辽宁省五校协作体12—13上学期高三数学(理)期初联考考试试卷

2012—2013学年度上学期辽宁省五校协作体
高三期初联考数学试题(理)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1．设非空集合P 、Q 满足，则
A ．∀x Q ，有x ∈P
B ．∀x Q ∉，有x P ∉
C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈P
D ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q
2．在等比数列}{n a 中，若公比1>q ，且1673=a a ，1064=+a a ，则=3a A ．1± B ．2± C ．2
D ．1
3．在空间中，下列命题正确的是
A ．平面α内的一条直线a 垂直与平面β内的无数条直线，则βα⊥
B ．若直线m 与平面α内的一条直线平行，则α//m
C ．若平面βα⊥，且l =βα ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β
D ．若直线a 与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有α⊥a ．
4．约束条件为50100,0x y x y x y +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
，目标函数2Z x y =-，则Z 的最大值是
A ．4-
B ．4
C ．5-
D ．5
5．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 A ．()
1ln 2++=x x y
B ．()1log 2-=x y
C ．⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=-0
,30
,3x x y x x
D ．x
y 1
-
= 6．在等差数列}{n a 中，305=a ，510=a ，则6
21⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 的展开式中的常数项是该数列的 A ．第9项
B ．第8项
C ．第7项
D ．第6项
7．函数)sin()(ϕω+=x A x f (其中0>A ，0>ω，
π
||2
ϕ<
)的图象如图所示，为了得到x y 2cos =的图象，则只要将)(x f 的图象
A ．向左平移
π
6个单位长度 B ．向右平移π
6个单位长度
C ．向左平移π
12个单位长度
D ．向右平移π
12
个单位长度
8．双曲线14
2
22=-y a x 的左、右焦点分别为21F F 、，P 是双曲线上一点，1PF 的中点在y
轴上，线段2PF 的长为3
4
，则该双曲线的离心率为
A ．
2
3 B ．
2
13 C ．
3
13 D ．
3
13 9．由直线1=y 与曲线2
x y =所围成的封闭图形的面积是 A ．
3
4 B ．
3
2 C ．3
1
D ．
2
1 10．在Rt ABC △中，90,60C A ==∠∠,从顶点C 出发，在ACB ∠内等可能地引射
线CD 交线段AB 于点D ，则1
2
ACD ABC S S ≤△△的概率是 A ．
3
1 B ．
2
1 C ．3
2 D ．4
3
11．已知向量(2,1),(1,)a b k ==且a 与b 的夹角为锐角，则k 的取值范围是
A ．(－2,＋∞)
B ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-,2121,
2 C ．(－∞,－2)
B ．(－2,2)
12．函数x x y ln sin +=的零点个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置
上．
13
．12
=_______；
14．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为_______；
15．右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体外接球的表面
积是_______； 16．设函数)(x f y =，满足)
(1
)1(x f x f -
=+，对一切R ∈x 都成立，又知当(]3,1时，x
x f -=2
)(，则()2013f =_____。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字
说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2=a ，7=b ， 60=B ． (Ⅰ)求c 及△ABC 的面积S ； (Ⅱ)求)2sin(C A +．
18．(本小题满分12分
)
如图(1)在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2，E 、F 、G 分别是PC 、PD 、BC 的中点，现将△PDC 沿CD 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD (如图2)
(1)求二面角G －EF －D 的大小；
(2)在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，并给出证明过程．
19．(本小题满分12分)
甲乙两名射手互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们设计成绩的分布列如下：
(Ⅰ)若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中10环的概率； (Ⅱ)若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为ξ，求ξ的分布列和期望．
20．(本小题满分12分)
设椭圆C ：22
22=1(0)x y a b a b
+>>的左、右焦点分
别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1222=0
F F F Q +．
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线l ：30x -=相切，求椭圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在
x 轴上是否存在点(,0)P m 使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存
在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由．
21．(本小题满分12分)
已知函数a ax x x x f +-+-=ln )1(2
1
)(2． (Ⅰ)若2
3
=
a ，求函数)(x f 的极值； (Ⅱ)若对任意的)3,1(∈x ，都有0)(>x f 成立，求a 的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC ＝ED ＝1，PA ＝2． (Ⅰ)求AC 的长； (Ⅱ)求证：BE ＝EF ．
23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程是)(242222
是参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+==
， 圆C 的极坐标方程为π2cos()4
ρθ=+．
(Ⅰ)求圆心C 的直角坐标；
(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
对于任意的实数(0),||||||a a b a b a b M a ≠++-≥⋅和不等式恒成立，记实数M 的最大值是m ． (1)求m 的值；
(2)解不等式|1||2|.x x m -+-≤
高三数学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．B 2．D 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A 10．C 11．B 12．C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1-
14．3
15．8π
16．4-
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本小题满分12分)
解：
(Ⅰ)方法1：由余弦定理2
1
22472⨯
⨯⨯-+=c c ， …………(2分) 0322=--c c ，3=c ，或1-=c ，取3=c ， …………(4分)
△ABC 的面积S 2
3
3sin 21==B ac ； …………(6分)
(Ⅱ) 60,7,2===B b a ，
2.sin A
=sin A ∴=
∵b a <，∴角A 是锐角，∴7
7
2cos =
A ， …………(8分) ∵A A C A C A +=++=+ 120)(2 …………(10分)
.14
21sin 21cos 23)120sin()2sin(=-=
+=+∴A A A C A …………(12分) 18．(本小题满分12分)
解：
(1)建立如图所示空间直角坐标系，设平面GEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则
⎩⎨⎧n →·EF →＝－y ＝0
n →·EG →
＝x ＋y －z ＝0
取n ＝(1，0，1) …………4分 又平面EFD 的法向量为m ＝(1，0，0)
∴cos ＜m ，n ＞＝m ·n |m ||n |＝2
2
…………6分
∴＜m ，n ＞＝45° …………7分 (2)设PQ
→＝λPB →(0＜λ＜1) 则AQ
→＝AP →＋PQ →＝(－2＋2λ，2λ，2－2λ) …………9分 ∵AQ ⊥PC ⇔ AQ
→·PC →＝0 ⇔ 2×2λ－2(2－2λ)＝0 ⇔ λ＝1
2
…………11分
又AD ⊥PC ，∴PC ⊥平面ADQ ⇔ λ＝1
2
⇔点Q 是线段PB 的中点． …………12分
19．(本小题满分12分)
解
(Ⅰ)记事件;C 甲命中1次10环，乙命中两次10环，事件D ；甲命中2次10环，
乙命中1次10环，则四次射击中恰有三次命中10环为事件C D +
12222
2222111517()()()336366162
P C D C C C ∴+=⨯⨯⨯+⨯⨯= (6分)
(Ⅱ)ξ的取值分别为16，17，18，19，20， (9分)
11111115
(16),(17)33932331811111161
(18),
363233183111142111
(19),(20)3632189361815121107
161718192091839186
P P P P P E ξξξξξξ==⨯===⨯+⨯=
==⨯+⨯+⨯====⨯+⨯====⨯=
∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
(12分) 20．(本小题满分12分)
(1)解：设Q (x 0，0)，由2F (c ，0)，A (0，b ) 知),(),,(02b x AQ b c A F -=-=
c
b x b cx F 2
02
02,0,-==--∴⊥ ，
由于2221=+F F F 即1F 为2F Q 中点．
故c c c
b 22
-=+-22223c a c b -==∴， 故椭圆的离心率2
1
=
e (3 分) (2)由(1)知,21=a c 得a c 2
1
=于是2F (21a ，0) Q )0,23(a -，
△AQF 的外接圆圆心为(－
21a ，0)，半径r ＝2
1
|FQ |＝a 所以a a =--2
|321
|，解得a ＝2，∴c ＝1，b ＝3， 所求椭圆方程为13
42
2=+y x (6 分) (3)由(Ⅱ)知)0,1(2F l ：)1(-=x k y
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134
)
1(2
2
y x x k y 代入得 01248)43(2222=-+-+k x k x k 设),(11y x M ，),(22y x N
则2
2
21438k
k x x +=+，)2(2121-+=+x x k y y (8分) =-+-=+),(),(2211y m x y m x ),2(2121y y m x x +-+
由于菱形对角线垂直，则⋅+)(PN PM 0=MN 故02)(2121=-+++m x x y y k 则02)2(21212
=-++-+m x x x x k
2
k )2438(22-+k k 024382
2
=-++m k k (10分)
由已知条件知0≠k 且R k ∈
431
432
2
2+=+=∴k k k m 410<<∴m
故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是4
1
0<
<m ． (12 分)
21．(本小题满分12分)
解：
(Ⅰ)()x
x x x x x f 22
522512+-=-+='， …………(2分)
()0='x f ，得1
1=x ，或22=x ，列表：
函数)(x f 在21=x 处取得极大值2ln 8
7
)21(-=f ， …………(4分)
函数)(x f 在2=x 处取得极小值12ln )2(-=f ； …………(6分)
(Ⅱ)())1(1a x x x f +-+='，()3,1∈x 时，)3
10
,2(1∈+x x ，
(ⅰ)当21≤+a ，即1≤a 时，
()3,1∈x 时，()0>'x f ，函数)(x f 在()3,1是增函数
()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立； ……(8分)
(ⅱ)当3
10
1≥
+a ，即37≥a 时，
()3,1∈x 时，()0<'x f ，函数)(x f 在()3,1是减函数
()3,1∈∀x ，()()01=<f x f 恒成立，不合题意 ……(10分)
(ⅲ)当31012<
+<a ，即3
7
1<<a 时， ()3,1∈x 时，()x f '先取负，再取0，最后取正，函数)(x f 在()3,1先递减，
再递增，而()01=f ，∴()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 不能恒成立；
综上，a 的取值范围是1≤a ． …………(12分)
22．(本小题满分10分)
解：
(Ⅰ)1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA ，4=∴PD ， …………(2分)
又2,1=∴==CE ED PC ，
,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠
PAC ∴△∽CBA △，AB
AC AC PC =∴， …………(4分) 22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC …………(5分) (Ⅱ) 2==AC BE ，2=CE ，而EF BE ED CE ⋅=⋅， …………(8分)
22
1
2=⋅=∴EF ，BE EF =∴．…………(10分) 23．(本小题满分10分)
解：
(Ⅰ)θθρsin 2cos 2-= ， θρθρρsin 2cos 22-=∴，………(2分)
02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………(3分) 即1)2
2()22(22=++-
y x ， )2
2,22(-∴圆心直角坐标为．…………(5分) (Ⅱ)直线l 上的点向圆C 引切线长是 6224)4(4081)242
222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ，…………(8分)
∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62…………(10分)
∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- …………(10分)
24．(本小题满分10分)
解：
(Ⅰ)不等式||||||a b a b M a ++-≥⋅恒成立， 即||||||
a b a b M a ++-≤对于任意的实数(0)a a b ≠和恒成立，
只要左边恒小于或等于右边的最小值．…………2分 因为||||()()2||a b a b a b a b a ++-≥++-=， 当且仅当()()0a b a b -+≥时等号成立， 即||||||||,2||
a b a b a b a ++-≥≥时成立， 也就是||||||
a b a b a ++-的最小值是2．…………5分 (Ⅱ)|1||2| 2.x x -+-≤
解法1：利用绝对值的意义得：1522
x ≤≤ 解法2：当11,(1)(2)2,2x x x x <----≤≥时原不等式化为解得， 所以x 的取值范围是1 1.2
x ≤< 12,(1)(2)2,1 2.
52,(1)(2)2,,2
52.2
15.22
x x x x x x x x x x x x ≤≤---≤≤≤>-+-≤≤
<≤≤≤当时原不等式化为得的取值范围是当时原不等式化不解得所以的取值范围是综上所述:x 的取值范围是 解法3：构造函数|1||2|2y x x =-+--作 21,(1)1,(12)25,(2)x x y x x x -+<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩
的图象，利用图象有0y ≤ 得：
15.22
x ≤≤ ………………10分。