高中数学第1章数列14数列在日常经济生活中的应用课件北师大版必修5

1 个月后 2 个月后 3 个月后
… 23 个月后 24 个月后
10 000 元贷款的本金与它的利息之和 10 000×1.004 575 元 10 000×1.004 5752 元 10 000×1.004 5753 元 … 10 000×1.004 57523 元 10 000×1.004 57524 元
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(2)第 1 期付款 x 元后，过 10 个月款全部付清，所付款连同 利息之和为 x×1.00810 元．同理得第 2，3，4，5，6 期所付款额 全部付清时连同利息的和为 1.0088x(元)，1.0086x(元)，1.0084x(元)， 1.0082x(元)，x(元)．
(3)x＋1.0082x＋1.0084x＋…＋1.00810x＝5 000×1.00812.
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最后根据到期偿还贷款的含义，即各所付款额连同到贷款付 清时所生利息之和，等于贷款本金及贷款付清时的利息之和，计 算每月应付款额．也就是说，
x ＋ 1.004 575x ＋ … ＋ 1.004 57522x ＋ 1.004 57523x ＝ 10 000×1.004 57524，
即 (1 ＋ 1.004 575 ＋ … ＋ 1.004 57522 ＋ 1.004 57523)·x ＝ 10 000×1.004 57524.
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错误解答三中，主要是期数没有弄清，由于是在贷款后的第一个 月才分期付款，到贷款全部付清时，历时整整 24 个月(24 期)， 10 000 元增值到了 10 000×1.004 57524 元，而不是 10 000×1.004 57523 元．
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例 3 顾客购买一件售价为 5 000 元的商品时如果采取分期 付款，一年内分 6 次付清，每 2 个月付 1 次款，月利率为 0.8%， 每月利息按复利计算，每期应付款多少，总共应付款多少，按下 列步骤逐步探究(假定每期付款 x 元)．
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③付款 12 次时，x 的等式为 x(1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00811) ＝5 000×1.00812.
每期所付款额为 438.6 元，付款总额为 5 263.2 元，与一次性 付款差额为 263.2 元．
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题型三 增长率问题 例 4 某城市 2011 年底人口为 500 万，人均居住面积为 6 平 方米，如果该城市每年人口平均增长率为 1%，每年平均新增住 房面积为 30 万平方米，到 2021 年底该城市人均住房面积是多少 平方米？增加了还是减少了？(精确到 0.01 平方米)
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【解析】 由已知甲所得本息之和 a＝10 000＋10 000×2.88%×5×(1－20%)． 而乙实际上年利率在去掉利息税后为45×2.25%. 故乙所得本息之和应按复利计算为 b＝10 000(1＋45×2.25%)5. 经计算 a－b≈219.01 元．
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探究 1 定期整存整取储蓄利息的计算没有申明时一般不计 复利，其公式是：利息＝本金×存期×利率．
(1)写出商品购买后 1 年贷款全部付清时，其商品价值增值到 ________元(用式子表示)．
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(2)写出第 1，2，3，4，5，6 期所付的款额到全部付清时连 同 利 息 的 和 分 别 为 ________ 元 ， ________ 元 ， ________ 元 ， ________元，________元，________元．
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(4)x·(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)＝5 000×1.00812.
于是 x·1－1（－11..00008822）6＝5 000×1.00812.
x＝5
000×1.00812×（1.0082－1）
1.00812－1
.
算得 x≈880.8 元．
(5)880.8×6＝5 284.8(元)．
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探究 3 分期付款的本质是商品售价在未还清贷款时，按复 利要增值，而每期所付款额在未还清贷款时，也要按复利增值， 且它们的总和相等．
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●思考题 1 把例 4 中“一年内分 6 次付清，每 2 个月付 1
次款”分别改为“一年内分 3 次付清，每 4 个月付 1 次款，”“一
年内分 12 次付清，每 1 个月付一次款”得到另两种付款方案(其
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可以发现，上述等式是一个关于 x 的一次方程，且等号左边
括号内是一个首项为 1，公比为 1.004 575 的等比数列的前 24 项
的和，于是
x·11－－11.0.0004455775524＝10 000×1.004 57524，
x＝10
000×1.004 57524×（1－1.004 1－1.004 57524
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误点分析 分期付款中的四项规定，体现了银行与贷款人之 间平等对待、公平贸易的原则，尤其是第三条规定“分期付款时， 本金和每期所付款额在贷款全部付清前会随着时间的推移而不 断增值”，错误解答一中，每期所付款额与本金都没有增值，按 这一方法分期付款，银行就要亏损了(为什么)；错误解答二中， 忽视了每期所付款额在贷款全部付清前会随着时间的推移而不 断增值，按照这一方法分期付款，贷款人就要吃亏了(为什么)；
【解析】 (1)商品购买后 1 个月，该商品售价增值为 5 000(1 ＋0.008)＝5 000×1.008(元)，由于利息按复利计算，在商品购买 后 2 个 月 ， 商 品 售 价 增 值 为 5 000×1.008×(1 ＋ 0.008) ＝ 5 000×1.0082(元)，……于是，在商品购买后 12 个月，其售价增值 为 5 000×1.00812(元)．
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要点 2 分期付款 分期付款之四条规定： ①在分期付款中，每期的利息均按复利计算； ②分期付款中规定每期所付款额相同； ③分期付款时，本金和每期所付款额在贷款全部付清前会随 着时间的推移而不断增值；
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④各期所付款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等 于本金及从购买到最后一次付款时的利息之和，[这一规定实际上 是解决问题关键步骤(列方程)的依据]．
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解析 用 an 表示热气球在第 n 分钟上升的高度，由题意，得 an＋1＝45an，因此，数列{an}是首项 a1＝25，公比 q＝45的等比数列．热 气 球 在 前 n 分 钟 内 上 升 的 总 高 度 为 Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋ …＋ an ＝ a1（11－－qqn）＝25×[11－－（45 45）n]＝125×[1－(45)n]<125.所以这个热 气球上升的高度不能超过 125 m.
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课后巩固
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1．(2013·江西)某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一 天植 2 棵，以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍，则需要的最少 天数 n(n∈N*)等于________．
答案 6
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2．一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度，在以后的每 一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的 80%. 这个热气球上升的高度能超过 125 m 吗？
1.004 57523，
∴x·11.0.000445577552－4－11＝10 000×1.004 57523.
∴x＝10
000×1.004 1.004
57523×0.004 57524－1
575≈438.9(元)．
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休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好
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再弄清到贷款两年付清时，各月所付款额与它的利息之和是
多少，也可以填出下表获得答案.
1 个月后还 x 元 2 个月后还 x 元 3 个月后还 x 元
… 23 个月后还 x 元 24 个月后还 x 元
各月所付款额与它的利息之和 1.004 57523x 元 1.004 57522x 元 1.004 57521x 元 … 1.004 575 x 元 x元
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●思考题 2 某制糖厂第 1 年制糖 5 万吨，如果平均每年的 产量比上一年增加 10%，那么从第一年起，几年内可以使总产量 达到 30 万吨？(保留到个位)
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【解析】 根据题意，每年产量比上一年增加的百分率相同， 所以从第 1 年起，平均每年的产量(万吨)组成一个等比数列，记 为{an}，其中 a1＝5，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30，所以5（11－－11..11n） ＝30，整理得，1.1n＝1.6，两边取对数得 nlg1.1＝lg1.6，所以 n ＝llgg11..61≈5(年)．
575），
算得 x≈440.91(元)，
即每月应还 440.91 元．
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探究 2 错误解答一：设每月应付 x 元，则
∴x＝10
000×1.004 24
57524≈464.9(元)．
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错误解答三：设每月应付 x 元，则
x＋1.004 575x＋1.004 5752x＋…＋1.004 57523x＝10 000×
复习课件
高中数学第1章数列1.4数列在日常经济生活中的应用课件北师大版必修5
2021/4/17
高中数学第1章数列14数列在日常经济生活中的应用课件北 师大版必修5
§4 数列在日常经济生活中的应用
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要点 1 储蓄利息的计算公式 设本金 a 元，利率 r，存期 n，本利和为 y. 按单利计算：y＝a＋a×r×n. 按复利计算：y＝a×(1＋r)n. 依法纳税计算公式为： 应纳税额＝利息金额×税率．
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题型二 分期付款 例 2 某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上月 均等额还本付息(利息按月以复利计算)，如果贷款 10 000 元，两 年还清，月利率为 0.457 5%，那么每月应还多少钱呢？
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【解析】 首先要弄清到贷款两年付清时，10 000 元贷款的
本金与它的利息之和是多少，可以通过填出下表获得答案．
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2021 年：a11＝a1＋10d＝3 000＋10×30＝3 300(万平方米)， b11＝b1×q10＝500×(1＋1%)10＝500×1.0110≈552(万)．
所以人均住房面积是3535020≈5.98(平方米)． 答：该城市人均住房面积约 5.98 平方米，人均住房面积反而 减少了．
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授人以渔
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题型一 储蓄利息的计算公式 例 1 甲、乙两人于同一天分别携款 1 万元到银行储蓄，甲 存五年期定期储蓄，年利率为 2.88%.乙存一年期定期储蓄，年利 率为 2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄，按规 定每次计息时，储户须交纳利息的 20%作为利息税，若存满五年 后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为 ________元．(假定利率五年内保持不变，结果精确到 1 分)
(3)利用分期付款的有关规定得到关于 x 的等式是 __________________________________________． (4)用计算器及等比数列求和公式计算得 x≈________元． (5)6 次所付款额共为________元．
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【思路分析】 分期付款的计算应按分期付款的规定列出其 等量关系．
他条件不变)，与例 1 对比填写下表.
付款方法 x 的等式
每期所
付款额 付款总额
与一次性
付款差额
6次
பைடு நூலகம்
3次 12 次
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【解析】 ①付款 6 次时，x 的等式为 x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)＝5 000×1.00812. 每期所付款额为 880.8 元，付款总额为 5 284.8 元，与一次性 付款差额为 284.8 元． ②付款 3 次时，x 的等式为 x(1＋1.0084＋1.0088)＝5 000× 1.00812. 每期所付款额为 1775.8 元，付款总额为 5 327.4 元，与一次 性付款差额为 327.4 元．
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【解析】 设 2011 年，2012 年，…，2021 年住房面积总数 成等差数列{an}，人口数组成等比数列{bn}，
则 2011 年：a1＝500×6＝3 000(万平方米)，b1＝500(万)． 2012 年：a2＝a1＋d＝3 000＋30＝3 030(万平方米)，b2＝b1 ×q＝500×(1＋1%)＝505(万)． …