江西省六校2010届高三下学期联考(数学理)

江西省六校2010届高三下学期联考
数学理
命题人：兴国平川中学 黄信璋 审题人：石平源 李茂生
时间：120分钟 总分：150分
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、学号写在密封线内。

2．选择题、填空题的答案填在答题卷规定的位置。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A ＋B)＝P(A)＋P(B) S ＝4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A ·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立 V ＝3
4
πR 3
重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )＝C k n P k (1―P)
n ―
k
其中R 表示球的半径 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1、复数
i
i -+3)1(2＝（ ）
A ．－1＋3i
B ．1－3i
C ．2
1＋23i
D ．－
2
1
＋23i
2、定义A ⊗B ＝{z| z ＝xy ＋
y
x
, x ∈A, y ∈B}，设集合A ＝{0, 2}, B ＝{1, 2}, C ＝{1}, 则集合(A ⊗B)⊗C 的所有元素之和为（ ） A ．3 B ．9
C ．18
D ．27
3、设函数f(x)＝x ＋ln(x ＋21x +)，则对于任意实数a 和b ，a ＋b ＜0是f(a)＋f(b)＜0的（ ）条件 A ．必要不充分
B ．充分不必要
C ．充要
D ．既不充分也不必要
4、若0＜y ≤x ＜
2
π
且tanx ＝3tany 则x －y 的最大值为（ ） A ．4π B ．6π C ．3π D ．2
π
5、设函数f(x)＝x 3，若0≤θ≤2
π
时，f(mcos θ)＋f(1－m)＞0恒成立，则实数m 的取值范围
为（ ）
A ．(－∞, 1)
B ．(－∞, 2
1
) C ．(0, 1) D ．(－∞, 0)
6、若圆x 2＋y 2
―4x ―4y ―10＝0上至少有三个不同的点到直线l : ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的范围是（ ）
A ．[
12π
, 4π] B ．[12π, 125π] C ．[6π, 3
π]
D ．[0,
2
π] 7、(1＋x －x 2)6展开式中x 5的系数为( ) A ．－6 B ．6 C ．－114 D ．126
8、当0＜x ≤1时，下列不等式正确的是（ ）
A ．22
2sin sin )sin (x x x x x x ≤< B ．
x
x
x x x x sin )sin (
sin 22
2<≤
C ．x x x
x x x sin sin )sin (222≤< D ．22
2sin )sin (sin x x x x x x << 9、共有10项的数列{a n }的通项a n ＝
n
n 10
2008102007--，则该数列中最大项、最小项的情况是（ ）
A ．最大项为a 1, 最小项为a 10
B ．最大项为a 10, 最小项为a 1
C ．最大项为a 6, 最小项为a 5
D ．最大项为a 4, 最小项为a 3
10、某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（ ）
A ．
33
16 B ．
128
33 C ．
33
32 D ．
11
4 11、在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，∠BAC ＝2
π
，AB ＝AC ＝AA 1＝1，已知G 和E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)， 若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为（ ）
A ．[51, 1)
B ．[51, 2)
C ．[1, 2)
D ．[5
1
,2)
12、已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4(n ∈N *)且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n ―n ―
6|＜1251的最小整数n 是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、填空题(每小题4分，共16分)
13、如图，已知各顶点都在半球面上的正三棱锥S —ABC 。

若AB ＝a ，则该三棱锥的体积为 。

14、过椭圆
12
22
2=+b y a x 的左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭
圆于A 、B 两点，若||2||FB AF =，则椭圆的离心率e ＝ 。

15、曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1, y ＝0, x ＝1, x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2
＋1, x ∈[1, 2]上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点P 的坐标为 。

16、在△ABC 中, AB ＝3, AC ＝5, 若O 为△ABC 的外心, 则·的值为 。

三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 17、(12分)已知x ∈R , 向量＝(acos 2x, 1), ＝(2,
3asin2x －a), f(x)＝·, a ≠0.
(1)求函数f(x)的解析式，并求当a ＞0时，f(x)的单调增区间；
(2)当x ∈[0, 2
]时，f(x)的最大值为5，求a 的值。

18、(12分)某工厂每月生产某种产品三件，经检测发现，工厂生产该产品的合格率为
5
4
，已知生产一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将会亏损10万元，假设该产品任何两件之间合格与否相互没有影响。

(1)求工厂每月盈利额ξ(万元)的所有可能取值；
(2)若该工厂制定了每月盈利额不低于40万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率。

(3)求工厂每月盈利额ξ的分布列和数学期望。

19、(12分)已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，侧面ACC 1A 1与底面ABC 垂直， ∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C.
(1)试判断AA 1与平面A 1BC 是否垂直，并说明理由； (2)求侧面BB 1C 1C 与底面ABC 所成锐二面角的余弦值。

20、(12分)已知f(x)＝lnx ―
x
a . (1)当a ＞0时，判断f(x)在定义域上的单调性； (2)若f(x)在[1, e]上的最小值为2
3
，求a 的值；
21、(12分)已知F 1、F 2分别是椭圆13
42
2=+y x 的左、右焦点，曲线C 是以坐标原点为顶点，
以F 2为焦点的抛物线，自点F 1引直线交曲线C 于P 、Q 两个不同的点，点P 关于x 轴对称的
点记为M ，设F F 11λ=.
(1)写出曲线C 的方程；
(2)若Q F u M F 22=，试用λ表示u ； (3)若λ∈[2, 3]，求|PQ|的取值范围。

22、(14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *, 点(n,
n S n )都在函数f(x)＝x ＋x
a
n 2的图象上。

(1)求a 1, a 2, a 3的值，猜想a n 的表达式，并证明你的猜想。

(2)设A n 为数列{n n a a 1
-}的前n 项积，是否存在实数a ，使得不等式
A n a
a a f a n n 23
)(1+-<+对一切n ∈N *都成立？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由。

参考答案
二、填空题(每小题4分，共16分) 13．12
3a
14．
3
2 15．(
23,4
13) 16．8
三、解答题(12分＋12分＋12分＋12分＋12分＋14分＝74分) 17．(1)f(x)＝2acos 2x ＋3asin2x －a ＝3asin2x ＋acos2x
＝2asin(2x ＋
6
π) …………………3分 当a ＞0时，由2k π－2π≤2x ＋6π≤2k π＋2
π
(k ∈Z )
…………………4分
得k π－3π≤x ≤k π＋6
π
(k ∈Z )
故函数f(x)的单调增区间为[k π－3π, k π＋6
π
] (k ∈Z )
…………………6分
(2)f(x)＝2asin(2x ＋6
π
)
当x ∈[0, 2π]时，2x ＋6π∈[6π,6
7π
]
若a ＞0，当2x ＋6π＝2
π时，f(x)max ＝2a ＝5, 则a ＝25
…………………9分
若a ＜0，当2x ＋6
π＝67π
时，f(x)max ＝－a ＝5，则a ＝－5
所以a ＝2
5
或－5.
…………………12分
18．(1)工厂每月生产的三种产品中，合格产品的件数的所有可能结果是：0, 1, 2, 3, 则相应的月盈利额ξ的取值量ξ＝－30, 5, 40, 75
………………3分
(2)月盈利额ξ的分布量：
P(ξ＝－30)＝C 03(51)3
＝125
1, P(ξ＝5)＝C 13(51)2·54＝
12512, P(ξ＝40)＝C 2
3(
54)2·51＝12548, P(ξ＝75)＝C 33(54)3＝125
64
, 所以P(ξ≥40)＝P(ξ＝40)＋P(ξ＝75)＝125
112
……………………8分
即
(3)E ξ＝(－30)×
1251＋5×12512＋40×12548＋75×125
64＝54 …………12分
20．f '(x)＝
x 1＋2x a ＝2x
a x ，f(x)的定义域为(0, ＋∞),
……………1分 (1)当a ＞0时，f(x)在(0, ＋∞)上是单调增函数.
……………3分
(2)①令f '(x)≥0在[1, e]上恒成立，即x ＋a ≥0,
∴a ≥－x, 令a ≥－1，此时f(x)在[1, e]上恒为增函数，
∴[f(x)]min ＝f(1)＝－a ＝23, 得a ＝－23
(舍去)
……………6分
②令f '(x)≤0在[1, e]上恒成立，即x ＋a ≤0,
∴a ≤－x, 令a ≤－e ，此时f(x)在[1, e]上恒为减函数， ∴[f(x)]min ＝f(e)＝1－e a ＝23，得a ＝－2e
(舍去) ………………9分
③当－e ＜a ＜－1时，令f '(x)＝0得x 0＝－a ， 当1＜x ＜x 0时，f '(x)＜0，∴f(x)在(1, x 0)上为减函数， 当x 0＜x ＜e 时，f '(x)＜0，∴f(x)在(x 0, e)上为增函数，
∴[f(x)]min ＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝2
3
, 得a ＝－e ,
综上知a ＝－e . ……………………12分 21．(1)抛物线的方程是y 2＝4x
……………………2分
(2)设P(x 1, y 1), Q(x 2, y 2), M(x 1, －y 1) ∵Q F P F 11λ=，
∴⎩⎨⎧=+=+②y y ①x x 21
21)1(1λλ
∴y 12＝λ2y 22, 又y 12＝4x 1, y 22＝4x 2, ∴x 1＝λ2x 2代入①得λ2x 2＋1＝λx 2＋λ
∴λx 2(λ－1)＝λ－1, ∵λ≠1 ∴⎪⎩⎪⎨⎧
==④x ③
x λλ
1
21 …………5分 则F 2＝(x 1―1, ―y 1)＝(λ―1, ―λy 2)＝―λ(
λ
1
―1, y 2) ＝―λ(x 2―1, y 2)＝－λF 2
即F F 22λ-=，故u ＝－λ
………………7分
(3)由③、④知x 1x 2＝1, ∴y 12y 22＝16 x 1x 2＝16，又y 1y 2＞0, ∴y 1y 2＝4
……………………9分
∴|PQ|2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝x 12＋x 22＋y 12＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)
＝λ2＋2
1λ＋4(λ＋λ1)－10＝(λ＋λ1)2＋4(λ＋λ
1
)－12
＝(λ＋λ
1
＋2)2－16
又2≤λ≤3, ∴25≤λ＋λ
1≤310
∴417≤|PQ|2≤9
167⨯ 所以
217≤|PQ|≤3
7
4 ……………………12分 22．(1)∵点(n, n S n )都在函数f(x)＝x ＋x a n 2的图象上，故n S n ＝n ＋n a
n 2.
∴S n ＝n 2＋21a n , 令n ＝1得a 1＝1＋2
1
a 1, ∴a 1＝2
令n ＝2得a 1＋a 2＝4＋
2
1
a 2, ∴a 2＝4
令n ＝3得a 1＋a 2＋a 3＝9＋
2
1
a 3, ∴a 3＝6 由此猜想：a n ＝2n (n ∈N *)，
……………………2分
下面用数字归纳法证明：
①当n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立。

……………………3分
②假设n ＝k 时猜想成立，即a k ＝2k 成立，
那么，当n ＝k ＋1时，由条件知，S k ＝k 2＋21a k ，S k ＋1＝(k ＋1)2＋21
a k ＋1,
两式相减，得a k ＋1＝2k ＋1＋
21a k ＋1－2
1
a k ， ∴a k ＋1＝4k ＋2－a k ＝4k ＋2―2k ＝2(k ＋1) 即当n ＝k ＋1时，猜想成立。

根据①、②知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 成立。

……………………6分
(2)∵n n a a 1-＝1－n a 1, 故A n ＝(1―11a )(1―21a )…(1―n
a 1),
∴A n 1+n a ＝(1―11a )(1―21a )…(1―n
a 1
)12+n
又f(a)－a a n 23+＝a ＋a a n 2－a a n 23+＝a －a
23 故A n 1+n a ＜f(a)－a
a n 23
+对一切n ∈N *都成立，就是
(1―11a )(1―21a )…(1―n a 1)·12+n ＜a －a
23对一切n ∈N *都成立. ………8分
设g(n)＝(1―11a )(1―21a )…(1―n a 1)12+n ，则只需g(n)max ＜a －a 23
即可。

……………………9分
由于
)()1(n g n g +＝(1－11+n a )·1232++n n ＝2212++n n ·1
232++n n ＝
4
843842
2++++n n n n ＜1
∴g(n ＋1)＜g(n), 故g(n)是单调递减， 于是g(n)max ＝g(1)＝2
3
, ………………………………12分
由
23＜a －a
23
得a a a )32)(3(+-＞0解得－23＜a ＜0或a ＞3. 综上所述，使得所给不等式对一切n ∈N *都成立的实数a 存在，且a 的取值范围为(－
2
3
,
0)∪(3, ＋∞). …………………………14分。