OP 是∠AOB 的好线，且∠BOP =30°
∴∠AOP =2∠BOP =60°
∴当OP 在∠AOB 内部时， ∠AOB =∠BOP +∠AOP =90° ,
当OP 在∠AOB 外部时，∠AOB = ∠AOP -∠BOP =30°
∴∠AOB =90°或30°；
(2) ∵OB ，OA 别是∠MOP 和∠PON 的平分线
∴∠AOB =∠BOP +∠AOP =12 (∠MOP +∠NOP )=90︒，∠BOP =∠BOM =30°， ∴∠AOP =90°-30°=60°
∴∠BOP =12∠AOP
∴OP 是∠AOB 的一条“好线” ；
(3) 设运动时间为t ，则∠MOP =12t ，∠BOA =4t ，
当OP 在OB 上方时，∠BOP =80°-12t ，∠AOP =80°+4t -12t =80°-8t ，
∴()80828012t t -=-
解得：t =5；
当OP 在OB 下方时，∠BOP = 12t -80°， ∠AOP =80°+4t -12t =80°-8t ，
∴()80821280t t -=-，
解得：t =152
综上所述：运动时间为5秒或
152秒. 【点睛】
本题主要考查了角的和差倍分运算以及一元一次方程的应用，根据题意，分类讨论是解题的关键.
12．已知150AOB ∠=︒，OC 为AOB ∠内部的一条射线，60BOC ∠=︒．
（1）如图1，若OE 平分AOB ∠，OD 为BOC ∠内部的一条射线，12
COD BOD ∠=∠，求DOE ∠的度数；
（2）如图2，若射线OE 绕着O 点从OA 开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB 结束、OF 绕着O 点从OB 开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OA 结束，运动时间t 秒，当EOC FOC ∠=∠时，求t 的值．
答案：（1）35°；（2）3s 或7.5s 或24s
【分析】
（1）根据∠EOD=∠EOB-∠DOB ，只要求出∠EOB ，∠DOB 即可；
（2）分三种情形列出方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵∠AOB
解析：（1）35°；（2）3s 或7.5s 或24s
【分析】
（1）根据∠EOD =∠EOB -∠DOB ，只要求出∠EOB ，∠DOB 即可；
（2）分三种情形列出方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵∠AOB =150°，OE 平分∠AOB ，
∴∠EOB =1
2∠AOB =75°，
∵∠BOC =60°，∠COD =12∠BOD ，
∴∠BOD =40°，∠COD =20°，
∴∠EOD =∠EOB -∠DOB =75°-40°=35°．
（2）当OE 在∠AOC 内部时，∵∠EOC =∠FOC ，
∴90-15t =60-5t ，
解得：t =3．
当OE 与OF 重合时，15t +5t =150，
解得：t =7.5．
当OE 与OB 重合时，OF 仍在运动，此时∠EOC =60°，
此时OF 在∠AOC 内部，且∠FOC =60°，
∴t =1205=24， 综上所述，当∠EOC =∠FOC 时，t =3s 或7.5s 或24s ．
【点睛】
本题考查角的计算、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 13．如图1，在平面内，已知点O 在直线AB 上，射线OC 、OE 均在直线AB 的上方，AOC α∠=（030α︒<<︒），2COE α∠=，OD 平分COE ∠，DOF ∠与AOC ∠互余． （1）若:1:5AOE BOE ∠∠=，则α=________°；
（2）当OF 在BOC ∠内部时
①若20α=︒，请在图2中补全图形，求EOF ∠的度数；
②判断射线OF 是否平分BOD ∠，并说明理由；
（3）若4EOF AOC ∠=∠，请直接写出α的值．
答案：（1）；（2）①补全图形见解析；；②OF 平分 ，理由见解析；（3）或 ．
【分析】
（1）根据∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE ：∠BOE=1：5，再根据
∠AOE=∠AOC+∠COE 即可求解；
解析：（1）10︒；（2）①补全图形见解析；50EOF ∠=︒；②OF 平分 BOD ∠，理由见解析；（3）15α=︒或 22.5︒．
【分析】
（1）根据∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE ：∠BOE=1：5，再根据∠AOE=∠AOC+∠COE 即可求解；
（2）①根据题意即可补全图形；根据∠DOF 与∠AOC 互余，可求出∠DOF ，又因为OD 平分∠COE ，可求得∠DOE ，根据∠EOF=∠DOF-∠DOE 即可求解；②根据∠DOF=90︒-∠AOC ，∠BOF=180-AOC COD DOF ︒∠-∠-∠，即可求证；
（3）分两种情况进行计算：①OF 在∠BOC 内部，根据∠EOF=4∠AOC=4α，OD 平分∠COE ，∠COE=2α，可得∠DOE=∠COD=α，继而可得
∠DOF=∠DOE+∠EOF=α+4α=5α=∠BOF ，根据∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°即可求出α的值；②OF 在∠BOC 外部，根据∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF ，可得到∠AOF=α，又因为∠DOF 与∠AOC 互余，可得到∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，继而可求出α的值．
【详解】
解：（1）∵AB 为直线，
∴∠AOE+∠BOE=180°，
又∵∠AOE ：∠BOE=1：5，
∴∠AOE=1180=306
︒⨯︒， ∵∠AOC=α，∠COE=2α，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=α+2α=3α=30°，
解得：=10α︒；
（2）①补全的图形见下图：
∵∠DOF 与∠AOC 互余，
∴∠DOF=90︒-∠AOC=70°，
∵OD 平分∠COE ，∠COE=2α，
∴∠DOE=α=20°，
∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=70-20=50︒︒︒；
②OF 平分∠BOD ，理由如下：
由题意得：∠DOF=90︒-∠AOC=90︒-α，
∠BOF=180AOC COD DOF ︒-∠-∠-∠
=()18090ααα︒---︒-
=90α︒-，
∴∠DOF=∠BOF ，
∴OF 平分∠BOD ；
（3）分两种情况：
①当OF 在∠BOC 内部时，如下图所示：
∵∠EOF=4∠AOC=4α，OD 平分∠COE ，∠COE=2α，
∴∠DOE=∠COD=α，
∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=α+4α=5α=∠BOF ，
∴∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°，
即++5+5=180αααα︒，
解得：=15α︒；
②当OF 在∠BOC 外部时，如下图所示：
∵OD 平分∠COE ，∠COE=2α，
∴∠DOE=∠COD=α，
∵∠EOF=4∠AOC=4α，
∴∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF=2α+α+∠AOF=4α，
∴∠AOF=α，
∵∠DOF 与∠AOC 互余，
∴∠DOF+∠AOC=90°，即∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，
∴α+α+α+α=90°，
解得：=22.5α︒
综上所述，α的值为15︒或22.5︒．
【点睛】
本题考查角平分线、余角补角、尺规作图等知识，综合运用相关知识点是解题的关键． 14．如图，点O 在直线AB 上，90COD ∠=︒．
（1）如图①，当COD ∠的一边射线OC 在直线AB 上（即OC 与OA 重合），另一边射线OD 在直线AB 上方时，OF 是BOD ∠的平分线，则COF ∠的度数为_______． （2）在图①的基础上，将COD ∠绕着点O 顺时针方向旋转（旋转角度小于360︒），OE 是AOC ∠的平分线，OF 是BOD ∠的平分线，试探究EOF ∠的大小．
①如图②，当COD ∠的两边射线OC 、OD 都在直线AB 的上方时，求EOF ∠的度数． 小红、小英对该问题进行了讨论：
小红：先求出AOC ∠与BOD ∠的和，从而求出EOC ∠与FOD ∠的和，就能求出EOF ∠的度数．
小英：可设AOC ∠为x 度，用含x 的代数式表示EOC ∠、FOD ∠的度数，也能求出EOF ∠的度数．请你根据她们的讨论内容，求出EOF ∠的度数．
②如图③，当COD ∠的一边射线OC 在直线AB 的上方，另一边射线OD 在直线AB 的下方时，小红和小英认为也能求出EOF ∠的度数．你同意她们的看法吗?若同意，请求出EOF ∠的度数；若不同意，请说明理由．
③如图④，当COD ∠的两边射线OC 、OD 都在直线AB 的下方时，能否求出EOF ∠的度数?若不能求出，请说明理由；若能求出，请直接写出EOF ∠的度数．
答案：（1）；（2）①；②同意，；③能求出，
【分析】
（1）由得，再由角平分线的性质求出的度数，由即可求出结果；
（2）①根据小红和小英的方法，利用角的互补关系和角平分线的性质去求解角度；
②用同上的方
解析：（1）135︒；（2）①135EOF ∠=︒；②同意，=135EOF ∠；③能求出，45EOF ∠=︒
【分析】
（1）由90COD ∠=︒得90BOD ∠=︒，再由角平分线的性质求出DOF ∠的度数，由
COF COD DOF ∠=∠+∠即可求出结果；
（2）①根据小红和小英的方法，利用角的互补关系和角平分线的性质去求解角度； ②用同上的方法去求出结果；
③设AOC x ∠=，则180BOC x ∠=︒-，由角平分线的性质表示出AOE ∠和BOF ∠，根据180EOF AOE BOF ∠=︒-∠-∠即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵90COD ∠=︒，
∴1809090BOD ∠=︒-︒=︒，
∵OF 平分BOD ∠， ∴1452
DOF BOD ∠=∠=︒， ∴135COF COD DOF ∠=∠+∠=︒，
故答案是：135︒ ；
（2）①方法1：∵90COD ∠=︒，
∴18090AOC BOD COD ∠+∠=︒-∠=︒
∵OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠， ∴12EOC AOC ∠=∠，12
FOD BOD ∠=∠， ∴()1452
EOC FOD AOC BOD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴135EOF EOC FOD COD ∠=∠+∠+∠=︒，
方法2：设AOC ∠为x 度，
∵OE 平分AOC ∠， ∴1122
EOC AOC x ∠=∠=， ∵90COD ∠=︒，
∴18090BOD COD AOC x ∠=︒-∠-∠=︒-，
∵OF 平分BOD ∠， ∴()1119045222
FOD BOD x x ∠=∠=-=︒-︒， ∴11904513522EOF EOC COD FOD x x ⎛⎫∠=∠+∠+∠=
++-=⎪⎝
⎭︒ ︒︒； ②同意，
方法1：∵180AOC BOC ∠+∠=︒，OE 平分AOC ∠， ∴()1118022EOC AOC BOC ∠=∠=︒-∠1902
BOC =︒-∠， ∵90COD ∠=︒，
∴90BOD BOC ∠=︒-∠，
∵OF 平分BOD ∠， ∴()119022BOF BOD BOC ∠=∠=︒-∠1452BOC =︒-∠，
∴EOF EOC BOC BOF ∠=∠+∠+∠11904513522BOC BOC BOC ⎛⎫⎛⎫
=-∠+-∠+∠= ⎪ ⎪⎝⎝⎭
︒⎭︒︒，
方法2：设AOC ∠为x 度， ∵OE 平分AOC ∠，
∴11
22
EOC AOC x ∠=∠=，
∴180180BOC AOC x ∠=︒-∠=︒-， ∵90COD ∠=︒，
∴9090BOD BOC x ∠=-∠=-︒︒， ∵OF 平分BOD ∠，
∴()111
9045222
BOF BOD x x ︒∠=∠=-=-︒，
∴EOF EOC BOC BOF ∠=∠+∠+∠()111804513522x x x ⎛⎫
=+-+-︒= ⎪⎝⎭
︒︒， ③能求出，45EOF ∠=︒，理由： 设AOC x ∠=，则180BOC x ∠=︒-， ∴270BOD BOC COD x ∠=∠+∠=︒-， ∵OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠，
∴1122AOE AOC x ∠=∠=，()111
270135222
BOF BOD x x ∠=∠=︒-=︒-，
∴111801801354522EOF AOE BOF x x ⎛
⎫∠=︒-∠-∠=︒--︒-=︒ ⎪⎝
⎭． 【点睛】
本题考查角度求解，解题的关键是掌握角平分线的性质，角度互补和互余的性质． 15．如图，∠AOB ＝150°，射线OC 从OA 开始，绕点O 逆时针旋转，旋转的速度为每秒6°；射线OD 从OB 开始，绕点O 顺时针旋转，旋转的速度为每秒14°，OC 和OD 同时旋转，设旋转的时间为t 秒（0≤t≤25）． （1）当t 为何值时，射线OC 与OD 重合； （2）当t 为何值时，∠COD ＝90°；
（3）试探索：在射线OC 与OD 旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC 、OB 与OD 中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的t 的取值，若不存在，请说明理由．
答案：（1）；（2）或；（3）存在，或 【分析】
（1）设，，由列式求出t 的值；。