创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课件：第八章 平面解析几何 第1节 精品

(2)设 BC 中点 D 的坐标为(x，y)，则 x＝2－2 2＝0，y＝1＋2 3 ＝2.BC 边的中线 AD 过 A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得 AD 所在直线方程为－x3＋2y＝1，即 2x－3y＋6＝0.
(3)BC 的斜率 k1＝－12，则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2 ＝2，由点斜式得直线 DE 的方程为 2x－y＋2＝0.
[答案] B
2．若 ab＞0，且 A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点共线， 则 ab 的最小值为________．
[解析] 根据 A(a,0)、B(0，b)确定直线的方程为ax＋by＝1， 又 C(－2，－2)在该直线上，故－a2＋－b2＝1，所以－2(a＋b) ＝ab.又 ab＞0，故 a＜0，b＜0.
[题组集训]
1．(2016·长沙模拟)曲线 y＝13x3＋x 在点(1，43)处的切线与
坐标轴围成的三角形面积为( )
2
1
A.9
B.9
1
2
C.3
D.3
[解析] y′＝f′(x)＝x2＋1，在点(1，43)处的切线斜率为 k ＝f′(1)＝2，所以切线方程为 y－43＝2(x－1)，即 y＝2x－23，与 坐标轴的交点坐标为(0，－23)，(13，0)，所以三角形的面积为12×13 ×|－23|＝19，故选 B.
一般式
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
所有直线
[质疑探究3] 截距是距离吗？ 提示：直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵) 坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是 距离．
3．线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段 P1P2
【名师说“法”】
求直线方程的常用方法有 (1)直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出 方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已 知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直 线方程． 提醒：求直线方程时，要注意直线的斜率不存在的情况或 斜率为零的情况．
跟踪训练 已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满 足下列条件的直线 l 的方程． (1)过定点 A(－3,4)； (2)斜率为16.
12|ab|＝3， 则由题意得－a3＋4b＝1，
即a4ba＝ －63， b＝ab
①
或a4ba＝ －－ 3b6＝，ab，
②
解①得ab＝ ＝32， ，
或a＝－32， b＝－4，
②无解．所以直线方程为3x＋2y＝1 或－x32＋－y4＝1，即 2x
＋3y－6＝0 或 8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，则直线 l 的方程为 y＝16x ＋b，它在 x 轴上的截距为－6b，由已知得|－6b·b|＝6，∴b＝±1. ∴直线 l 的方程为 x－6y＋6＝0 或 x－6y－6＝0.
(2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角 α 的_正__切__值___叫做这条直线的 斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝__ta_n__α___，倾斜角是 90°的直线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式 为 k＝yx22－－yx11.
[规范解答] [解] (1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距 为 0，∴a＝2，方程即为 3x＋y＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为 0. ∴aa－ ＋21＝a－2，即 a＋1＝1. ∴a＝0，方程为 x＋y＋2＝0.
[答案] D
2．过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的
值为( )
A．1
BHale Waihona Puke 4C．1 或 3D．1 或 4
[解析] ∵kMN＝－m2－－4m＝1，∴m＝1.
[答案] A
3．直线 3x－y＋a＝0(a 为常数)的倾斜角为( )
A．30°
B．60°
C．150°
D．120°
[解析] 由直线方程得 y＝ 3x＋a，所以斜率 k＝ 3，设倾 斜角为 α，所以 tan α＝ 3，又因为 0°≤α＜180°，所以 α＝60°.
考点三 直线方程的综合利用(高频型考点——全面发掘) [考情聚焦]
直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、 不等式相结合，命题多为客观题，归纳起来常见的命题角度有：
角度一 与基本不等式相结合的最值问题 1．直线 l 过点 P(1,4)，分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半 轴于 A，B 两点，O 为坐标原点， 求：(1)当|OA|＋|OB|最小时，直线 l 的方程； (2)当|PA|·|PB|最小时，直线 l 的方程．
考点二 直线的方程(重点型考点——师生共研) [一题多变]
【例】 △ABC 的三个顶点分别为 A(－3,0)，B(2,1)，C(－ 2,3)，求：
(1)BC 所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程．
[解] (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点，由两 点式得 BC 的方程为3y－－11＝－x－2－22，即 x＋2y－4＝0.
2．直线方程的五种形式
名称 几何条件
方程
适用条件
斜截式 点斜式
纵截距、 斜率
过一点、 斜率
y＝kx＋b y－y0＝k(x－x0)
与 x 轴不垂直 的直线
两点式
过两点
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
与两坐标轴均 不垂直的直线
截距式 纵、横截距
ax＋by＝1
不过原点且与 两坐标轴均不
垂直的直线
第八章 平面解析几何
第1节 直线的倾斜角与斜率、直 线的方程
◆考纲·了然于胸◆
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线 斜率的计算公式．
2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 3．掌握确定直线位置的几何要素． 4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式 等)，了解斜截式与一次函数的关系．
即 x＋4y－2＝0.该切线在 x 轴上的截距为 2，在 y 轴上的截
距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S＝12
×2×12＝12.
[答案]
1 2
[通关锦囊] 1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整 理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”． 2．求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直 线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
[要点梳理] 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴_正__向___与直线 l__向__上__方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜 角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_0_°__. ②倾斜角的范围为_[0_°__，___1_8_0_°__) ．
A.π4，π2 C.0，π2∪34π，π
B.0，34π D.0，π4∪π2，34π
[解析] 直线的斜率 k＝－(1－a2) ＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1. 由倾斜角和斜率的关系(如图所示), 该 直 线 倾 斜 角 的 取 值 范 围 为 0，π2 ∪ 34π，π.故选 C.
[答案] C
[解] (1) 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y－4＝k(x－1)(k＜0)．
令 y＝0，可得 A1－4k，0；令 x＝0，可得 B(0,4－k)． |OA|＋|OB|＝1－4k＋(4－k)＝5－k＋4k ＝5＋－k＋－4k≥5＋4＝9.
∴当且仅当－k＝－4k且 k＜0，即 k＝－2 时，|OA|＋|OB|取 最小值．这时 l 的方程为 2x＋y－6＝0.
[答案]
5π 6
考点一 直线的倾斜角与斜率(基础型考点——自主练透) [方法链接]
1．在解决斜率或倾斜角的取值范围问题时，应先考虑斜率 是否存在或倾斜角是否为π2这一特殊情形．
2．求倾斜角 α 的取值范围的一般步骤是： (1)求出斜率 k＝tan α 的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾 斜角 α 的取值范围．
[解析] y′＝e－x＋e1x2＝ex＋－e1x1＋2，因为 ex>0，所以 ex＋e1x ≥2 ex·e1x＝2(当且仅当 ex＝e1x，即 x＝0 时取等号)，所以 ex＋e1x ＋2≥4，故 y′＝ex＋－e1x1＋2≥－14(当且仅当 x＝0 时取等号)．所 以当 x＝0 时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为 0，12，切线的方程为 y－12＝－14(x－0)，
的中点 M 的坐标为(x，y)，则xy＝ ＝yx11＋＋22 yx22
，此公式为线段 P1P2
的中点坐标公式．
[小题查验] 1．如图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3，则( ) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
[解析] 直线 l1 的斜率角 α1 是钝角，故 k1＜0，直线 l2 与 l3 的倾斜角 α2 与 α3 均为锐角，且 α2＞α3，所以 0＜k3＜k2，因此 k1＜k3＜k2，故选 D.
[解] (1)法一：设直线 l 的方程为 y＝k(x＋3)＋4，它在 x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知得(3k＋4)4k＋3＝ ±6，解得 k＝－23或 k＝－83.故直线 l 的方程为 2x＋3y－6＝0 或 8x＋3y＋12＝0.
法二：由题知直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距均不为 0，设直 线 l 的方程为ax＋by＝1，
[答案] B
4．已知直线 l 的倾斜角 α 满足 3sin α＝cos α，且它在 x 轴 上的截距为 2，则直线 l 的方程是________．
[解析] 由 3sin α＝cos α，得 tan α＝13，∴直线 l 的斜率为13. 又直线 l 在 x 轴上的截距为 2，∴直线 l 与 x 轴的交点为(2,0)， ∴直线 l 的方程为 y－0＝13(x－2)，即 x－3y－2＝0.
(2)|PA|·|PB|＝ 4k2＋16· 1＋k2 ＝－4k(1＋k2)＝4－1k＋－k≥8(k＜0)． ∴当且仅当－1k＝－k 且 k＜0，即 k＝－1 时，|PA|·|PB|取最 小值．这时 l 的方程为 x＋y－5＝0.
角度二 与导数几何意义相结合的问题 2．已知曲线 y＝ex＋1 1，则曲线的切线中斜率最小的直线与 两坐标轴所围成的三角形的面积为________．
质疑探究 1：任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？ 提示：每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直 线都存在斜率．倾斜角为 90°的直线斜率不存在．
质疑探究 2：直线的倾斜角 θ 越大，斜率 k 就越大，这种 说法正确吗？
提示：这种说法不正确．由 k＝tan θ(θ≠π2)知 (1)当 θ∈[0，π2 )时，k＞0，θ 越大，斜率就越大； (2)当 θ∈(π2，π)时，k＜0，θ 越大，斜率也越大．
根据均值不等式 ab＝－2(a＋b)≥4 ab，从而 ab≤0(舍去) 或 ab≥4，故 ab≥16，当且仅当 a＝b＝－4 时取等号．即 ab 的最小值为 16.
[答案] 16
易错警示 15 对直线的斜率、截距等情况讨论不全致误 典例 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．
[答案] x－3y－2＝0
5．若直线
l：y＝kx
经过点
Psin
23π，cos
23π，则直线 l 的
倾斜角 α＝________.
[解析]
因为直线过点
Psin
23π，cos
23π，所以
ksin
23π＝
cos 23π，即 23k＝－12，所以 k＝－ 33，由 k＝tan α＝－ 33，得 α
＝56π.
[题组集训]
1．若经过两点 A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为34π，
则 y 等于( )
A．－1
B．－3
C．0 [解析]
D．2 由 k＝－32－－24y－1＝tan 34π＝－1.得－4－2y＝2，
∴y＝－3.
[答案] B
2．直线(1－a2)x＋y＋1＝0 的倾斜角的取值范围是( )