高三数学上学期12月阶段性考试试题 理含解析 试题

2021届高三数学上学期12月阶段性考试试题 理〔含解析〕
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
第一卷〔选择题 一共60分〕
一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
1.假设复数2
11i z i +⎛⎫= ⎪
-⎝⎭
，那么||z =〔 〕
A.
14
B.
12
C. 1
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据复数模长的性质直接求解即可.
【详解】因为2
111
111i i i z i i i +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝=⎝⎭⎭
,故11111i i z i i ++=⋅==--. 应选：C
【点睛】此题主要考察了复数模长的性质,属于根底题型. 2.设集合{}2,2,4A =-，{}
2
|4B x x ==，那么A
B =〔 〕
A. {}4
B. {}2
C. {}2,4
D. {}2,2-
【答案】D 【解析】 【分析】
用列举法写出B 集合，再求交集{}
,A B x x A x B ⋂=∈∈． 【详解】{}2,2B =-，{}2,2A B ∴⋂=- 应选D
【点睛】集合的运算--交集：取两个集合一共同的元素．
3.?西游记??三国演义??水浒传??红楼梦?是我国古典小说四大名著.假设在这四大名著中，任取2种进展阅读，那么取到?红楼梦?的概率为〔 〕
A.
23
B.
12
C.
13
D.
14
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出根本领件总数，再求?红楼梦?被选中包括的根本领件个数，由此可计算出任取2种进展阅读，取到?红楼梦?的概率．
【详解】4本名著选两本一共有246C =种，选取的两本中含有?红楼梦?的一共有1
33C =种，
所以任取2种进展阅读，那么取到?红楼梦?的概率为
31
=62
． 应选B.
【点睛】此题考察古典概型，属于根底题．
4.假设α是第二象限角，且sin 3
α=，那么tan α=〔〕
A. B. C.
D. -
【答案】D 【解析】 【分析】
根据角的范围可确定cos 0α<，利用同角三角函数的平方关系和商数关系可求得结果. 【详解】
α是第二象限角 cos 0α∴<
1
cos 3
α∴==-
sin 3tan 1cos 3
α
αα∴===--此题正确选项：D
【点睛】此题考察同角三角函数值的求解问题，属于根底题. 5.3log 0.5a =，0.5log 0.6b =，0.23c =，那么〔〕 A. a b c <<
B. b c a <<
C. b a c <<
D.
c a b <<
【答案】A 【解析】 【分析】
根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值0和1可得到,,a b c 所处的大致范围，从而得到结果. 【
详
解
】
00.2330.50.50.5log 0.5log 10log 1log 0.6log 0.5133<==<<==<
a b c ∴<<
此题正确选项：A
【点睛】此题考察根据指数函数和对数函数单调性比拟大小的问题，关键是可以确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.
6.,x y 满足不等式组22y x
x y x ⎧⎪
+⎨⎪⎩
，那么2z x y =-+的最大值为〔 〕
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域,再分析2y x z =+的截距的最大值即可.
【详解】画出可行域为阴影局部,易得2y x z =+在2
y x
x y =⎧⎨+=⎩即(1,1)处取最大值,代入有
2111z =-⨯+=-
应选：D
【点睛】此题主要考察了线性规划的一般问题,属于根底题型. 7.函数2
sin 1x x
y x
+=
+的局部图象大致为〔 〕 A.
B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况．
【详解】22
sin()sin ()()11x x x x
f x f x x x
-+-+-==-=-++，故奇函数，四个图像均符合． 当(0,)x π∈时，sin 0x >，2
sin 01x x
y x +=>+，排除C 、D 当(,2)x ππ∈时，sin 0x <，2
sin 01x x
y x +=
>+，排除A ． 应选B ．
【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值．
8.执行如下图的程序框图，输出n 的值是〔 〕
A. 32
B. 33
C. 31
D. 34
【答案】B 【解析】 【分析】
将2
1
log n S S n
+=+利用累加改写赋值表达式,再分析当5S ≤的情况即可. 【详解】由图2
1log n S S n +=+即2
22211211
log log ...log log (1)12n S n n
+++=+++=+. 故当5S ≤有2log (1)531n n +≤⇒≤.
当31n =时, 2log (311)5S =+=,下一步1=+n n 得32n =.此时满足5S ≤
下一步2log (321)5S =+>,下一步1=+n n 得33n =.不满足5S ≤退出.此时33n =. 应选：B
【点睛】此题主要考察了框图与对数运算的综合问题,可将21
log n S S n
+=+类的累加求和改写成和的结果的形式分析即可.属于中等题型. 9.假设曲线()()2
1x f x ax e -=-在点()()
22f ,处的切线过点()3,3，那么函数()f x 的单
调递增区间为〔 〕 A. ()0,∞+
B. (),0-∞
C. ()2,+∞
D.
(),2-∞
【答案】A 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间． 【详解】
2()(1)x f x ax e -=-，0(2)(21)21f a e a =-=-
求导2
22'()(1)1(1)x x x f x ae
ax e ax a e ---=+-⋅=+-
0='(2)(31)31k f a e a =-=-切
3(21)
=
423132
a k a a --∴=-=--切解得1a =
2222()(1),'()1(1)x x x x f x x e f x e x e xe ----=-∴=⋅+-= 20x e ->，那么当0x >时，'()0f x >．
那么()f x 的单调递增区间是(0)+∞，
． 应选A
【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率．两点坐标也可求斜率．此题还考察了导数在研究函数性质中的应用．
10.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设101S =，307S =，那么40S =〔 〕 A. 5 B. 10
C. 15
D. -20
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等比数列分段求和的性质求解即可.
【详解】由题有等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足10201030204030,,,...S S S S S S S ---成等比数
列
.
设
{}
n a 的公比为
q
那么
102010
10
0q S S S -=>,故
10201030204030,,,...0S S S S S S S --->.
故()()2
2010103020S S S S S -=⋅-,即()()2
20202
202011760S S S S --=⋅-⇒-=.
因为200S >故203S =.又()()()2
302020104030S S S S S S -=-- 故()()()2
4073317S -=--,故4015S =. 应选：C
【点睛】此题主要考察了等比数列前n 项和n S 的分段求和成等比数列的性质,属于中等题型.
11.向量||3||a b a b +=-，且()()a b a b +⊥-，那么b 与2a b +所成角的余弦值是〔 〕
A.
7
B.
7
C.
2
D. 0
【答案】B 【解析】
【分析】
将||3||a b a b +=-两边平方,再利用()()a b a b +⊥-得出()()0a b a b +⋅-=即可得
,a b 模长与夹角的关系,再求b 与2a b +所成角的余弦值即可.
【详解】||3||a b a b +=-两边平方有()
()
()
()
2
2
2
2
3822a b
a b
a b a
b +=-⇒⋅=+
()()
2
2
4a
b
a b ⇒+=⋅.又()()a b a b +⊥-有()()0a b a b a b +⋅-=⇒=
设,a b 夹角为θ那么()()
2
2
2
2
424cos a
b
a b a a θ+=⋅⇒=,故1cos 2
θ=
. 因为[]0,θπ∈,故a b =且夹角3
πθ=
.
不妨设(2,0),(1,3)a b ==.故2(4,0)a b +=+= 设b 与2a b
+所成角为ϕ那么
(
)2(1,
3)cos 7132b a b
b a b
ϕ⋅+====+⋅+
应选：B
【点睛】此题主要考察了向量的根本运算,假设模长关系与角度关系,可以直接利用向量的坐标表示进展计算从而简化运算量.属于中等题型.
12.设函数()f x 的定义域为D ，假设满足：①()f x 在D 内是单调增函数；②存在
[](),m n D n m ⊆>，使得()f x 在[],m n 上的值域为[],m n ，那么就称()y f x =是定义域
为D 的“成功函数〞.假设函数()(
)2log x
a g x a t =+〔0a >且1a ≠〕是定义域为R 的
“成功函数〞，那么t 的取值范围是〔 〕
A. 1
04
t <<
B. 1
04
t <≤
C. 14
t <
D. 14
t >
【答案】A 【解析】 【分析】
利用成功函数的定义以及对数函数的单调性可构造20x x a a t -+=,再换元利用方程有两个正根进展列式求解即可. 【详解】因为()(
)2log x
a g x a
t =+〔0a >且1a ≠〕是定义域为R 的“成功函数〞,
所以()g x 为增函数,且()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ,故()(),g a a g b b ==. 即()g x x =有两个不一样的实数根. 又(
)2log x
a a
t x +=,即20x x a a t -+=.令0x m a =>,
即2
0m m t -+=有两个不同的正数根,由零点存在性定理列式得0
140t t >⎧⎨∆=->⎩
.
解得1
04
t << 应选：A
【点睛】不同在于考察了新定义的函数问题以及零点的分布问题,同时也考察了与二次函数相关的复合函数问题,属于中等题型.
第二卷〔非选择题 一共90分〕
二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕 13.假设
()1
2
1
4
3
a x dx --=⎰，那么a =______. 【答案】1 【解析】
【分析】
根据定积分的运算，得到()1
2
3
1
11
1
()|3
a x dx ax x ---=-⎰，代入即可求解．
【详解】由
()1
2
31111114()|()()3333
a x dx ax x a a ---=-=---+=⎰，解得1a =． 故答案为1．
【点睛】此题主要考察了定积分的计算，其中解答中求得被积函数的原函数，准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．
14.某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在[]80,130〔单位：分〕内，其频率分布直方图如图，那么这次测试数学成绩不低于100分的人数为_____.
【答案】220 【解析】 【分析】
根据先由总频率为1计算出a 的值，再频率分布直方图计算出数学成绩不低于100分的频率，再乘总人数即可．
【详解】根据频率分布直方图知：(20.040.030.02)1010.005a a +++=⇒=； 计算出数学成绩不低于100分的频率为：(0.030.020.005)100.55++=； 所以这次测试数学成绩不低于100分的人数为0.55400220⨯=人
【点睛】此题考察频率分布直方图，需要注意的是频率分布直方图的纵坐标为频率÷组距．属于根底题
15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，假设2a =，4
B π
=
，tan 7C =，
那么b =__________．
【答案】
52
4
【解析】 【分析】
由题,B C 角度的关系可求得sin A ,再根据正弦定理求b 即可.
【详解】由tan 7C =且()0,C π∈可求得22
7772sin 1050
17C =
=
=+, 2982
cos 1sin 110010
C C =-=-
=
. 故222724sin sin()sin(
)(sin cos )()4
2210105
A B C C C C π
=+=+=
+=+=. 又由正弦定理24sin sin sin
52
4
54a b b b A B π=⇒=⇒=
. 故答案为：
52
4
【点睛】此题主要考察了正弦定理的运用以及和差角公式等.需要根据题中所给的信息决定所用的定理并计算,属于中等题型.
16.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或者用小石子来表示数，按照点或者小石子能排列的形状对数进展分类，如图实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，第n 个五角形数记作n a ，132(2)n n a a n n --=-，那么前n 个五角形数中，实心点的总数为
__________.[参考公式：2
2
2
21
123(1)(21)6
n n n n +++
+=++]
【答案】
2
1(1)2
n n + 【解析】 【分析】
由题意得132n n a a n --=-再累加求得n a 即可得出第n 个五角形数.再进展求和即可. 【详解】由题得112211...3235...41n n n n n a a a a a a a n n a ---=-+-++-+=-+-+++
()
221+3233=2
222
n n n n n n --=
=-.故前n 个五角形数中,实心点的总数
2223(1)3(1)(12...)22221(1)(21)(1)
(1)(214
4)6n n n n n n n n n S n n n n n ++-++++=+++-=⨯⨯+-=
2(1)
2
n n +=
故答案为：
2
1(1)2
n n + 【点睛】此题主要考察了累加法求数列的通项公式方法以及数列求和的内容,属于中等题型. 三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题：60分
17.p ：函数()()2
246f x x a x =-++在()1,+∞上是增函数，q ：x R ∀∈，
2230x ax a ++->，假设()p q ∧⌝是真命题，务实数a 的取值范围.
【答案】(],1a ∈-∞- 【解析】 【分析】
此题是组合命题真值判断，先分别求解P 真和q 真时的参数取值范围，再由简单的逻辑联结词判断p ，q 的真假．进而求参数取值范围 【详解】解：p 真时，21a +≤，1a ≤-，
q 真时，()224238120a a a a --=-+<，
26a <<，
q ⌝为真时，6a ≥或者2a ≤，
∵()p q ∧⌝为真， ∴p 与q ⌝都为真， ∴1a ≤-，即(]
,1a ∈-∞-
【点睛】且命题：全真为真，一假即假．非命题：与原命题真值相反． 18.()cos ,sin a x x =，()2,1b =.
〔1〕假设a b ，求sin (cos 3sin )x x x +的值；
〔2〕假设()sin f x a b x =⋅+，将函数()f x 的图象向右平移2
π
个单位长度后，得到()g x 的图象，求()g x 及()g x 的最小正周期. 【答案】〔1〕1；〔2
〕()4g x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，周期2π． 【解析】 【分析】
(1)利用a b 计算可得1
tan 2
x =
,再根据同角三角函数的关系的齐次式方法求解即可. (2)计算()sin f x a b x =⋅+,利用辅助角公式求得()f x 再根据平移求得()g x 即可. 【详解】〔1〕由a b 得cos 2sin 0x x -=,那么1
tan 2
x =
2
2
22213sin cos 3sin tan 3tan 24
sin (cos 3sin )11sin cos tan 114
x x x x x x x x x x x +
+++====+++.
〔2〕()2cos sin sin 2cos 2sin f x x x x x x =++=+
4x x x π⎫⎛
⎫==+ ⎪⎪⎝⎭⎭
()24g x f x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
周期：221
T π
π=
= 【点睛】此题主要考察了平面向量平行的用法以及三角函数中的同角关系与辅助角公式和图像平移的方法等.属于根底题型.
19.在平面直角坐标系xOy 中，设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
a b +=，22sin 3sin sin C A B =.
〔1〕求C ；
〔2〕设()1,cos P A -，()cos ,1Q A -，且A C ≤，OP 与OQ 的夹角为θ，求cos θ的值.
【答案】〔1〕
3π；〔2〕7
． 【解析】 【分析】
(1)利用正弦定理得2
3
2
c ab =.再由a b +=平方与余弦定理求得cos C 进而求得C 即可.
(2)将(1)所得的3
C π
=
代入条件即可求得30A =︒,90B =︒.再利用平面向量的公式求解
cos θ即可.
【详解】〔1〕∵22sin 3sin sin C A B = ∴2
3
sin sin sin 2
C A B =
∴由正弦定理得2
32
c ab =
∵a b +=
∴22223a b ab c ++=
根据余弦定理得：2222221
cos 2222
a b c c ab ab C ab ab ab +--====
∴3
C π
=
〔2〕由〔1〕知3
C π
=
,代入,并结合正弦定理得
3sin sin 2
1
sin sin 2A B A B ⎧
+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
,解得1sin 2A =或者sin 1A =〔舍去〕 所以30A =︒,90B =︒
∴2cos OP OQ A ⋅==
而2
7
||||11cos 4
OP OQ
A ⋅=+
=+=
∴
22cos cos 1cos 4
A A θ=
==
+．
【点睛】此题主要考察了正弦定理角化边的用法以及余弦定理的用法等.同时也结合了向量的运用,属于中等题型. 20.数列{}n a 为等差数列. 〔1〕求证：()
2
12n n n a a a ++；
〔2〕设21n a n =-，且其前n 项和n S ，1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证：2n T <.
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析． 【解析】 【分析】
(1)利用等差数列的性质122n n n a a a ++=+,再根据根本不等式即可证明. (2)由等差数列的求和公式求解n S ,再由裂项相消的缩放法求证即可. 【详解】证明：〔1〕因为数列{}n a 为等差数列,所以122n n n a a a ++=+ ∴()()()()
2
2
2
2
12222424n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++=+=++
即()
2
12n n n a a a ++,故结论成立.
或者：设数列{}n a 的公差为d ,那么()()()()
2
2
221111n n n n n n a a a d a d a d a +++++=-+=-
即()
2
12n n n a a a ++,故结论成立.
〔2〕∵2
12(211)2
n n n n S a a a n -+=++
+== ∴211n S n = 2n ≥时：
211
(1)
n n n <- 1n =时：11
1
12T S =
=< 2n ≥时：
211111(1)1n S n n n n n
=<=--- 1211111111
11223
1n n T S S S n n
=
++⋯+<+-+-++
-- ∴1
22n T n
<-
<. 【点睛】此题主要考察了等差数列的性质运用,同时也考察了等差数列求和以及缩放证明数列不等式的问题,属于中等题型. 21.函数1
()x f x ae
ex -=-.
〔1〕假设a e <，试判断函数()f x 是否存在零点，并说明理由；
〔2〕假设a e =，1x >-，对t R ∀∈，()(1)f t x t et y +-+恒成立，求()1x y +的最大值. 【答案】〔1〕当0a ≤时，只有一个零点. 0a e <<时函数()f x 存在零点.〔2〕2
e . 【解析】 【分析】
(1)分0a ≤与0a e <<两种情况,结合函数图像与零点存在定理进展分析即可.
(2) ()(1)f t x t et y +-+化简得 (1)0t
e x t y -+-,构造函数求导求解函数的单调性,
再构造函数求()1x y +的最值即可. 【详解】〔1〕由1
()0x f x ae ex -=-=得1x ae ex -=
令1
1x y ae
-=,2y ex =
①当0a ≤时,结合函数图象知,显然只有一个零点. ②当0a e <<时,由于1x =时,1
1x y ae a -==,2y ex e ==,∴12y y <
而0x <时,1
10x y ae
-=>,20y ex =<,∴12y y >
所以1x <时,函数()f x 存在零点. 〔2〕a e =时,()x
f x e ex =-
∴()(1)t f t e et x t et y =-+-+,即(1)0t
e x t y -+- 令()(1)t
h t e x t y =-+-∴()(1)t
h t e x '
=-+ ∴当1x >-时,由()0ln(1)h t t x '
>⇒>+ 由()0ln(1)h t t x '
<⇒<+
∴()h t 在(,ln(1))x -∞+上单调递减,在(ln(1),)x ++∞上单调递增. ∴()ln 1t x =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h t x x x y =+-++- ∴(1)(1)ln(1)y x x x +-++
那么2
2
(1)(1)(1)ln(1)x y x x x ++-++ 令1(0)x m m +=> 那么设2
2()ln t m m m m =-
()22ln (12ln )t m m m m m m m '=--=-
由()012ln 00t m m m '>⇒->⇒<<
由()012ln 0t m m m '<⇒-<⇒>
∴()t m 在(上单调递增,在
)
+∞上单调递减.
∴当m =
,max ()2
e t m t ==
综上得当1x =
,2
y =
时()1x y +取最大值为2e .
【点睛】此题主要考察了零点的存在定理以及利用导函数分析函数单调性,从而解决恒成立问题等.构造函数分析单调性是重点,属于难题.
〔二〕选考题：一共10分.请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线C
的参数方程为sin x y αα
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩〔α为参数〕.以坐标原点为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为cos 42πθρ
⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭. 〔1〕求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
〔2〕假设A 、B 是直线l 上的动点，且||2AB =，()0,1M ，求MAB △的面积.
【答案】〔1〕C 的普通方程为2
213
x y +=，l 的直角坐标方程为30x y --=.〔2
〕【解析】 【分析】
(1)根据参数方程与极坐标的运算化简即可.
(2)求出M 到l 的间隔 再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】〔1
〕cos sin sin x y y αααα
=⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩=⎩
,两式平方相加后可得曲线C 的方程为
2
213
x y +=,
直线l
的方程可化为2cos 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
即2cos cos sin sin 44ππρθθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭, 故cos sin 3ρθρθ-=,即直线l 的直角坐标方程为30x y --=. 〔2〕直线l 方程：30x y --=
M 到l 的间隔
d =
=
11
||222
MAB S AB d =⨯⨯=⨯⨯=△.
【点睛】此题主要考察了坐标系与参数方程的互化,同时也考察了点到直线的间隔 公式,属于根底题型.
23.选修4-5：不等式选讲
()|1||21|f x ax x =++-.
〔1〕当1a =时，求不等式()21f x x <+的解集；
〔2〕证明：当()0,1a ∈，()0,x ∈+∞时，()1f x >恒成立. 【答案】〔1〕1|13x x ⎧
⎫<<⎨⎬⎩⎭
；〔2〕见解析. 【解析】 【分析】
(1)分1x ≤-,1
12x -<<
,12
x ≥三种情况进展分情况分段讨论即可. (2)根据()0,1a ∈,()0,x ∈+∞即可对()|1||21|f x ax x =++-去绝对值.再分1
02
x <≤与1
2
x >
两种情况讨论即可. 【详解】〔1〕1a =时,()|1||21|21f x x x x x <⇔++-<+
111221x x x x ≤-⎧⇔⎨--+-<+⎩或者11211221x x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-<+⎩或者12
12121
x x x x ⎧
≥⎪
⎨⎪++-<+⎩
11
32
x ⇔
<<或者111123x x ≤<⇔<<
所以,原不等式的解集为1|
13x x ⎧
⎫<<⎨⎬⎩⎭
. 〔2〕由题意得：1(2)2,02
()1211(2),2a x x f x ax x a x x ⎧
-+<≤⎪⎪=++-=⎨⎪+>
⎪⎩
()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数,在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
是增函数.
min 1()122
a
f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,min ()()112a f x f x ≥=+>成立.
【点睛】此题主要考察了绝对值不等式的求解,以及参数讨论的方法等.属于中等题型.
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。