河北省正定中学高三数学9月适应性考试a(理)

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河北省正定中学2009届高三数学9月适应性考试A (理)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
符合要求)
1.已知非空集合P 、Q 、S 都是全集U 的子集,且P S Q S =,则 ( ) A .S P Q ⊆ B .S P Q ⊆ C .S P Q ⊇ D .以上都不对
2.某学校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的成绩近似服从正态分布(70,100)N .已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名,则此次竞赛的学生总人数约( )人. (参考数据:(2)0.9772Φ=) A .522 B .526 C .527 D .545 3.“22a b >”是 “22log log a b >”的
( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件 4.等比数列中,483a a +=-,则62610(2)a a a a ++的值为 ( )
A .9
B .9-
C .6
D .6-
5.已知22
(,)ππ
θ∈-,且sin cos a θθ+=,其中(0,1)a ∈,则关于tan θ的值,以下四个答案中,可能正确的是
( )
A .3-
B .3或1
3
C .1
3-
D .3-或1
3-
6.函数2
31
(1)()(1)x ax x x b x f x x +--+≥⎧⎪=⎨<⎪
⎩在1x =处连续,则3lim x x
x b a b a →+∞+-的值为 ( )
A .0
B .1
C .2
D .3
7.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的个数为

A .0
B .1
C .2
D .多于2个
8.已知实数,x y 满足不等式组24y x x y y m ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
,且22222z x y x y =++-+的最小值为2,则实
常数m 的取值范围是
( )
A .(,0)-∞
B .(,0]-∞
C .4
3(,]-∞
D .4
3(0,]
9.在正方体1111ABCD A B C D -中,,M N 分别为11D C 和AB 的中点,则11A B 与平面1A NCM 所成的角为
( )
A .
4
π
B .
3
π
C .
D .arctan 2
10.设双曲线
22
2
9
1(0)x y
a
a -
=>的左、右焦点为1F 、2F ,若该双曲线上有一点M 到点2F 的
距离为18,且12MF F ∆的内切圆圆心I 的横坐标为4-,则该双曲线的离心率为 ( ) A .5
4
B .5
3
C .43
D
11.设O 为ABC ∆的内心,当4AB =,5BC =,6AC =时,(,)AO xAB yCB x y R =+∈,则
x y
=
( )
A .52
B .5
2-
C .2
5
-
D .53
-
12.已知二次函数2()2f x ax x c =++的值域是[0,)+∞,那么2
2
1
1
c a a c +++
的最小值是
( )
A .1
2
B .1
C .2
D .3
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题4个小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数21(0
1)()2(20)
x x x f x a x ⎧+≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩,且112()1f -=-,则函数()f x 的值域为
__________.
14.已知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的准线距离为1d ,到直线3490x y -+=的距离为
2d , 则12d d +的最小值为__________.
15.如果一个三位数abc 满足a b ≥且c b ≥,则称这样的三位数为“非凸数”(如102,545,777
等),那么所有非凸数的个数是__________. 16.有两个相同的直三棱柱,高为2
a ,底面三角形的三边长
分别为3a 、4a 、5(0)a a >.用它们拼成一个三棱柱 或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个 四棱柱,则a 的取值范围是__________.
三、解答题(本大题6个小题,共70分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知ABC ∆三内角A 、B 、C 成等差数列,(1cos2,2sin )m A C =+-,(tan ,cos )n A C =.
(Ⅰ)若m n ⊥,判断ABC ∆形状;
(Ⅱ)求m n ⋅取得最大值时ABC ∆三内角的大小.
18.(本小题满分12分)
已知函数23
2()ln(23)f x x x =+-.
(Ⅰ)求()f x 在[0,1]上的极值;
(Ⅱ)若对任意11
63[,]x ∈,不等式|ln |ln[()3]0a x f x x '-++>成立,求实数a 的取值范
2a
4a
3a 5a
2a
4a
3a
5a
第16题图
围.
19.(本小题满分12分)
盒中有4张卡片,其中1张写有字母A ,3张写有字母B ,每次从中任取1张卡片,直到取
出卡片A 为止.
(Ⅰ)若不放回抽取卡片,求取卡片次数的期望和方差; (Ⅱ)若有放回抽取卡片,求取卡片次数的分布列和期望值.
20.(本小题满分12分)
如图,已知正三棱柱111ABC A B C -中,14AA =,6AB =,点D 、E 、F 分别在
棱1BB 、1CC 、AF 上,且11
21BD C E AF ===.
(Ⅰ)求平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的大小; (Ⅱ)求点1A 到平面DEF 的距离..
21.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 与{}n b 有如下关系:12a =,11
12()n
n n a a a +=+
,11
n n n a a b +-=

(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式; (Ⅱ)令111
n n n a a c +--=
求数列{}n c 的通项公式;
(Ⅲ)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,当2n ≥时,求证43
n S n <+. 22.(本小题满分12分) 椭圆222
2
1(0)x y a
b
a b +
=>>左、右焦点分别为1F 、2F ,P 是椭圆上一点,1260F PF ∠=︒,

12||||
(3)PF PF λλ=≥.
(Ⅰ)求椭圆离心率e 和λ的关系式;
(Ⅱ)过P 点离心率最小的椭圆的切线,交x 轴于Q 点,求证:2||2||PF PQ =.
参考答案
A
B
D C
F
E
1A
1C
1B
一、选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项符
合要求) 12.(理)提示:由二次函数
的值域是[0,)+∞,得且,
∴1ac =且 0a >,0c >.∴
2
2
2
22
2
2
2
2
()2
1
1
2
1a c c a ac
a c a c a c a c a ac
c ac
a c
a c
++++++++++
=
+
=

=
≥.
当1a c ==时取等号.
二、填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13.1
4[,2] 14. (理)
125
15.336 16.3
0a <<
三、解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由A 、B 、C 成等差数列及A B C π++=,知3
B π
=

∵m n ⊥,∴(1cos2)tan 2sin cos sin2sin20m n A A C C A C ⋅=+-=-=.由A 、B 、C 为三角形内角,且23
A C π+=,∴3
A C π
==
,故ABC ∆为等边三角形.
(Ⅱ)
213
2
2
3
sin 2sin 2sin 2sin 2(
)sin 22sin(2)1m n A C A A A A A ππ
⋅=-=--=+
=+≤,
∴当12
A π
=
时,m n ⋅取得最大值1,此时,712
C π=
,3
B π
=

18.(本小题满分12分). (理)解:(Ⅰ)33(1)(31)
2332
()3x x x
x f x x -+-++'=-=
,令()0f x '=得1
3
x =或1x =-(舍
去)
∴当1
3
0x ≤<时,()0,()f x f x '>单调递增;当1
3
1x <≤时,()0,()f x f x '<单调递减.
∴11
3
6
()ln3f =-为函数()f x 在[0,1]上的极大值.
(Ⅱ)由|ln |ln[()3]0a x f x x '-++>得,323ln ln x a x +>-或323ln ln
x
a x +<+.
设2
323233
()ln ln ln
x x
x
h x x ++=-=,332323()ln ln ln
x x
x
g x x ++=+=,依题意知()
a h x >或
()a g x <在1163
[,]x ∈上恒成立, ∵2
233(23)3323(23)
(23)
()0x x x x
x x x g x ++-⋅++'=

=
>,
3126233
23()(26)0x x x
x x
h x x +++'=
⋅+=
>,∴()g x 与()h x 都在11
63
[,]上单增,要使不等式
①成立,当且仅当13
()a h >或1
6
()a g <,即1
3
ln a >或1
5
ln a <.
19.(本小题满分12分)
(理)解:(Ⅰ)取卡片次数ξ的可能值为1,2,3,4.∴1
4
(1)p ξ==. 31
1
434
(2)p ξ==⋅=,
3211432
4(3)p ξ==⋅⋅=,32114324(4)1p ξ==⋅⋅⋅=.故11115444
4
2
1234E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=

222251
515
1515
2
4
2
4
2
4
2
4
4
(1)(2)(3)(4)D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.
(Ⅱ)设有放回抽取卡片时,取卡片次数为η,则η的可能值为1,2,3,,,n .
∵13
1
4
4()(),1,2,3,
,,k p k k n η-==⋅=,
分布
∴η的列为:
∴21211
3133
3
11
1
34
444
4
4
4(1)
4
()[123()()]4n
k n k E k n η--=-=⋅⋅=+⋅+⋅+
+⋅+
⋅=
⋅=
∑.
20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)延长DE 、
CB 相交于点G ,连结FG ,则二面角E FG C -- 的大小为所求.作CM FG ⊥于点M ,连结EM ,由三垂线定理知
EM FG ⊥.∴EMC ∠为所求二面角的大小.由已知
3EC =,4CF =,
9CG =.由余弦定理得
,FG
=
∴112
2
sin60CFG S CF CG FG CM ∆=⋅︒=⋅,可得61
CM =

在Rt ECM ∆中,18
tan EC CM
EMC ∠=
=
,则所求角为18
arctan

(Ⅱ)由已知矩形11AA C C 的面积为24,6CEF S ∆=,113C EA S ∆=,
14AA F S ∆=,∴12463411A EF
S ∆=---=.取AC 的中点N ,则BN AC ⊥.
作//NK CE 交EF 于点K ,可得//NK BD ,∴D K ⊥平面1A EF ,D K EF ⊥.由5EF =, DK BN ==,得12
DEF S EF DK ∆=⋅2
=
.设所求距离为d ,则由11A DEF D A EF
V V --=得,
113
2
3
11⨯
=⨯⨯,∴225
d =
为所求.
21.(本小题满分12分)
(理)解:(Ⅰ)∵11111
3a a b +-=
=,∴1122
11
1()1
121111
1
()1
2
(
)0n n n n n n n n
n n a a a a a a a a b b +++++++--+
-=
==
==>.
∴3
2
1
1
222
2212313n n n n n n b b b b b -----======.
1C
A B
D C
F
E
1A
1B
M
G
K
(Ⅱ)由(Ⅰ)知11
22
13
11
3
1
n n n n n b b a --++--=
=
,∴
1
11
1
1
222
2
22
122
23
12
1
13131
3
12
1
313
1
1
3
1
3
1
31n n n
n n n n n
n
n n a a -----++------+----===
=+.
∴1
2
31n n c -=+.
(Ⅲ)∵当2n ≥时,1
2
11110
3
1
1(1)n n n n a a a -+-+-=

-,当且仅当2n =时取等号.且
1
211152
4
()a a a =+
=
,
故32110
1(1)a a -≤-,43110
1(1)a a -≤
-,……,1110
1(1)n n a a --≤
-.
以上1n -个式子相加,
得1211110
(2)[(2)]n n S a a n S a n -----≤---,
∴6521010(2)22n n n S n S a n ---≤---+,
∴11
22
25
3
12
3
1
99n n n S n --+-≤
+-
,∴11
22
253
1251232418
18
9
18
18
9(3
1)
n n n S n n n n --+-≤
+-
<
+-=
+<
+.
故43(2)n S n n <+≥得证. 22.(本小题满分14分)
(理)解:(Ⅰ)12||||2PF PF a +=,12||||
PF PF λ=,∴121||a PF λλ
+=
,221||a PF λ
+=
.由余弦
定理,
2
2
2
2222111112
(2)(
)(
)2a a a
a
c λλλ
λ
λλ++++=+-⋅

⋅,
得1
e λ+=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知e ==1
y λ
λ=+
,知3λ≥
时,1
y λ
λ=+

[3,)+∞上单调递增,∴3λ=时
,min 4
e =
,得
2169
a b
=
.设4(0)a t t =>,则
3b t =
,c =.不妨设点00(,)P x y 在第一象限.由
12||||
3PF PF =,12||||8PF PF t
+=得,10||6PF a cx t =+=,
∴8t P .
设(,)P x y '是椭圆上动点,则22
0022
2222
11x y a b x y a b ⎧⎪+⎪⎪⎨⎪+⎪⎪⎩==,相减得0000()()()()
0x x x x y y y y a a +-+-+
=,

2002
y y x x b x x a
y y ⋅
-+-+=-
.则P P '→时,0
2002
lim
PQ x x y y x b x x a
y k →⋅
--==-
.设切线PQ 的方程为:
2
0000
()b x a y y y y x x -=-
- ①, 又
2
2
2
2
1x y a b +
= ②. 将②代入①整理得,
002
2
1xx yy a b +
=.
令0y =得,,0)Q ,∴||3PQ t =.又1||6P F t =
,故2||2||PF PQ =.。

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