2017-2018版高中数学第一章导数及其应用1.4.1曲边梯形面积与定积分(一)学案新人教B版选修2-2

1．4.1 曲边梯形面积与定积分(一)
明目标、知重点 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功．
1．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：曲线与平行于y
轴的直线和x轴所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．
(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．
2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S＝lim
n→＋∞
∑
i＝0
n－1
f(x i)Δx，克服弹簧的拉力的变力所做的功：
W＝lim
n→＋∞
∑
i＝0
n－1
f(x i)Δx.
[情境导学]
任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？
探究点一求曲边梯形的面积
思考1 如何计算下列两图形的面积？
答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．
思考2 如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
思考 3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)
答(如图)可以通过把区间[0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．
求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成． 思考4 在“近似代替”中，如果认为函数f (x )＝x 2
在区间[
i －1n ，i
n
](i ＝1,2，…，n )上的值近似地等于右端点i
n 处的函数值f (i n
)，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi ∈[i －1n ，i
n ]处的函数值f (ξi )作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？ 答 都能求出S ＝1
3.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态
下，小曲边梯形可以看做小矩形．
例1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2
所围成的图形的面积． 解 (1)分割
将区间[0,1]等分为n 个小区间：
[0，1n ]，[1n ，2n ]，[2n ，3n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n
，1]，
每个小区间的长度为Δx ＝i n －
i －1n ＝1
n
.
过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替 在区间[
i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )上，以i －1n 的函数值⎝ ⎛⎭
⎪⎫i －1n 2作为高，小区间的长度Δx
＝1
n
作为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即
ΔS i ≈(
i －1n )2·1
n
. (3)求和
曲边梯形的面积近似值为
S ＝∑i ＝1
n
ΔS i ≈∑i ＝1
n
(
i －1n )2·1
n
＝0·1n ＋(1n )2·1n ＋(2n )2·1n ＋…＋(n －1n )2·1
n
＝1n
3[12＋22＋…＋(n －1)2]
＝13(1－1n )(1－1
2n )． (4)取极限
曲边梯形的面积为
S ＝
lim n →∞ 13(1－1n )(1－12n )＝1
3
. 反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确． 跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2
与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．
解 ∵y ＝x 2
为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2
(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x 2
x ≥0
y ＝4，
得交点为(2,4)，
如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2
围成的曲边梯形的面积．
(1)分割
将区间[0,2] n 等分， 则Δx ＝2n
， 取ξi ＝
2i －1
n
. (2)近似代替求和
S n ＝∑i ＝1
n
[
2
i －1n ]2·2
n
＝8n
3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2
]
＝83(1－1n )(1－1
2n )． (3)取极限
S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 83(1－1n )(1－12n )＝8
3
. ∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.
∴2S 阴影＝32
3
，
即抛物线y ＝x 2
与直线y ＝4所围成的图形面积为323
.
探究点二 求变力做功
思考 求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？
答 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．
例2 如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置e m 处，求克服弹力所做的功．
解 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F (x )＝
kx (N)，其中k 为比例系数．
将[0，e ]n 等分，记Δx ＝e n
，分点依次为x 0＝0，x 1＝e n
，x 2＝2e n
，…，x n －1＝n －1e n
，x n
＝e .
当n 很大时，在分段[x i ，x i ＋1]所用的力约为kx i ，所做的功ΔW i ≈kx i Δx ＝kx i e
n
. 则从0到e 所做的总功W 近似地等于
∑i ＝0
n －1
ΔW i ＝∑i ＝0
n －1
kx i ·Δx ＝∑i ＝0
n －1
k ·ie n ·e
n
＝ke 2
n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝ke 2n 2·n n －12＝ke 22⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1n . ∴弹簧从平衡位置拉长到e 处所做的功为：
W ＝lim n →＋∞
∑i ＝0
n －1
ΔW i ＝ke 2
2
.
答 克服弹力所做的功为
ke 2
2
J.
反思与感悟 以“不变代变”的方法，把变力做功问题转化为求常力做功问题．
跟踪训练2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2
＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程S (单位：km)是多少？ 解 (1)分割
在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为[2i －1
n
，2i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n
－
2
i －1n ＝2
n
.每个时间段上行驶
的路程记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )，则显然有S ＝∑i ＝1
n
ΔS i .
(2)近似代替
取ξi ＝2i
n
(i ＝1,2，…，n )．于是
ΔS i ≈ΔS ′i ＝v (2i n )·Δt ＝[3(2i n )2＋2]·2
n
＝24i 2
n 3＋4
n
(i ＝1,2，…，n )．
(3)求和
S n ＝∑i ＝1
n
ΔS ′i ＝∑i ＝1
n
(24i 2
n 3＋4n )＝24
n
3(12＋22＋…＋n 2)＋4
＝24n
3·
n n ＋1
2n ＋1
6
＋4
＝8(1＋1n )(1＋1
2n )＋4.
从而得到S 的近似值S ≈S n . (4)取极限
S ＝lim n →＋∞S n ＝lim n →＋∞[8(1＋1n )(1＋1
2n
)＋4]＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12 km.
1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.1
2n 答案 B
解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n
.
2．函数f (x )＝x 2
在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤i －1n ，i n 上( )
A ．f (x )的值变化很小
B ．f (x )的值变化很大
C ．f (x )的值不变化
D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 答案 D
解析 当n 很大，即Δx 很小时，在区间[i －1n ，i n
]上，可以认为f (x )＝x 2
的值变化很小，近似地等于一个常数．
3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)
C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])
D ．以上答案均正确 答案 C
4．求由曲线y ＝12x 2
与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，
则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 答案 1.02
解析 将区间5等分所得的小区间为[1，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95]，[9
5，2]，
于是所求平面图形的面积近似等于 110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×255
25＝1.02. [呈重点、现规律]
求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；
(3)求和：∑i ＝0
n －1
f (ξi )·
b －a
n
； (4)取极限：s ＝lim n →∞
∑i ＝0
n －1
f (ξi )·b －a
n
.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．。