高中数学选修一 讲义 专题2.9 点、线间的对称关系-重难点题型精讲(学生版)

专题2.9 点、线间的对称关系-重难点题型精讲
1．点关于点的对称
2．直线关于点的对称
3．两点关于某直线对称
(4)几种特殊位置的对称：
4．直线关于直线的对称
【题型1 点关于点的对称问题】
【例2】（2022·河南·高二阶段练习）直线l:4x+3y−2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为（）
A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0
【变式2-1】（2020·山东·高考真题）直线2x+3y−6=0关于点(−1,2)对称的直线方程是（）
A．3x−2y−10=0B．3x−2y−23=0
C．2x+3y−4=0D．2x+3y−2=0
【变式2-2】（2022·浙江绍兴·高二期末）直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是
A．a=−1，b=−9B．a=−1，b=9
C．a=1，b=−9D．a=1，b=9
【例3】（2022·全国·高二课时练习）点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（）A．(−1,−3)B．(−1,−4)C．(4,1)D．(2,3)
【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点A(−2,1)关于直线x+y=0的对称点为点B，则点B的坐标为（）
A．(1,−2)B．(2,1)
C．(2,−1)D．(−1,2)
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2，5)，则直线l的方程是（）
A．3x＋4y－7＝0B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0D．3x＋4y－1＝0
【变式3-3】（2021·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）
A．﹣2B．3C．5D．7
【例5】（2022·江苏·高二课时练习）若一束光线从点A(1,0)射入，经直线y=−x+3反射到直线y=x+3上的点B，再经直线y=x+3反射后经过点C(−1,0)，则点B的坐标为（）
A．(−2,1)B．(0,3)C．(−1,2)D．(−1,1)
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点A(2,4)射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（）
【例6】（2022·江苏·高二阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为
B(−1,−4)，若将军从点A(−1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3.则“将军饮马“的最短总路程为（）
A．√13B．√17C．2√17D．10
【变式6-1】（2021·辽宁沈阳·高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(−4,−4)，若将军从点A(−2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=2，则“将军饮马”的最短总路程
为（）
A．√13B．5C．2√10D．10
【变式6-2】（2022·河南·高二阶段练习）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为(x+1)2+(y−1)2≤1，若将军从点(1,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+2y−5=0，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（）
A．12x+5y−12=0B．21x+2y−21=0
C．4x+y−4=0D．11x+2y−11=0
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营
所在的位置为B(−2,0)，若将军从山脚下的点A(1
3
,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+2y=3，则“将军饮马”的最短总路程为（）
A．√145
3B．5C．√135
3
D．16
3。