中学高中数学第二章《分数指数幂》导学案苏教版必修

江苏省响水中学高中数学第二章《分数指数幂》导学案苏教版必修
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1.理解n次方根及根式的概念.
2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握根式与分数指数幂的互化.
3.掌握有理数指数幂的运算性质.
牛顿是大家所熟悉的大物理学家,他在1676年6月在写给莱布尼茨的信中说:“因为数
学家将aa,aaa,aaaa,…写成a2,a3,a4,…,所以可将,,,…写成,,,…,将
,,,…写成a-1,a-2,a-3,…”这是牛顿首次使用任意实数指数.
问题1:(1)按照牛顿的思路,将下列式子写成实数指数的形式:
= ,= ,= .
(2)类比平方根与立方根,n次方根如何定义?
一般地,如果x n=a,那么x叫作a的,其中n>1,且n∈N*.
当n是奇数时,正数的n次方根是,负数的n次方根是,这时,a的n次方根用符号表示;当n为偶数时,正数的n次方根有,这两个数互为,可用符号表示,负数偶次方根.
0的任何次方根都是.
式子叫作根式,这里n叫作,a叫作.
根据n次方根的意义,可以得到:
①.
②当n是奇数时,;当n是偶数时,.
问题2:分数指数幂的意义是什么?
(1)正数的正分数指数幂的意义是= (a>0, m, n∈N*,且n>1).
(2)正数的负分数指数幂的意义是= (a>0, m, n∈N*,且n>1).
(3)0的正分数指数幂等于, 0的负分数指数幂.
问题3:指数式的运算性质有哪些?
(1) a r a s= (a>0,r,s∈R);
(2)= (a>0,r,s∈R);
(3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈R).
问题4:有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂适用吗?
有理数指数幂的运算性质于无理数指数幂.
1.化简下列各式.
（1）2(3.14)π-； （2）33(1)(1)a a +<- ；
（3）44(1)(1)a a +<-
2.用分数指数幂的形式表示·为 .
3.计算:3
-(2
+0.5-2= .
4.若10x
=3,10y
=4,计算102x-y
的值.
利用根式的性质化简求值
化简下列各式: (1)(x<π,n ∈N *
);
(2)(a ≤);
(3)
+-.
根式与分数指数幂的互化
用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0): (1)·;(2); (3)·
;(4)(
)2
·
.
分数指数幂的运算
已知a>0,0≤r ≤8,r ∈N,式子()8-r
·(
)r
能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种?
求出所有可能结果.
求下列各式的值: (1)
;(2)
+()3
.
将下列根式化成分数指数幂的形式:
(1)(a>0);
(2);
(3)((b>0).
1.计算:
(1)(·)(3·)÷(-3·);
(2)(12)2×3-17×85×()15.
2.化简:·(a为正数).
1.若x<5,则的值是.
2.化简[的结果为.
3.计算2××= .
4.化简:(×(÷.
化简求值:
(1)(2)0.5+0.1-2+(2-3π0+;
(2)(-3+(0.002-10(-2)-1+(2-)0.
考题变式(我来改编):
第三章指数函数、对数函数和幂函数
第1课时分数指数幂
知识体系梳理
问题1:(1)(2)n次方根一个正数一个负数两个相反数
±没有0根指数被开方数①()n=a ②=a =|a|=
问题2:(1)(2)(3)0没有意义
问题3:(1)a r+s(2)a rs(3)a r b r
问题4:同样适用
基础学习交流
1.④=-5.
2.-·=·(-a=-=-.
3.原式=(25-[()3+()-2
=2-3-[()3+22
=-+4
=.
4.解:∵10x=3,∴102x=9,
∴102x-y==.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)∵x<π,∴x-π<0,
当n为偶数时,=|x-π|=π-x;
当n为奇数时,=x-π.
综上,=
(2)∵a≤,∴1-2a≥0.
∴==|2a-1|=1-2a.
(3)+-
=+
+
=+-
=|+|+|2+|-|2-|
=++2+-(2-)=2(+).
【小结】对于(1)注意进行分类讨论;(2)和(3)中要注意将其转化为完全平方式的形式,特别是(3)对于形如的形式可化为+(x>0,y>0)的形式.
探究二:【解析】(1)原式=·==;
(2)原式=··==;
(3)原式=·==;
(4)原式=()2·(ab3===.
【小结】在解决根式与分数指数幂互化的问题时,关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子:=和==,其中字母a要使式子有意义.
探究三:【解析】()8-r·()r=·==.
∵0≤r≤8,r∈N,
又当r=0,4,8时,分别为4,1,-2都是整数.
∴当r=0,4,8时,原式能化为关于a的整数指数幂,共有3种情形,结果分别为a4,a,a-2.
【小结】本题运算过程中要注意对r∈N,且∈N进行讨论.
思维拓展应用
应用一:(1)=|x-2|=
(2)因为3-2=12-2+()2=(-1)2,
所以+()3=+1-=-1+1-=0.
应用二:(1)原式===(=;
(2)原式======;
(3)原式=[(==.
应用三:1.(1)原式=··=-ab0=-a.
(2)原式=(22×3)2×3-17×(23)5×=(22)2×32×3-17×215×=24+15-15×32-17+15=24×30=16.
2.原式=[·(a-3·(·=···=·a-2=.
基础智能检测
1.5-x ∵x<5,∴=|x-5|=5-x.
2.[=(==.
3.6原式=2××(×(3×22
=×=2×3=6.
4.解:原式=(×(1÷1
=2-1×103×1=2-1×1=.
全新视角拓展
(1)原式=(++(-3+
=+100+-3+=100.
(2)原式=(-1×(3+(-+1
=(+(500-10(+2)+1
=+10-10-20+1=-.
思维导图构建。